Regra da cadeia com regra da potência

RKA4JL - Nós temos aqui uma função real definida por f(x) igual a (2x³ mais 5x² menos 7), tudo elevado à oitava potência. Queremos obter a derivada dessa função em relação a x. Em primeiro lugar vamos observar que esta função f pode ser vista como uma composição de duas funções. Vou tentar desenhá-la aqui. Nós começamos com um certo valor x, e com esse certo valor x eu vou calcular duas vezes esse valor x³ mais cinco vezes esse valor ao quadrado menos sete. Então vamos imaginar uma função aqui que toma x e faz essas contas com ele. Essa seria a primeira parte. Digamos que essa seja a função chamada de “u”. Aqui vai fazer (2x³ mais 5x² menos 7), ou seja, qualquer valor que se coloca para a função u ela vai fazer duas vezes aquele valor elevado à terceira potência mais cinco vezes aquele valor ao quadrado menos sete. O resultado que sai daí, ou seja, a saída obtida ao aplicar a função u a um certo valor, sendo X esse valor, a saída é u(x), que é (2x³ mais 5x² menos 7). Mas olhando o que temos, além de obter isto nós precisamos elevar tudo à oitava potência e podemos enxergar essa parte como uma nova função. Ou seja, essa saída que obtivemos com a função u(x) vai ser a entrada para uma outra função que vai ser chamada de função “v” na qual qualquer que seja a entrada, qualquer coisa que colocarmos nela, ela vai elevar à oitava potência. Nesse caso a entrada para a função v era u(x), então a saída depois de aplicar a função v vai ser a função v aplicada à função u(x) ou também podemos olhar para isso como v de (2x³ mais 5x² menos 7), que era u, ou ainda podemos olhar para (2x³ mais 5x² menos 7) tudo elevado à oitava potência, que é o que a função v fez com a entrada que colocamos ali. Observe então que a nossa função f(x) pode ser vista como a composição destas funções u e v e isso tudo, então, é f(x) e se eu escrevo f(x), posso enxergá-la como f(x) igual a v(u(x)) e nós podemos identificar facilmente que para obter a derivada a regra da cadeia vai ser extremamente útil aqui. A regra da cadeia nos diz que f'(x) é a derivada de v em relação a u vezes a derivada de u em relação a x, ou seja, v'(u) vezes u'(x). Organizando as ideias, vamos escrever aqui u(x) igual a (2x³ mais 5x² menos 7), e a derivada disso em relação a x, usando a regra da potência, o expoente 3 multiplica 2, então ficamos com 6x², diminui 1 no expoente, mais a mesma ideia, 10x, e a derivada de -7 é zero. Agora a função v, se fosse a função v(x), ela seria igual a x⁸ (lembre-se de que a função v só pega a entrada e a eleva à oitava potência) e a derivada de v em relação a x, então vai ser 8x⁷. Então v'(u(x)) é igual a 8 vezes (u(x))⁷. Observe que qualquer coisa que você coloque no lugar do x ali no v', o resultado será 8 vezes aquele valor elevado à sétima potência. Se eu coloquei u(x) no lugar de x para função v', então o que temos é 8 vezes (u(x))⁷. Mas u(x) é (2x³ mais 5x² menos 7), então v'(u(x)) é igual 8 vezes (2x³ mais 5x² menos 7), tudo elevado a 7. Chegamos a f'(x), a derivada do f(x) e ela é igual a isto, que é o v'(u(x)) que temos aqui, 8 vezes (2x³ mais 5x² menos 7), tudo elevado à sétima potência, vezes u'(x), que é 6x² mais 10x. Conforme for ganhando mais prática com a regra da cadeia você reconhece estas coisas mais rapidamente e no dia a dia você não vai precisar escrever tudo isso. Você vai olhar aqui e falar: "Ora, basta fazer a derivada da função de fora em relação à de dentro vezes a derivada da função de dentro em relação à variável", que nesse caso é x. Por exemplo, se f(x) fosse só x⁸, a derivada seria 8 vezes x⁷. Então em vez de 8 vezes x⁷, vou ter 8 vezes toda aquela expressão de dentro elevado à sétima vezes a derivada da expressão de dentro em relação a x. Pronto. Até o próximo vídeo!