Demonstração das propriedades do produto escalar do vetor

RKA - Neste vídeo vamos estudar algumas propriedades do produto escalar de vetores. E algumas coisas você vai notar muito familiares porque você já usa com os números. Entretanto, nós estamos aqui tratando de vetores, não podemos assumir que nada é verdadeiro sem antes provar. E é o que nós vamos fazer. A primeira coisa que nós vamos provar é a comutatividade, ou seja, se eu tiver um vetor "v" produto escalar com o vetor "w". Será que é igual a fazer o "w" produto escalar com "v", ou seja, se eu mudar a ordem no produto escalar eu tenho o mesmo resultado? Vamos verificar. Vamos supor que o vetor "v" seja composto por "v₁", "v₂"... até o "vₙ", e eu vou aplicar a ele o produto escalar com o vetor "w" que tem os componentes "w₁", "w₂" etc, até o "wₙ" que é o que você está vendo no primeiro membro da igualdade. Pela definição nós sabemos que isto resulta em "v₁" vezes "w₂", (isso são números reais lembre-se disso) mais "v₂" vezes "w₂" mais "v₃" vezes "w₃" até o ""vₙ" vezes o "wₙ". Vamos agora analisar o lado direito da igualdade que é "w" vezes "v". O vetor "w" que tem "w₁", "w₂", até o "wₙ" produto escalar com o vetor "v" que é o "v₁", "v₂" até o "vₙ". E isso nós sabemos pela definição de produtos escalar que vai resultar em "w₁ × v₁ + w₂ × v₂ + w₃ × v₃" e assim por diante até "wₙ" vezes "vₙ". O fato é que "v₁ vezes w₁" é um número real multiplicado pelo outro (ou por outro). "w₁ vezes v₁" também é a multiplicação de dois números reais e nós sabemos, pela propriedade comutativa da multiplicação para números reais, que "v₁w₁" é igual a "w₁v₁", do mesmo jeito para "v₂w₂" com "w₂v₂" e assim por diante. Observe que esta igualdade nós sabemos porque conhecemos a propriedade comutativa. Mas para números reais e isso aqui são números reais não são vetores. Nós, aqui, quando tratávamos de vetores tínhamos que demonstrar. O fato é que agora demonstrando que para todas as parcelas escrever "v₁w₁" é a mesma coisa que “w₁v₁” e "v₂w₂" a mesma coisa que “w₂v₂” e assim por diante. Nós podemos, então, concluir que o "v" escalar com "w", que é o primeiro (a primeira linha aqui) é de fato igual ao "w" escalar com "v" e assim nós demonstramos que, de fato, isso aqui é verdadeiro. Vamos agora analisar a distributividade do produto em relação à adição de vetores. Vamos tomar de novo os vetores "vw" e agora um outro vetor "x". E o que queremos mostrar é que o vetor "v" adicionado ao vetor "w" (e o resultado disso aqui é um vetor) produto escalar com "x" é igual a "v" escalar com o "x" mais o "w" escalar com "x". Isso parece bastante familiar quando se trata de números. Entretanto, aqui estamos nos... ou melhor dizendo, estamos no contexto dos vetores. De maneira que temos que provar que esta igualdade é verdadeira ou mostrar que ela é falsa. Vamos fazer as contas. Primeiro vamos obter "v + w". "v + w" pela definição da adição de vetores é o "v₁" + "w₁" o "v₂" + "w₂" e assim por diante até o "vₙ" + "wₙ". É esse o resultado de "v" + "w", que é um novo vetor. Vamos fazer o produto escalar deste resultado, que era isso aqui, pelo "x". Pela definição vai ser tomar o vetor "v + w", que é o "v₁ + w₁", "v₂ + w₂" e assim por diante até "vₙ + wₙ", e efetuar o produto escalar com o "x₁", "x₂", etc até o "xₙ". Pela definição de produtos escalar, nós temos que pegar o primeiro componente aqui, e multiplicar pelo primeiro daqui, e assim por diante fazendo as somas. Então eu teria, "v₁ + w₁" multiplicado pelo "x₁", mais o "v₂ + w₂" multiplicados pelo "x₂", mais assim por diante até chegar a "vₙ + wₙ" multiplicado pelo "xₙ". Então o cálculo que nós fizemos é esta primeira parte da igualdade, o resultado dela é este aqui. Agora vamos fazer o cálculo da segunda parte da igualdade, "v" produto escalar com "x". "v" produto escalar com "x" é igual a... Aproveitando já aqui as componentes prontas, nós vamos fazer o "v₁" vezes o "x₁" mais o "v₂" vezes o "x₂", até o "vn", "xn". Esse é o "v" produto escalar com "x". E agora vamos para o "w" produto escalar com "x". Isso é igual a "w₁" vezes "x₁", mais "w₂" vezes "x₂", mais etc, mais "wₙ" vezes "xₙ". E nós sabemos que nós queremos a adição destes dois resultados. Ao adicionar estas duas igualdades, vamos chegar em "v" escalar "x", mais "w" escalar "x" igual. Vamos adicionar esta linha com esta linha. "v₁w₁" + “w₁v₁” "v₁w₁" + “w₁v₁”, mais, agora aqui, "v₂w₂" + “w₂v₂”, mais, assim por diante e vamos chegar até "vₙxₙ" + "wₙxₙ". Bem, vale lembrar que nós estamos a partir do lado direito aqui do igual trabalhando com números reais. Então vamos usar aquilo que nós já sabemos que é válido para qualquer número real. E podemos em cada parênteses colocar o "x₁" em evidência. Então isso tudo vai ser igual a. Colocando "x₁" em evidência aqui, nós teríamos o "v₁ + w₁", tudo multiplicando o "x₁". Mais, aqui, o "v₂ + w₂" tudo multiplicando, agora quem vai em evidência é o "x₂", mais etc. Mais aqui o "vₙ + wₙ" tudo multiplicando "xₙ". Basta uma olhadela bem rápida e você vê que o que temos aqui é exatamente igual ao que temos aqui. Em outras palavras a igualdade que nós queríamos demonstrar, que esta é, é verdadeira. Ou seja, a distributividade assim como nós conhecemos nos números reais também é válida para o produto escalar de vetores. São contextos diferentes. Intuitivamente, nós já esperávamos que isso acontecesse e agora está demonstrado que é verdade. Muitas demonstrações envolvendo a adição de vetores e outras operações são feitas exatamente desta forma. De maneira que você mesmo pode fazer essas demonstrações tranquilamente. Em vários livros de álgebra linear, essas demonstrações são deixadas como exercícios para os alunos. Vamos estudar e demonstrar a última propriedade que é agora a propriedade associativa. A pergunta é, um escalar, uma constante, multiplicando um certo vetor "v" e o resultado disso, produto escalar com o vetor "w" é igual à constante multiplicar o que obtemos do "v" escalar com "w"? Vamos novamente fazer as contas. Vamos primeiro obter o que temos do lado esquerdo da igualdade. O vetor "v", vamos lembrar que definimos os seus componentes "v₁", "v₂" até "vₙ" aqui. O vetor "v" multiplicado por um escalar "c" e depois produto escalar com o vetor "w". Isto vamos fazer bem passo a passo, aqui naturalmente com parênteses. Aqui, nós vamos obter, então, a constante, o escalar multiplicando o vetor. A constante multiplica todos os componentes do vetor. Ou seja, o resultado do primeiro, do que está entre parênteses, é o "c" vezes "v₁", "c" vezes "v₂", etc. É um novo vetor com esses componentes, produto escalar com o vetor "w". Aqui, estamos falando do produto escalar de dois vetores. Vamos efetuar. Aqui temos o "cv₁" que vai multiplicar o "w₁", "c" vezes "v₁", multiplicando "w₁", mais o "c" vezes "v₂" multiplica o "w₂". "c" vezes "v₂" multiplica o "w₂", mais assim por diante até o "c" vezes "vₙ", multiplicando o "wₙ". Este é o resultado do que temos à esquerda da igualdade. Vamos agora analisar o que nós teríamos ao lado direito da igualdade. Do lado direito da igualdade temos um escalar multiplicando o resultado deste produto escalar. Vamos fazer passo a passo para ver o que aparece. O escalar vai multiplicar, então, o resultado disso. E o resultado disso vai ser. Bom, produto escalar de dois vetores definição, "v₁" vezes "w₁". "v₁" vezes "w₁", mais "v₂" vezes "w₂", mais "vₙ" vezes "wₙ". Esse, o que está entre parênteses, é o resultado do que está entre parênteses lá em cima. Não podemos esquecer que o que está em parênteses aqui, por ser o resultado de um produto escalar, é um escalar, é um número real. Estamos agora tratando somente com números reais. Se estamos tratando de números reais, aqui uma multiplicação existe tranquilamente a distributividade. Em outras palavras, o "c" multiplica a primeira parcela, "c" vezes "v₁w₁", mais mais... o "c" multiplica a segunda parcela, "c" vezes "v₂w₂", mais assim por diante até o "c" multiplicando "vₙ" vezes "wₙ". Ora, mais uma vez chegamos aqui a expressão que é exatamente igual ao que tínhamos aqui. Então de fato esta igualdade, sim, é verdadeira. Isso chama-se propriedade associativa ou associatividade. Estas propriedades que provamos aqui podem parecer relativamente óbvias logo de cara. Entretanto, nós sabemos que elas são verdadeiras no campo dos números. Se mudamos de contexto, estamos olhando para os setores, temos de fato que prová-las, que demonstrá-las, todas. E, acabamos caindo nos campos, ou melhor dizendo, no campo dos números e a partir do que nós sabemos que já é válido lá, nós conseguimos provar estas propriedades. Espero que você tenha aproveitado bem isso aqui. E nos próximos vídeos nós vamos estudar mais propriedades e coisas interessantes envolvendo vetores. Até lá!