Transposições de somas e inversas

nós vamos provar algumas propriedades interessantes a respeito de matrizes transposta separar isso vou definir uma matriz e que é igual à soma das matrizes a e b e então cada termo da matriz c vai ocupar uma linha aí uma coluna j ele vai ser igual à soma dos respectivos temas que ocupam as mesmas posições mas nas matrizes a e b ou seja cj vai ser igual a a a e j ou seja o termo que ocupa a linha aí coluna j na matriz a mas bej que é o termo que ocupa a linha ea coluna j mas na matriz b essa aqui é a definição de sono de matrizes e agora quero pensar na sttrans postas dessas duas matrizes vamos começar pela matriz a ela terá várias entradas da forma a e j ou seja cada termo dessa matriz vai estar numa linha aí numa coluna j não vou colocar todos os temas aqui porque a gente vai gastar uma eternidade para escrever isso mas dá para a gente entender a idéia ea transposta de água transposta já vai ter vários termos que serão dessa forma que a linha e j ok é não vou também escrever todos os temos aqui mas eu posso dizer que na matriz transposta cada termo vai estar numa linha e também numa coluna j pode ser que esses temas que eu peguei como exemplo que sejam os mesmos mas isso não faz diferença o fato é que como aqui eu tenho uma matriz transposta nós sabemos que as linhas e as colunas foram trocadas ok então se na matriz haiti um termo à j e quando nós fizemos a transposição esse tema por exemplo se transformou nesse a linha e j então eu digo que na transposta o tema a linha e j vai ser igual ao tema a j e eu posso usar o mesmo argumento para a matriz b então se eu pensar na matriz b transposta um dos temas dessa matriz de transporte vai ser por exemplo belinha e j o que estou pensando no tema geral aqui e esse tema belinha rj que está na matriz transposta ele é correspondente ao termo b j aí a matriz b a gente observa que portanto a definição de matriz transposta por exemplo se aqui temos um tema que está na terceira linha e segunda coluna aqui ele vai estar na segunda linha e terceira coluna bem se pensarmos na transposta de ser transposta descer a ser composta por termos da mesma forma que nós fizemos aqui vai ser composta por termos da forma ser linha e j que peguei também o termo geral aqui o que nós podemos dizer então seguindo o mesmo raciocínio que ser linha i j na matriz transposta vai ser igual à c j e na matriz e esses temas são correspondentes mais uma vez é só estou usando aqui a definição de matriz transposta como usei para as matrizes a e b ok mesmo raciocínio foi usado aqui foi usado aqui também mas vamos pensar um pouco em quem é esse tema aqui c j e nós temos que o tema cnj é igual a e j mais bj então cj aí a gente pode trocar que também vai ser igual a a a j aí mas bj aí eu simplesmente usei essa informação aqui se eu tivesse no lugar de j x e y que eu teria x e y que eu teria x e y como eu tenho j aí aqui eu vou te j iac também voltei jataí agora quem é a j e quem é bj e eu vou escrever essa soma usando essa igualdade aqui a j é igual a a linha i bj aí é igual a belinha e j o que é que isso aqui me disse isso aqui também dizendo que a transporta de ser que é a mesma coisa que a transposta da só jamais b onde escreveu isso aqui ser transposta é igual a mais b transposta ser linha e j representa os termos da transposta da soma de a e b e quem são esses temos aqui veja bem a linha j representa os temas da matriz a transposta e belinha rj representa os termos da matriz b transporta tudo bem é esse tema que representa os temas da transposta de água já disse que esse tema que representa os temas da transposta db quando eu somo 2 a 2 eu estou somando temos que são correspondentes veja bem isso aqui está nos dizendo o seguinte se eu somos duas matrizes e depois faz a transposição do resultado ou então se eu pego duas matrizes a transposta de cada uma dessas duas matrizes e som eu vou obter o mesmo resultado então eu posso somar primeiro para transpor depois outras pois mata crises primeiramente para depois chamar o resultado vai ser igual esse resultado mostra uma propriedade muito interessante sobre as matrizes transposta nós vamos ver mais uma propriedade e acredito que nós já vamos encerrar esse assunto sobre propriedades de transposta se muito bem deixando esse aqui pra abrir um pouco de espaço nós vamos continuar falando de transposta mas isso aqui é um pouquinho diferente olha só vamos pegar a matriz inversa de ar tão a elevada - um vai ser a matriz versa de área e pra que há menos um seja inversa de ar para que isso aqui faz sentido eu devo ter o seguinte produto de a pela sua inversa tem que ser igual a matriz de identidade assumindo que essas matrizes aqui são matrizes n por mpe e da mesma forma o produto da inversa de ar pela matriz a também tem que ser a matriz identidade agora nós vamos pegar transposta dos dois lados da igualdade então a vezes a inversa de a transposta é igual à matriz de identidade transposta mas o que é transposta da identidade se nós pegarmos aqui a ata identidade a gente sabe que essa é uma matriz em que todos os temas que estão na diagonal principal são iguais a um e todos os outros termos são nulos são 100 00 essa matriz identidade então aqui seria o termo a 1 a 22 a 33 a 44 até chegarmos ao tema a eni na hora que a gente faz a transposição a única coisa que acontece é que esses zeros aqui vão ser trocados de lugar porque os termos da diagonal principal não são trocados na transposição então a transposta da matriz identidade é a própria atriz identidade que agora nós vamos usar a mesma idéia que olha só dos dois lados da igualdade temos a a inversa de a vezes a materializar transposta vai ser igual a matriz identidade transposta que é como nós já vimos igual a própria matriz identidade deixa eu colocar 1 - 1 aqui a inversa de ar nós sabemos o que acontece quando temos a transposição de um produto é só calcularmos o produto da sttrans postas dessas matrizes aqui por em ordem inversa ou seja inversa de a transposta vezes a transposta e isso é igual uma 13 identidade da mesma forma que nós vamos ter o seguinte a transposta vezes a inversa de a transposta e isso também é igual à matriz identidade agora só que interessante aqui eu tenho é transposta da inversa vezes a transposta de ar isso é igual a matriz da entidade e aqui eu tenho que é transposta de ar vezes a transposta da inveja já também é igual a matriz da entidade isso implica portanto que a transposta da matriz inversa de área é a inversa da matriz a transposta e uma outra maneira de escrever isso aqui é a senhora é a inversa da transposta de ar é igual a transposta da inversa de bom chegamos a mais um resultado sobre matrizes transpostos que temos aqui é o seguinte que é a inversa da matriz transposta é igual a transposta da matriz inversa