Determinante de transposição

vamos ver o que acontece se tomarmos o determinante da transporta de uma matriz será que muda a gente vê isso vamos começar com um exemplo que temos uma matriz dois por dois e aí nós vamos calcular o determinante uma matriz dois por dois a b c d qual é seu valor desde determinante a de - bc se pensarmos na transposta dessa matriz dois por dois teremos trocando as linhas pelas colunas vai ficar a ser bd e determinate determinante fica a de - bc tá vendo não mudou e mudou porque a única coisa que a gente fez na transposição da matriz do tipo 2 foi trocar o bairro seja o lugar mas eles vão se multiplicar de qualquer jeito na hora de calcular determinante a uma conclusão a gente pode tirar pelo menos no caso de uma matriz dois por dois o determinante da mata 3 é igual determinante da silva transposta é um determinante de aço e pego a matriz a é igual determinante da transposta de água e agora vou usar um processo intuitivo para provar que isso aqui é válido não somente para uma matriz dois por dois mas que isso é válido para todos os casos e para isso acontecer nós vamos supor que isso aqui é verdadeiro para o caso de uma matriz em por ele vamos supor que é verdadeiro para o caso ele porém a nossa posição portanto é a seguinte se tivermos uma matriz b que a eni porém o determinate db é igual ao determinante da transposta db é isso que estamos assumindo que é verdadeira essa sua posição é a base da nossa indústria partindo disso será que nós conseguimos provar que isso também é verdadeiro para uma matriz com dimensões animais um porém mais um e é justamente isso que nós vamos ver se é válido para um caso n porém vai ser válido para um caso n mais um porém mais um nós vimos aqui que é válido para 1 caso 2 por 2 esse é o nosso primeiro caso n por ele então observar para a matriz dois por dois nós vamos ver que é válido para a matriz três por três ser válido para a matriz três por três vai ser válido para a matriz quatro por quatro e levado para uma mata três quatro por quatro também vai ser válido pro matre cinco por cinco e assim sucessivamente e é isso que a gente faz no mundo são primeiro nós provamos por um caso básico que é que foi uma matriz dois por dois depois assumimos que isso é válido para um caso de uma matriz n por ele agora nós vamos provar que vale para uma matriz n mais um porém mais um quando fizermos isso teremos a nossa prova concluída então vamos construir uma matriz em mais 11 por em mais um show de ser mais um pouquinho vamos ter uma matriz a letra a minha letra favorita para representar matrizes e essa matriz a sua matriz em mais um por animais o só para simplificar notação eu vou dizer que ele mais um é igual à m então essa vai ser uma matriz m1 por m e como vai ficar isso nós vamos ter na primeira linha a 1 e a12 a13 tm colunas tão vamos até o final pra chegarmos na coluna e me que aqui nós vamos ter o tema um emmy lembrando que me é igual a ele mais um ok na segunda linha nós vamos ter a 21 a 22 a 23 seguimos até chegarmos a 2m a terceira linha você vai ter a 31 a 32 a 33 seguindo até a três anos seguindo esse raciocínio nós chegar na linha m que seria a linha n mais um e aqui nós vamos ter a m1 m2 a m3 e prosseguindo até chegarmos em a mm muito bem agora nós vamos pegar a transposta de há muito bem a matriz a transposta também vai ser uma matriz e mais um porém mais um da mesma forma que eu usei e no lugar dele mais um aqui também vou usar então vou dizer que a matriz a transposta matriz gm por m e para descrevemos essa matriz é só pegamos a transposta já que vamos ter isso aqui então olha só a primeira linha como você já sabe vai virar a primeira coluna aqui a 1 e a12 a13 e vamos até chegar na linha a 1 m a segunda linha vai virar a segunda coluna então teremos aqui a 21 a 22 a 23 até a 2m a terceira linha vai virar a terceira coluna teremos aqui portanto a 31 a 32 a 33 até a 3m e finalmente seguindo nem até o final a última linha vai se transformar na última coluna então aqui teremos os termos a m1 m2 a m3 seg até à mm essa é a matriz transposta de a e agora quer saber qual é o determinante de ar o determinante de ar vai ser determinante já vai ser igual a nós podemos fazer o cálculo por essa primeira linha aqui portanto fica a 11 vezes o determinante da sub matriz correspondente que é essa é que estou fazendo um recorde em volta e essa sub matriz aqui eu vou indicar a ela como sendo a subir matrizes a 11 nós já vimos essa notação estão voltando determinante de a é a 1 vezes o determinante da chubb matriz correspondente que é a matriz a menos k-12 vez determinante da sub matriz correspondente que seguindo a lógica seria a olhando aqui a coluna e ali onde há 12 está seria a subir matriz a 12 e por aí vai até chegarmos nesse tema que esse tema seguindo a lógica de seqüência lógica de sinais também ele seria igual a menos um elevado a um mais m vezes a 1m vezes determinante da sub matriz correspondente que também seguindo a lógica seria subir matriz a um emmy e agora nós vamos para o determinante da transposta de ar nós vimos que para esse cálculo podemos utilizar os temas de uma linha e suas respectivas subir matrizes mas nós também podemos fazer esse cálculo utilizando os termos de uma coluna e suas respectivas subir matriz deixa eu ser um pouco mais claro para o cálculo determinante de ar nós seguimos os termos da primeira linha e as respectivas subir matrizes por isso temos aqui há um vez determinante da sub matriz correspondente - a 12 vezes determinante da sub matriz correspondente por aí vai mas para o cálculo determinante da transporta de ar ao invés de seguimos a linha nós vamos seguir a primeira coluna vamos pegar os temas da primeira coluna e as sub matrizes correspondentes portanto determinante da transposta já vai ser igual o primeiro tema que a 1 vezes o determinante da sub matriz correspondente ea subir matriz korrespondent.net tirarmos a coluna é a linha onde há um ano está seria essa sub matriz aquilo que eu estou destacando fazendo esse recorte e volta agora uma questão muito interessante é a seguinte como que essa sub matriz aqui que eu acabei de fazer esse recorte se relaciona com essa sub matriz que eu tinha feito recorte antes se você reparar bem essa linha que ia dia 22 até 2m se transformou na coluna que vai de a 22 até a 2 em mi essa linha que ia de a 32 até a 3m é que a 3m deixa fazer uma pequena correção bom essa linha que ia 32 até a 3m se transformou na coluna que vai de a 32 até a 3m e finalmente essa linha que ia de m2 até à mm se transformou nesta coluna aqui então olha só essa sub matriz aqui é igual a transposta desta sub matriz aqui então nós vamos ter a um vez determinante da transposta de a 1 e o próximo vai ser - a esse tema aqui há 12 fez o determinante da sub matriz correspondente se arriscarmos essa linha e essa coluna que nós vamos ter nos testes subi matriz aqui composta por essa linha e também por esta parte aqui agora como que isso se relaciona com a subir matriz a 12 se arriscarmos essa coluna e essa linha nós vamos ficar com isso aqui nessa coluna e essa parte agora de novo a gente vê o seguinte que essa coluna é igual a essa linha essa linha é igual a essa coluna essa linha é igual a essa coluna e essa linha é igual a essa coluna portanto a subir matriz que eu vou considerar no cálculo deste terminativa vai ser igual a transposta desta sub matriz então vou ter determinante da transposta de a 2 bom só para você ver melhor essa sub matriz aqui que eu estou marcando é transposta dessa subir matriz aqui então seguindo esse raciocínio cada sub matriz relacionada aos termos dessa coluna vai ser transposta de uma sub matriz relacionados aos temas dessa linha então seguindo o mesmo raciocínio utilizado nesse cálculo can sim nós vamos ter mas mais até chegarmos a esse tema aqui que vai ser menos um elevado a um mais m vezes esse termo que é a 1 m vezes determinante da sub matriz correspondente que agora nesse caso vai ser transposta de 1 m transposta agora seguindo assim o motivo é importante lembrar que a atriz há é uma matriz n mais um porém mais um mas dá uma olhadinha isso aqui nós assumimos que para uma matriz n por n o determinante dessa matriz é igual determinante da sua transposta e essa matriz aqui é uma matriz n por ele essa aqui é uma matriz em mais um porém mais o a mesma coisa vai acontecer com a transporta dela mas essas aqui são matrizes em porém essa aqui é por ele transposta dela também vai ser por ele e se nós assumimos que para um caso n por n o determinante da matriz é igual determinante da sua transposta essas duas coisas aqui têm que ser iguais porque é que eu tenho a matriz e aqui a sua transposta aqui também a mesma coisa portanto determinante da transposta de ar vai ser igual a esse tema a vezes o determinante de a um transporta que é a mesma coisa que determinante de a um ok as duas coisas aqui são iguais então aqui vai ficar determinante de a ram - a 12 vezes o determinante poderia escrever de a 12 transposta mais com mas aqui essas coisas são iguais vai ficar a 12 determinante de a 12 mas por aí vai até chegarmos a menos um elevado a um mais e me a um emmy vezes o determinante e aqui de novo eu poderia escrever e se determinante dessa matriz mas vou pegar o determinante de a 1 m bom agora você vê claramente que essa linha aqui de azul é igual essa linha de baixo deixou de ser um pouquinho aqui nós podemos concluir o seguinte no caso de uma matriz em mais um porém mais um o determinante dessa matriz vai ser igual ao determinante da sua transposta que nós concluímos isso é importante lembrar assumindo que isso era verdadeiro verdadeiro para o caso onde nós tínhamos uma matriz n por ele portanto nós podemos dizer que isso é verdadeiro porque inicialmente nós provamos para um caso básico onde tínhamos uma matriz dois por dois depois concluímos que se assumimos verdadeiro isso para o caso de uma matriz n por ele isso também é verdade para uma matriz n mais um porém mais um então ser válido para 1 caso 2 por dois vai ser válido para um caso três por três mais elevado para um caso três por três vai ser válido para um caso quatro por quatro e por aí vai resumindo a idéia desse vídeo é a seguinte se tomarmos uma matriz ea sua transposta o determinante da matriz e da transposta vai ser o mesmo não vai mudar