Transposição de um produto de matriz

RKA2G - Eu tenho aqui várias matrizes. Para começar, uma matriz A, "m" por "n", "m" linhas e "n" colunas. E esse termo, aqui na coluna "j" e linha "m", vai ser o termo aₘⱼ. Ele pode ser útil, por isso vou colocá-lo aqui. Eu tenho também uma matriz B, definida de maneira muito similar, só que ela vai ter "n" linhas e "m" colunas. Na coluna "j" e linha "n", eu vou ter o temo bₙⱼ. Isto aqui também pode ser útil. Eu tenho aqui também a transposta de B. B é uma matriz "n" por "m". A transposta de B vai ser uma matriz "m" por "n". Cada uma das linhas de B se transformou em colunas na matriz B transposta. E a mesma coisa na matriz A: ela é uma matriz "m" por "n". A matriz transposta de A vai ser uma matriz "n" por "m". Eu também posso ver que as linhas foram trocadas por colunas. Agora nós vamos definir novas matrizes aqui. Para começar, vou definir uma matriz C. E essa matriz C é igual à matriz A vezes a matriz B. Quais vão ser as dimensões de C? Para que esse produto seja possível, estes dois têm que ser iguais. Tudo bem, já são iguais, "n" e "n". E o resultado vai ser uma matriz de "m" linhas por "m" colunas. Então, as dimensões de C são estas, "m" por "m". Agora vou definir uma outra matriz, que vou chamar de D. E D vai ser igual ao produto da transposta de B pela transposta de A. D é igual à transposta de B vezes a transposta de A. De novo, a gente se pergunta: quais vão ser as dimensões de D? Para que este produto se defina, estes dois têm que ser iguais (já são) e o resultado vai ser uma matriz, também, "m" por "m". Mesma coisa que a matriz C. As dimensões de D vão ser "m" linhas por "m" colunas, também. Agora eu quero analisar como vão ser os termos dessa matriz C. Na matriz C, nós vamos ter estes temos: c₁₁, c₁₂, como ela tem "m" colunas, c₁ₘ, seguindo até o final, vamos ter o termo cₘₘ. Aqui vamos ter, na última linha, cₘ₁, aqui temos o c₂₂... Você já entendeu o que está acontecendo. Mas eu quero analisar o seguinte: se eu tiver um termo que está na linha "i" e na coluna "j", um termo cᵢⱼ. Este termo em particular. Durante a realização do produto, do cálculo do produto de A por B, como esse termo apareceu? Qual foi a origem dele durante o cálculo desse produto? A verdade é que esse termo Cᵢⱼ se origina a partir do produto escalar da linha "i" da matriz A, e coluna "j" da matriz B. E como a gente pode escrever isso? Assim: aᵢ₁ vezes b₁ⱼ, mais aᵢ₂ vezes b₂ⱼ E assim, a gente segue até o final, até que chegamos em aᵢₙ vezes bₙⱼ. Muito bem, agora, como fica isto para a matriz D? Vamos ver aqui, vou descer para criar um espaço. Vamos analisar como vai ser a matriz D. A matriz D vai ser assim. Vou ter aqui o termo d₁₁, d₁₂ e por aí vai até chegar a d₁ₘ. O último termo é dₘₘ. Na última linha vamos ter dₘ₁, aqui temos d₂₂... Mas eu quero saber um termo em particular, este termo dⱼᵢ. Este termo, em particular, você está reparando que ele está um pouco diferente, a notação é diferente. Mas "j", aqui, significa para a gente a linha e "i", a coluna. Está um pouco diferente, mas, de novo, eu me pergunto: o que vai originar este termo dⱼᵢ? Ou seja, o termo que está na linha "j" e coluna "i"? Como a gente faz para descobrir isso? Vamos ver. Eu tenho o termo dⱼᵢ. E a matriz D, a gente sabe que é o produto da matriz B transposta pela matriz A transposta. Então, o termo dⱼᵢ, que está na linha "j" e coluna "i", vai ser obtido pelo produto escalar da linha "j" da matriz B transposta pela coluna "i" da matriz A transposta. E agora tem uma coisa interessante, vou mostrar aqui. Esta linha é igual a esta coluna, esta linha é igual a esta coluna. Isso é óbvio, porque a gente fez a transposição das matrizes. Mas vamos lá, vamos voltar e escrever como se chega a este termo aqui. Vai ficar assim: b₁ⱼ vezes aᵢ₁. Mas, como é uma multiplicação, eu vou trocar a ordem. Vou deixar aᵢ₁ vezes b₁ⱼ. Mais: b₂ⱼ vezes aᵢ₂. Também vou trocar a ordem. Vou escrever aᵢ₂ vezes b₂ⱼ. E assim nós seguimos, até chegarmos ao termo bₙⱼ vezes aᵢₙ. Também vou trocar a ordem. Vou escrever aᵢₙ vezes bₙⱼ. Agora, repare que isto é igual a isto. Estas duas coisas são iguais. Então, o termo cᵢⱼ é igual ao termo dⱼᵢ. Uma outra maneira de pensar isso é a seguinte: qualquer coisa que está na linha "i" e coluna "j", em C, está na linha "j" e coluna "i", em D. E isso é válido para todos os termos. No geral, é assim que funciona. Agora, o que é isto aqui? Isto é a definição de matriz transposta. Assim, eu posso dizer que a matriz C transposta é igual à matriz D. Ou então, posso dizer também que a matriz C é igual à matriz D transposta. Isso é muito interessante, porque como nós definimos C e D? Nós definimos que a matriz C é igual à matriz A vezes a matriz B. E também definimos que a matriz D é o produto de B transposta por A transposta. Vamos lembrar isso? Olha só, aqui no início. C é igual a A vezes B e D é igual a B transposta vezes A transposta. Foi isso que eu escrevi aqui. E aqui nós vimos que D é igual a C transposta. Escrevendo aqui, então: C transposta é igual ao produto de A e B, da transposta disso. Só que isto é igual a D, porém, D é igual ao produto de B transposta por A transposta. E este é um resultado muito interessante. O que isto está me dizendo é que, se eu calculo o produto de duas matrizes e faço a transposição do resultado, isso é equivalente a calcular o produto das transpostas dessas duas matrizes, mas em ordem inversa, ou seja, B transposta vezes A transposta. Isto é um resultado realmente interessante. E você pode estender isto para um número arbitrário de matrizes. Eu não vou provar isso aqui, mas a gente pode concluir isso a partir deste resultado. Por exemplo: se eu tenho três matrizes e vou calcular o produto delas, matriz X vezes a matriz Y vezes a matriz Z, e eu faço a transposição do resultado desse produto, isso é equivalente ao produto da transposta de Z pela transposta de Y pela transposta de X. Só na ordem inversa aqui. Eu não estou provando isto para um caso geral, mas enfim. Você podia fazer isso para 4, para 5 ou para "n" matrizes que iria dar certo. E você prova isso a partir deste raciocínio básico. Se você calcula o produto de duas matrizes e faz a transposição do resultado, isso é equivalente a calcular o produto da transpostas dessas duas matrizes, porém, na ordem inversa.