Determinante da triangular superior

e vamos dizer que eu tenho uma matriz em que tudo que estiver abaixo da Diagonal principal é igual a zero Vamos começar com a matriz 2 x 2 que é mais simples então aqui eu vou ter a bb0 de Lugar dos eu coloquei zero então tudo que está abaixo da Diagonal principal é igual a zero eu vou chamar essa Matriz de ar E qual vai ser o determinante de ar determinante de ar vai ser igual a Adi ou menos 0xb que dá zero então eu nem preciso escrever então determinante de ar é igual a Adi e agora vou pegar uma outra Matriz eu vou chamar ela de bebê essa matriz b Vai ser 3 por 3 e os termos dela vão ser aqui a bebê será que eu vou colocar a zero de é e na última linha 000 F essa Matriz igual a matriz a e se você parar todos os termos que estão abaixo da Diagonal principal vão ser quais a 0 Qual que é o determinante da matriz b Nós aprendemos a vários vídeos atrás que você pode sempre escolher a linha ou a coluna que tem a maior quantidade de zeros porque isso vai simplificar bastante o seu trabalho então nós vamos escolher essa coluna que nós vamos Calcular o determinante de bebê é a partir dela portanto determinante de bebê e vai ser igual e a vezes o determinante da submatriz se eu tirar a linha EA coluna de ar sobra subir matriz.de 10 F o - 0 x o determinante da submatriz se eu tirar a linha a coluna de zero sobra bc01f é mas 0 Às vezes o determinante da submatriz eu tirar a linha coluna do zero b c d a b c d e Oi e aí obviamente esses determinantes vão ser iguais a zero Por que estão sendo multiplicadas por zero e o que sobra apenas a vezes determinante dessa Matriz aqui que é bem simples vai ser igual a a vezes DF - 01 X é então fica apenas DF então determinante DB = ADF A DF Vale lembrar que o determinante de ar foi apenas a vezes de então nós temos um padrão aqui porque nos dois casos nós temos que os termos que estão abaixo da Diagonal principal são iguais a zero então aqui na matriz b eu tenho a minha diagonal principal o ADF e na hora que eu fui Calcular o determinante de ver eu apenas multipliquei esses termos aqui que estão na diagonal principal A DF e mais se você está pensando que isso aqui é uma generalização e que isso pode ser aplicado em outros casos É isso mesmo então vamos fazer para um caso geral onde nós temos aqui uma matriz a n por ele Oh e vamos ter aqui na primeira linha primeira coluna a 1 a 22 e vamos seguindo até chegarmos na enésima linha enésima coluna A N N E todos os termos que vão estar abaixo dessa diagonal principal vão ser iguais a zero então aqui 0 E aqui nessa linha todos vão ser iguais a zero é certo o termo da última coluna aqui tudo é zero bom Então veja bem tudo que está abaixo da Diagonal principal e é igual a zero e aqui nós continuamos a nossa Matriz a parte de cima a 12 vamos até chegar na enésima coluna vamos ter a um n aqui há dois n e vamos seguindo e você pode ver que tudo que está abaixo da Diagonal principal é igual a zero e tudo que está acima da Diagonal principal não agora Se quisermos Calcular o determinante de ar é só fazer igual fizemos na matriz bem vamos calcular a partir dessa coluna aqui Oi e o determinante de A então vai ser vai ser igual a 1 Às vezes o determinante da submatriz que nós temos excluindo a linha a coluna onde a um não está tão vai ser a 22 e a 33 até a nl tudo que está abaixo da Diagonal principal é igual a zero então aqui 00 10 e aqui em cima nós vamos ter a 2 3 até a 2n Oi de novo nós temos aqui uma situação em que temos uma matriz de todos os termos abaixo da Diagonal principal são iguais a zero Então qual vai ser o valor desse determinante aqui e olha o que podemos dizer sobre o restante dessa coluna aqui no cálculo do determinante vai ser igualzinho aqui em cima o próximo seria menos 10 vezes o determinante da subir Matriz correspondente depois teríamos mais 10 vezes o determinante da subir Matriz correspondente e assim por diante ou seja tudo que houver daqui para frente vai ser igual a zero durante o cálculo determinante utilizando essa coluna e agora para calcular esse determinante aqui eu vou usar o mesmo argumento vou utilizar e essa coluna essa primeira coluna e o determinante vai ser eu não posso esquecer do ar um que está aqui fora então vai ser igual a a hum vezes a 22 Às vezes o determinante da matriz tá subir Matriz correspondente ao a 22 excluindo a linha a coluna onde ele está ou seja a 33 até chegar em a n aqui a3n e tudo que estiver abaixo da Diagonal principal mais uma vez vai ser igual a zero bom então mais uma vez eu tenho aqui uma uma matriz triangular o superior porque todos os termos que estão aqui embaixo embaixo da Diagonal principal são iguais a zero eu vou escrever isso todas as matrizes em que os termos abaixo da Diagonal principal são iguais a zero são matrizes as matrizes triangulares superiores matrizes triangulares e superiores e agora se continuarmos repetindo esse processo nessa Matriz aqui o próximo determinante vai ser a três três vezes determinante da subir Matriz correspondente teríamos 1 a 1 vezes a 22 e por aí vai a subir matrizes estão ficando cada vez menores até que chegamos ao termo Ahan menos dois n - 2x a subir Matriz correspondente e primeiro tema que seria a n - 1 l -1 e o outro aqui seria a Ele - 1l o último termo que seria a ml aqui 0 e nós estamos nessa parte aqui e da nossa matriz A e o que é o determinante disso aqui bom é apenas o produto desse tempo esse termo menos desse termo vezes esse termo só que esse vezes esse da Zero então o determinante de ar e pode ser escrito como a um vezes a 22 seguimos até o final até chegarmos em a n&n ou então isso é simplesmente Olha só o produto dos termos da Diagonal principal O que é o resultado muito importante porque isso simplifica muito cálculo do determinante de uma matriz e se nós fossemos utilizar um outro método isso seria muito mais complicado e você pode usar isso até por exemplo para o cálculo do determinante de uma matriz 100 por 100 seria só multiplicar os termos da Diagonal principal dessa Matriz para achar o valor do determinante agora só para ter certeza de que as coisas estão Claras e deixe-me fazer um exemplo aqui eu vou calcular esse determinante aqui o determinante dessa Matriz 733 42 - 2336 173 e todos os outros temos serão 0000000 eu vou Calcular o determinante dessa matriz e como todos os termos que estão abaixo da Diagonal principal são iguais a zero essa é uma matriz triangular superior então determinante é obtido de que forma multiplicando os termos dessa diagonal o principal então é igual a 7 Vezes menos 2 x 1 x 3 O que é igual 7x - 2 - 14 - 14 x 1 - 14 - 14 x 3 = - 42 viu só muito fácil