Definindo o ângulo entre vetores

RKA - Em vídeos anteriores nós tratamos da norma ou da... ou do comprimento, ou módulo, de um vetor. Agora nós queremos olhar para o ângulo formado entre vetores. Para isso, vamos considerar, então, dois vetores “a” e “b” em "Rⁿ" não nulos. Não nulos. E vamos estudar o que podemos chamar de ângulo entre esses vetores. Vamos supor que eu tenho aqui o vetor “a” e aqui o vetor “b”. Consequentemente, eu teria aqui, aqui estaria o vetor “a - b”. Lembre-se de que “a - b” é “a + (-b)”. Então, você poderia inverter aqui o sentido e fazer “a + b” que daria exatamente esse vetor que você vê aqui. A ideia é estudar esse triângulo e tratar do ângulo formado entre os vetores matematicamente. Para estudar esse ângulo entre vetores, eu vou representar novamente esta situação por meio de um triângulo, normalzinho mais simples. E com as medidas dos lados desse triângulo. Bom, a medida do lado, deste lado, do triângulo é a norma de “a”. A medida deste lado do triângulo é a norma de “b”, e naturalmente a medida deste lado do triângulo é norma de “a - b”. Bem, a primeira coisa que precisamos fazer é garantir que este triângulo exista para os vetores “a” e “b” arbitrários quaisquer. Então para isso vamos recorrer à desigualdade triangular, que foi estudada no vídeo anterior, para verificar se esse triângulo sempre vai existir. A desigualdade triangular nos diz que a medida de um lado de um triângulo tem que ser menor que a soma das medidas dos outros dois lados do triângulo. Em outras palavras, aqui por exemplo, se eu for olhar para esse lado cuja medida é a norma de “a”, Nós precisamos garantir que a norma de “a” seja menor que a soma das medidas dos outros dois lados do triângulo, que é norma de “b” mais a norma de “a - b”. "a - b". É o que nós vamos chamar de condição de existência do triângulo. Isto olhando para o lado cuja medida é a norma de “a”, para o lado cuja medida é norma de ”b”, analogamente, ele tem que ser menor que os outros dois lados, que as medidas dos outros dois lados somadas. E, finalmente, o terceiro lado que é dado pela norma de “a - b”, tem que ser menor que a soma dos outros dois lados, as medidas dos outros dois lados, que é a norma de “a” mais a norma de “b”. Estas três coisas têm que ser garantidas para que o triângulo exista para um vetor “a” e um vetor “b” não nulos quaisquer. Vamos checar, então, se nós satisfazemos estas condições de existência. São condições de existência do triângulo. Para isso vamos usar uma informação importante, que eu vou colocar aqui ao lado, que é a magnitude da soma de dois vetores é sempre menor que ou igual à soma das normas dos dois vetores. No vídeo anterior nós demonstramos essa desigualdade que é a desigualdade triangular. Vamos lá! Vamos começar pensando nesta primeira situação. Ali nós temos a norma do vetor “a”. A norma do vetor “a” é igual... Bem, vamos reescrever. O "a" é a mesma coisa que o “a + b - a” Isso tudo é a mesma coisa que "a". Só estou reescrevendo. Vou colocar parênteses aqui. Muito bem. Ora, se "a" é a mesma coisa que a norma de "a", é a mesma coisa que a norma de “a + b - a”, isso que seria a soma de dois vetores, isso tem que ser menor que ou igual a. Estamos olhando aqui para a desigualdade triangular agora. A norma do vetor “a” mais a norma do vetor “b - a”, Então a norma do vetor "a" tem que ser menor que ou igual à norma do vetor “a” mais a norma do vetor “b - a”. Bem, uma coisa que eu não posso me esquecer aqui é que a norma do vetor “b - a” é igual à norma de “a - b”. A norma módulo, “b - a” e “a - b” teriam a mesma norma, o mesmo módulo, porém com os sentidos opostos. Com esta conclusão, ou seja, a norma de “a” é menor que ou igual a norma de “a” mais a norma de “b - a”, nós garantimos que esta condição de existência esteja satisfeita. Claro, aqui estamos falando menor que ou igual porque temos a possibilidade de que "a" e "b" sejam um múltiplo do outro por um escalar. E aqui nós estamos considerando dois vetores em que isso não ocorre. Vamos analisar depois como lidar quando isso ocorrer. Vamos olhar para a segunda desigualdade, então. A norma de “b”. Vamos estudar a norma de “b”. A norma de “b”, sem dúvida nenhuma, é igual a norma do “b” mais “a - b”. Isso que eu estou reescrevendo aqui. É a mesma coisa do que, simplesmente, “b”. Bem, usando a desigualdade triangular isso tem que ser menor que ou igual a norma de “b” mais a norma de “a - b”. O que de novo nos garante que essa desigualdade está satisfeita. Lembrando que o fato de poder ser igual está relacionado a dois vetores com mesma direção. E aí nós vamos estudar, particularmente, um pouco mais adiante ainda neste vídeo. Finalmente nós temos aqui esta outra situação em que precisamos garantir que a norma de “a - b” seja menor que a norma de “a” mais a norma de “b”. Bem, reescrevendo aqui “a - b”, que você vê aqui, é a mesma coisa que o “a + (-b)". Muito bem, então a norma de “a + (-b)” tem que ser menor que ou igual a norma de “a” mais a norma do “-b”. Entretanto, a norma do “-b” é a mesma coisa que a norma de “b” porque “b” e “-b” são vetores que têm o mesmo comprimento, porém, mesma direção e sentidos opostos. Ou seja, a norma entre eles é igual isso garante, então, a terceira condição de existência para esse triângulo, para quaisquer “a” e “b” arbitrários. Vamos seguir adiante e olhar, então, definitivamente para os ângulos entre os vetores. Eu vou desenhar aqui novamente um certo vetor “a”, um certo vetor “b”. E, aqui, nós vamos ter, naturalmente, o vetor “a - b”. Eu já redesenhei ao lado o mesmo triângulo de maneira mais simplificada. Eu posso tirar as setas porque estou interessado agora só nos comprimentos. E nesse triângulo eu vou identificar aqui, então. Este lado a medida dele é a norma do vetor “a”, neste lado a medida é a norma do vetor “b” e, neste outro lado, a medida é a norma do vetor “a - b”. Bem, vamos definir o ângulo entre os vetores. Neste triângulo nós sabemos, por exemplo, que aqui temos um ângulo teta ϴ que é a definição comum de ângulo que temos na geometria plana. Transportando deste triângulo comum para a situação dos vetores, nós definimos este ângulo como o ângulo formado quando dado os dois vetores com o vértice colocados aqui no mesmo vértice. Formam-se dois lados de um triângulo e o terceiro lado do triângulo é o vetor diferença entre eles. Ou seja “a -b”, por exemplo, nesse caso. Naturalmente estamos fazendo aqui um dos exemplos bem simples, mas isso vale para qualquer quantidade de dimensões, ou seja, vale em “Rⁿ”. E para lidar então com esse ângulo vamos estabelecer algumas relações entre essas medidas todas que temos aqui. Para isso você vai precisar se lembrar da Lei dos Cossenos. Se você não se lembra nos vídeos sobre trigonometria você pode encontrar, lá temos a demonstração. A Lei dos Cossenos nos traz a seguinte informação, dado um triângulo cujos lados medem “a”, “b” e “c”. Esse lado mede, por exemplo, “a”. Este aqui mede “b”, e este aqui mede “c”. E entre o a" e o "b" existe um ângulo de medida ϴ. A Lei dos Cossenos nos diz que o lado oposto ao ângulo ϴ, “c²” é igual ao quadrado do outro lado mais o quadrado do outro lado, menos 2 vezes “a” vezes “b”, vezes o cosseno do ângulo formado entre “a” e “b”. Esta lei é uma, digamos, extensão do teorema de Pitágoras porque ele não depende de que o ângulo seja de 90 graus. Pode ser qualquer medida. Nós vamos, então, aplicar a Lei dos Cossenos neste triângulo que nós estamos estudando bem aqui. Vamos lá! Como o ângulo ϴ está aqui o lado oposto a ele é o lado correspondente ao vetor diferença. Então eu vou escrever a norma de "(a - b)²". isto seria o “c²” neste outro exemplo. É igual a norma de “a²” mais a norma de “b²” menos 2 vezes a norma de “a”, vezes a norma de “b”, vezes o cosseno do ângulo ϴ. Com isso, conseguimos relacionar os lados do triângulo que são as normas de vetores e o tal do ângulo ϴ, que queremos conhecer, com o qual queremos trabalhar. Mas é possível simplificar bem essa expressão e obter algo mais interessante. Nós sabemos que a norma de um vetor elevada ao quadrado corresponde ao produto escalar do vetor por ele mesmo. Então, neste caso a norma de "(a - b)²" corresponde ao produto escalar de “a - b” por “a - b”. Isso aqui e isso aqui são equivalentes. Vamos trabalhar um pouco em cima disso que eu escrevi em verde, e depois retomamos aquela expressão. Sabemos que a propriedade distributiva existe para o produto escalar de maneira que aqui eu tenho o vetor “a” que multiplica esse outro vetor “a”. Então eu tenho “a” multiplica. O que eu quis dizer é produto escalar, “a” produto escalar com “a” a partir daqui. Agora o vetor “a” multiplica o vetor “b”, aqui, com o menos. Multiplica é produto escalar, não é?. Então, menos o vetor “a” escalar vetor “b”. Agora o “-b” produto escalar com o “a”. Então “-b” escalar “a”. E finalmente, o “-b” aqui com “-b” aqui, vamos ter mais “b” escalar com “b”. Estou só olhando para isso aqui, estou trabalhando em cima desta parte. Bem, continuando, nós vamos ter aqui “a” escalar com “a” significa norma de “a²”. Aqui “a” escalar “b” e “b” escalar “a”, temos propriedade comutativa no produto escalar, então são a mesma coisa. Então aqui temos menos 2 vezes o “a” escalar “b”. E finalmente, do mesmo jeito, “b” escalar “b” é a norma de “b²”. Isso que eu escrevi fica bastante interessante no lugar desta expressão porque fica mais parecido com o que temos do outro lado da igualdade. Vamos reescrever tudo aqui para organizar melhor. Eu vou reescrever esta expressão, mas no lugar da norma de "(a - b)²" eu vou colocar isso tudo aqui. Vamos lá! Eu tenho aqui a norma de “a²” menos 2 vezes o produto escalar de “a” por “b”, mais a norma de “b²”. Isto é o que era isto, é igual a, igual a tudo isto aqui. Então eu reescrevi aquela expressão ali em cima e agora vamos poder simplificar bastante coisa. Veja só, norma de “a²” cancela com a norma de “a²”, eu subtraio dos dois lados a norma de “a²”. Norma de “b²” a mesma coisa, eu subtraio dos dois lados. Sobra este pedaço e este, só que o menos 2 multiplicando todo mundo aqui e do outro lado podemos cancelar o -2 e o -2. Sobra simplesmente uma informação que vai ser extremamente importante para nós. O produto escalar de “a” por “b” é igual a norma de “a”, multiplicada pela norma de “b”, multiplicada pelo cosseno do ângulo entre os vetores “a” e “b”. Desta forma nós conseguimos trabalhar com este ângulo. Pode ser em qualquer dimensão, em qualquer quantidade de dimensões. Embora seja, claro, é muito difícil visualizar em “R¹⁰⁰”, por exemplo. Mas aqui nós sabemos já como estabelecer uma relação entre os vetores e o ângulo que se forma entre eles. Fica assim definido o ângulo entre os vetores “a” e “b”. Observe que agora é possível calcular o ângulo formado entre quaisquer dois vetores através dessa fórmula. Vamos ver o que acontece em algumas situações. Por exemplo, o que acontece. O que acontece se "a" for igual a um certo escalar multiplicando o vetor “b”? Com este escalar aqui um número positivo. Se "a" é igual um constante positivo multiplicando “b”, o ângulo entre eles é definido como zero porque “a” e “b” têm a mesma direção e o mesmo sentido. Por outro lado, se o "a" for igual um constante negativo multiplicando “b”, significa que eles têm a mesma direção e sentidos opostos. De maneira que definimos aí, nesse caso, um ângulo de 180 graus entre eles. Temos também a definição de vetores perpendiculares. Como você já deve esperar vetores perpendiculares são aqueles que formam entre si um ângulo de 90 graus. Ora, mas o que deve acontecer quando voltarmos ali a definição de ângulo entre vetores? Veja, o cosseno de 90 graus é zero. Se o cosseno de 90 graus é zero, a segunda parte da igualdade toda vai ficar zero. De modo que o produto escalar entre “a” e “b” será zero quando os vetores forem perpendiculares. Esse é um resultado importante. Se temos dois vetores perpendiculares, então o produto escalar entre eles é zero. Vale lembrar que tudo isso que estamos fazendo aqui não se define para quando temos um vetor nulo, um vetor zero. Basta você verificar o que acontece se no lugar, por exemplo, do vetor “a” tivéssemos vetor zero. O lado esquerdo da igualdade ficaria zero e no lado direito da igualdade a norma de "a" vezes a norma de "b" daria também zero. Então teríamos zero é igual a zero vezes o cosseno do ângulo e o cosseno do ângulo seria zero dividido por zero. O que dá uma indeterminação, ou seja, não há como definir um ângulo entre um vetor nulo e outro vetor. Observe também que o vetor nulo, o vetor zero, produto escalar com outro vetor qualquer vai dar resultado zero. Isso significa que o zero e o "a" são perpendiculares porque afinal de contas o produto escalar entre eles resultou em zero. A resposta é que não! Ângulo entre vetores não se define para quando estamos tratando com vetor nulo. Isso nos leva a tomar um pequeno cuidado com relação ao produto escalar de dois vetores ser zero. A condição de que temos dois vetores perpendiculares implica em um produto escalar resultando em zero é valida. O contrário não. O contrário só vai valer se eu tiver bem claramente definido que os dois vetores envolvidos são não nulos. Aí sim, se dois vetores são não nulos e o produto escalar entre eles é zero, então eles são perpendiculares. Observe, então, que a condição do produto escalar ser zero entre dois vetores não garante a perpendicularidade. Esta condição sozinha não garante. Então, quando nós temos uma situação em que o produto escalar de dois vetores quaisquer é zero, é vetor nulo, nós dizemos que eles são vetores ortogonais. Se temos, simplesmente, esta informação, “a” escalar “b” igual a zero, nós dizemos que os vetores “a” e “b” são ortogonais. Então, naturalmente, todos os vetores perpendiculares também são ortogonais. Do mesmo modo, o vetor zero é ortogonal a qualquer outro vetor. Inclusive a ele mesmo, zero. Vetor zero. Produto escalar com vetor zero, vai dar zero. Por definição o vetor zero, então, é ortogonal a ele mesmo inclusive. Está aqui ficando mais claro que existe uma diferença entre as palavras perpendicular e ortogonal. Muitas vezes ao longo do seu estudo em matemática você acreditou, você imaginou, que as duas palavras fossem, significassem, a mesma coisa, mas aqui estamos vendo que há distinção entre elas. Em matemática nós temos que ser muito precisos e cuidadosos com todas as palavras que nós usamos. Veja que nesse caso você pode falar de dois vetores ortogonais que não sejam perpendiculares. Porém não o contrário, se falar de dois vetores perpendiculares eles serão ortogonais. Muito bem, eu espero que você tenha aproveitado bastante. Que isso seja bastante útil para você na sua vida matemática. Estudamos o ângulo formado entre vetores. Vamos continuar com esse estudo. Te vejo no próximo vídeo, até lá!