Uma compreensão mais formal das funções

RKA - A gente passa praticamente a nossa vida inteira no colégio aprendendo sobre funções ou em qualquer tipo de estudo matemático, a gente estuda muito e fala muito sobre funções, só que a gente acaba de vez em quando passando batido sobre a verdadeira definição de o que uma função é. Então vou apresentar aqui uma maneira um pouco diferente de representar uma função. E a maneira é a seguinte: vamos supor que eu tenha uma função "f", mas ela não precisa ser necessariamente "f", "f" é uma letra que eu escolhi. A gente pode escolher aqui por exemplo "g", "h", "k", qualquer letra que a gente quiser definir a função. Então essa minha função "f" vai ser definida, é assim que se chama, definida de "x" em alguma outra letra que no caso vou chamar de "y" para ficar bem usual da maneira como vocês devem estar acostumados, uma função com valor "x" e outro valor que dá o resultado "y". Então se eu quiser falar isso aqui de uma maneira mais gráfica no caso eu posso fazer o conjunto, que se chama o conjunto dos números que compõem "x", e o conjunto dos números que compõem "y". E uma maneira legal de pensar nessas funções, de uma função no caso, é como uma relação entre dois números, como vocês podem ver aqui com essa flechinha. Isso aqui quer dizer que é uma relação entre esses dois números. E a maneira legal de pensar nessa relação entre dois números é, por exemplo, dessa maneira aqui: vamos supor que essa função é uma espécie de máquina e eu dou para essa máquina o valor de "x" e essa máquina me responde com o valor de "y" correspondente. Então isso daqui é o que a gente chama de resposta da função ou o caminho que a função fez, para no caso ligar um ponto valor de "x" a um valor de "y". Então no caso a função "f" faz essa ligação. Eu posso escolher outro ponto de "x" e ele pode achar outro ponto de "y" e fazer essa mesma ligação, ou até mesmo eu posso pegar outro ponto de "x", e ele pode me dar o mesmo valor de "y", no caso o mesmo valor desse grupo "y" aqui, desse conjunto "y" que eu já tinha, e isso não vai ser problema nenhum. E talvez, para ficar melhor para vocês entenderem eu posso explicar isso com uma fórmula que com certeza você já estão acostumados, quem sabe ela seja a fórmula mais famosa, a função mais famosa da matemática do ensino médio e de quase toda nossa carreira matemática, e vai ser a função "f(x)" igual a "x²". Vocês podem olhar para essa função e pensar: mas essa função daqui está escrita de uma maneira muito diferente dessa função daqui, que caso eu estou procurando. Como é que isso daqui significa isso daqui então? Para a gente transformar essa função daqui em uma função com essa forma daqui, a gente vai poder fazer a seguinte alteração: a função "f", que é a letra que eu escolhi, eu poderia aqui botar um "g(x)" até para ficar um exemplo melhor para vocês, mas eu vou deixar "f" porque eu acho que vocês entenderam esse lance de poder escolher a letra que vocês querem. Então vou falar a função "f" é uma função definida, como falei na primeira primeira parte, dos números reais. Por que números reais? Bem, porque eu possa escolher qualquer número que eu quiser botar aqui dentro desse valor aqui, desse valor de "x" aqui, eu posso botar qualquer número que eu quiser de dentro dos conjuntos reais, e esse número que eu botar ali vai me dar um resultado que também vai estar dentro dos conjuntos dos números... do conjunto dos números reais. Então aqui se a gente for olhar para a terminologia, para o nome da palavra, o nome correto dessa, matematicamente falando isso daqui vai ser o meu domínio, no caso o domínio da função, e isso daqui vai ser o contra domínio contra domínio. Acho que tem hífen aqui no meio é melhor botar contra-domínio da função. Só que vocês provavelmente já ouviram falar nesse nome "contra-domínio", talvez não, porque muitas pessoas muitas pessoas aprendem com o nome "imagem" ao invés de contra-domínio. E eu já vou explicar qual é a diferença entre "imagem" e "contra-domínio". Então vamos imaginar que eu pegue esse conjunto dos números reais aqui, vou desenhar ele... vou representar como representei aqui nesses círculos. Óbvio que o conjunto dos números reais não pode ser delimitado por uma borda porque ele simplesmente é infinito, é um conjunto de todos os números reais existentes, então essa borda simplesmente não existe, eu só fiz ela ela para dar um exemplo gráfico para vocês. E basicamente o que isso daqui quer dizer é que a função faz esse caminho daqui. Eu jogo um valor para ela, o valor de "x", e ela me responde com um valor que também está contido nesse conjunto dos reais. E quem sabe até um posso botar um valor ali e o valor pode me dar um mesmo ponto nesse conjunto. Eu vou ter aqui infinitos pontos que vão funcionar que eu poderia colocar e fazer e vai dar outro ponto e assim vai esse looping infinito. E a gente até pode relacionar essa variável "x" com o que ela vai fazer na função. Então ficaria uma anotação assim, talvez essa daqui vocês já tenham visto porque ela é um pouco mais usual do que essa anotação daqui. Porque essa anotação daqui, ela mostra, ela deixa bem evidente as características da função como, por exemplo, domínio e contra-domínio, mas essa anotação daqui vai dizer o que a função vai fazer na verdade. Então eu dou um valor de "x" para a função. Então a função eu dou um valor de "x" para ela, e essa função vai me dar, vai modificar esse valor de "x" e vai fazer ele virar "x²". Então eu gosto de pensar nisso daqui como se as funções fossem uma espécie de máquina, deixa eu ver se eu consigo desenhar aqui de uma maneira que vocês entendam. Então imaginem que eu tenho aqui uma máquina, uma máquina de funções ou a máquina "f", máquina de funções "f", e aqui eu jogue o valor de "x" a máquina processa esse valor de "x", ela vai pegar aqui vai trabalhar dentro dela com as engrenagens, vai mudar esse valor e vai me dar como resultado um valor "y" novinho que eu posso usar para meus cálculos. Então uma função nada mais é do que uma máquina de transformar um número em outro número, na verdade relacionar números de diferentes conjuntos. E nem sempre um contra-domínio vai ser igual a imagem de uma função. Então eu posso ter nesse mesmo exemplo aqui, seguindo o exemplo do conjunto dos números reais, eu posso ter aqui essa diferença entre contra-domínio e imagem na verdade. Então eu posso ter aqui um conjunto de números reais só falando novamente aqui, ele não precisa ter essa borda aqui porque ele é infinito, poderia desenhar simplesmente como o plano cartesiano inteiro mas acho que ia ficar muito grande para esse desenho. Então a gente pode ter o nosso contra-domínio que no caso é o conjunto dos reais, ele vai ser nosso contra-domínio, só que dentro desse contra-domínio pode ser que a função não alcance alguns valores. Então pode ser que aqui eu tenha os valores que ela alcança, por exemplo, se eu colocar 2 aqui eu vou alcançar valor 4. Se eu botar valor 3 eu vou alcançar o valor 9, só que pode ser que eu tenha alguns números que eu coloque aqui que simplesmente não são alcançados, então eles ficam de lado, ficam de fora da função. Isso até é difícil de acontecer, mas pode acontecer então tem que prestar bastante atenção com isso, que no caso isso daqui faz parte do conjunto contra-domínio mas não faz parte da nossa imagem da função, não faz parte de todos os... se vocês quiserem falar assim, de todos os "y" que fazem parte dessa função. Mas apenas esses números aqui que formam o chamado imagem da função. Então acho que essa maneira fica um pouco mais clara de entender, e a função nem sempre precisa, deixa eu pegar um pouco mais de espaço aqui, a função nem sempre precisa estar definida em um espaço unidimensional. Eu posso realmente complicar as funções, eu posso fazer por exemplo uma função "g" que é definida de "r2" provavelmente se vocês já ouviram falar dessa anotação aqui, esse daqui é um espaço bidimensional definida de "r2" e "r", por exemplo, eu pego vamos supor, o que essa função vai fazer? Ela vai pegar... opa a função "g", ela vai pegar dois valores, por exemplo "x" e "y", mas eu acho que vai ficar melhor explicar como "x1" e "x2", e vai transformar num valor dentro desse conjunto que é unidimensional, vamos supor "x". Então desenhando isso geometricamente, vou mostrar graficamente aqui uma imagem, seria mais ou menos pegar um conjunto bidimensional "r" dos números reais e fazer um ponto aqui que me desse um ponto lá, um valor lá de um conjunto unidimensional, que seria vamos supor uma linha reta, do valor do conjunto dos reais, eu esqueci "r2". E a mesma coisa eu posso fazer, por exemplo, o caminho inverso digamos, eu posso pegar uma função, uma função "h", que está definida, por exemplo, de "r" em "r3" vamos supor, ou melhor deixar com essa barrinha daqui, de "r" em "r3", por exemplo, eu posso pegar uma função aqui unidimensional, no caso o "r", e posso transformar ela em uma função tri, em um número tridimensional, seria mais ou menos pegar um número que está numa linha reta, vamos supor aqui, e relacionar ele com um número que estivesse dentro de um conjunto com três variáveis, por exemplo, uma forma, uma figura geométrica aqui de três dimensões para ficar um pouco mais fácil de entender só geometricamente. Não que essa tenha que ser realmente a forma como esses conjuntos são, não é isso, mas essa é uma maneira mais fácil de pensar nesses espaços assim. É como se essa função aqui fosse por exemplo eu pegar um valor "x" e transformar em um valor, vamos dizer "x1", "x2", "x3", que iriam dar os dados desse conjunto aqui. Seria o valor que a função teria que ter quando eu jogasse um valor "x" normal aqui. Só que até esse exemplo ele fica bem complicado de entender, mas quando vocês vão avançando nos estudos de matemática de vocês, vocês com certeza vão chegar uma hora que vão ver isso daqui. Isso daqui não é tão complicado na verdade, só parece complicado mas é só no caso mais valores para tomar cuidado e mais valores para observar, mas no fundo é a mesma coisa. Agora eu posso pegar, por exemplo, uma função "k" definida de "r2" em "r3", por exemplo, e ela pode me dar um valor "x1", "x2" e transformar em uma coordenada de três variáveis, por exemplo "x1", "x2", "x3", e a gente pode perceber que aqui, vamos supor, o conjunto "r2", dessa vez eu vou desenhar só duas bolhas para os conjuntos, eu vou desenhar na forma geométrica, vou conferir aqui em cima vez para facilitar um pouquinho mais o entendimento de vocês, e aqui, vamos supor vou dar um valor, e ele vai me relacionar com outro valor que pertence aqui ao conjunto "r3". Vamos supor que eu pegue um valor qualquer e, sei lá, eu queria verificar se ele está aqui com certeza. Isso aqui, essa área que eu estou circulando, esse conjunto que eu estou circulando em azul é o contra-domínio dessa função. Contra-domínio dessa função. E isso não quer dizer que todos os números que pertencem a esse contra-domínio necessariamente vão fazer parte da imagem, ou seja, dos resultados dessa função. Eu posso encontrar vários números aqui podem não pertencer a isso, dependendo da função que eu tiver, e esses números estariam, por exemplo, deixa eu fazer de outra cor aqui mais ou menos, poderiam estar aqui no meio só que eles fariam parte da imagem da função que no caso seria um conjunto muito menor inserido dentro desse conjunto aqui, mas não fariam parte do contra-domínio dessa função, que no caso seria um conjunto maior aqui. E ainda existe outra definição de funções, outra terminologia muito usual, na verdade não tanto... não tão cedo assim, que as pessoas vão usar ela mas vocês vão precisar uma hora ou outra que é a seguinte: isso daqui, quando a gente tem uma função de números reais, por exemplo, de um plano só, por exemplo, de "r" em "r" como essas funções aqui, provavelmente tipo essa função daqui, provavelmente a maioria das funções que vocês estão acostumados a ver. Essas funções são funções de valor escalar, é uma função escalar, ela vai me dar um número, enquanto uma função, por exemplo, dessas daqui, ou melhor ainda, pode ser uma função valor escalar ou ainda uma função do tipo real ou valor real, pode aparecer vários desses nomes, enquanto uma função desse tipo aqui que tem mais dimensões, mais mais espaços, mais variáveis no meio delas, essas funções aqui são funções vetoriais, valores vetoriais. E na verdade isso daqui já é o suficiente para se ter um entendimento um pouco mais formal do que são as funções e tem que só prestar bastante atenção com o conceito de domínio, com o conceito de contra-domínio e de imagem mas o que mais vai confundir vocês ou o que mais confunde as pessoas essa dificuldade de diferenciar contra-domínio e imagem de uma função. É só lembrar que a imagem está sempre inserida no contra-domínio, mas nem sempre o contra-domínio é imagem da função. Então esse foi o vídeo de hoje espero ter ajudado vocês e até o próximo vídeo.