Demonstração da desigualdade de Cauchy-Schwarz

RKA - Vamos considerar que temos dois vetores "x" e "y" com "n" componentes, isto é, pertencendo a "rn" e que não são nulos (não nulos) diferentes do vetor 0. Nós queremos provar uma desigualdade muito importante que diz que: o módulo do produto escalar ou do produto ponto dos vetores "x" e "y" é 'menor que' ou 'igual a' o produto do comprimento, da longitude ou da norma do vetor "x" pela norma do vetor "y". E dentro disso nós temos que o módulo do produto escalar de "x" por "y" seja igual ao módulo, ou valor absoluto de "x" ou a norma de "x" multiplicado pela norma de "y", se e somente se um vetor é um escalar multiplicado pelo outro. Por exemplo: "x" igual a uma constante real multiplicada por "y". Veja que é 'se' e 'somente se', e a tudo isso nós damos o nome de desigualdade de Cauchy-Schwarz. Vamos demonstrar que essa desigualdade é verdadeira e para isso vamos precisar de uma função, vou chamar de p(t) igual à (definida por) a norma de "t" (o número real) multiplicando o vetor "y", menos o vetor "x" que o resulta em outro vetor. A norma do vetor que resulta de tudo isso elevada ao quadrado é a função que eu vou usar. Vale a pena lembrar, aqui, que isso tudo vai ser um número real 'maior que' ou 'igual a' zero. Vamos fazer uma recordação, de que a norma de um certo vetor "v" ( de um vetor qualquer "v") é obtida pela raiz quadrada da soma dos quadrados das suas componentes. Então, v1², mais v2², mais etc até o vn². E de fato, isso só pode dar um resultado numérico 'maior que' ou 'igual a' zero. Mas, temos outra informação importante: a norma de um vetor "v" também pode ser obtida, se elevada ao quadrado, como produto escalar do "v" por ele mesmo. Isto provamos nos vídeos anteriores. Usando, então, o que temos aqui em verde nós podemos reescrever a função (aqui) a forma de definir a função. Teríamos p(t) igual à... veja, tudo isso que está aqui é um vetor cuja norma está elevada ao quadrado. A norma de um vetor ao quadrado é o produto escalar dele por ele mesmo. Ora, então aqui nós podemos reescrever tudo que está aqui como: o vetor "t", vezes "y", menos "x" produto escalar com ele mesmo ty - x. Reescrevemos a função aqui. Nós demonstramos também nos vídeos anteriores as propriedades associativa, comutativa e distributiva que existem no produto escalar e nós vamos fazer uso delas agora para desenvolver essa expressão que está aqui em verde. A começar aqui: o "ty" para multiplicar o "ty" aqui. Muito análogo com o que fazíamos em números. Então vamos ter "ty" por "ty" produto escalar. Depois o "ty" produto escalar com o "x", menos o "x" por "ty". Agora olhando para o vetor "x" (aqui) temos o 'menos' não podemos esquecer. Menos o "x" por "ty" (de novo aqui) menos o "x" produto "ty" e finalmente aqui, menos o "x" por menos o "x". Lembrando que temos o -1 multiplicando o "x" aqui e fazendo os devidos arranjos. Assim como, analogamente, fazemos com os números nós teríamos então mais o "x" escalar com o próprio "x". Esta primeira parte em amarelo graças à propriedade associativa, graças a propriedade comutativa que nós já estudamos tanto para números quanto para o produto escalar pode ser escrita como: "y" produto escalar com "y" e depois multiplicado pelo "t", multiplicado pelo "t", portanto t². Lembrando que "t" é um número real. Neste outro trecho, aqui, nós temos menos um certo número real (porque isso aqui é resultado de um produto escalar) e aqui o mesmo número real. De maneira que nós vamos ter menos duas vezes "x" escalar com "y" vezes o "t". Por fim, aqui o 'mais' "x" escalar com o próprio "x". Vamos lembrar que tudo isto é 'maior que' ou igual 'a'' zero. Voltando, porque foi assim que definimos a função p(t) e o resultado desta conta equivalente a esta é 'maior que' ou 'igual a' zero. Agora você deve estar se perguntando: por que eu escolhi essa função para o p(t) e não outra? Vamos analisar. Para facilitar vamos reorganizar um pouquinho, aqui. Vamos rescrever o p(t) de outra forma, vamos considerar que esta parte (aqui) vai ser chamada de "a". Portanto p(t) começa aqui por "a" vezes o t². Vamos considerar que esse -2 que multiplica "x" escalar "y" vai se chamar "b". Então, aqui teríamos "-b" vezes "t". E finalmente o "x" escalar com "x", vamos combinar que vai se chamar "c", de maneira que teremos aqui, então, mais "c". Desta outra forma definimos o p(t), de maneira mais simples. Nós sabemos que o "a" não é zero porque o "a" é produto escalar de dois vetores não nulos, o vetor por ele mesmo na verdade. Então agora nós vamos calcular, vamos obter o valor da função "p" em "b" sobre 2a. Quando "t" vale b/2a. Nós vamos trabalhar com isso um pouco. Dessa forma então colocando b/2a no lugar do "t" vamos ter aqui "a" vezes o t² (o t² é tudo isso ao quadrado). Então vamos lá, o b² e o denominador 4 porque o 2² e a², menos (agora o b que multiplica o t) nós estamos usando como b/2a, mais "c" (o c não envolve o t, fica simplesmente c). Vamos só lembrar que tudo isso é 'maior que' ou 'igual a' zero para qualquer valor de "t", portanto aqui também. Vamos simplificar um pouquinho a expressão. Então, o "p" em b/2a (lembrando que eu troquei o t por b/2a). a² com "a" (aqui) podemos cancelar. Vamos ter então, simplesmente, b²/4a menos (aqui) o "b" por b/2a, teremos b² sobre 2a, mais "c". Podemos observar que dá para fazer algo mais aqui. Esta função em b/2a vai ser igual a... aqui nessa fração eu posso simplesmente trocar. Veja, multiplicar numerador e denominador por 2, e eu teria então aqui: o 2b² e ao invés de 2a eu passaria a ter 4a. Multiplicar numerador e denominador pelo mesmo número não altera a fração, ficam equivalentes. Então, eu tenho aqui frações com denominadores iguais. Já que os denominadores são iguais eu posso efetuar essa subtração? Então b² - 2b² = -1b²/4a mais o "c". Ok? Melhorei esta parte. Bom, continuando já que tudo isso aqui é 'maior que' ou 'igual a' zero, vamos trabalhar agora com essa expressão que temos aqui: -b²/4a mais "c" é maior que ou igual a zero. Isso significa que o "c" é 'maior que' ou 'igual'... o -b²/4a passando para lá, fica b²/4a, ou melhor dizendo, eu adicionei aos dois lados da desigualdade o b²/4a. Eu vou agora multiplicar os dois lados da desigualdade por 4a, mas atenção multiplicar por 4a. Quem era o "a"? O "a" é o resultado do "y" escalar com "y". Isso dá sempre um número positivo, de maneira que eu ao multiplicar os dois lados por 4a, o sentido da desigualdade permanece o mesmo. Muito bem, ao multiplicar os dois lados da desigualdade pelo 4a nós vamos obter do lado esquerdo 4ac 'maior que' ou 'igual a'... aqui o 4a vai cancelar com a multiplicação por 4ab², então. Só um lembrete, se o 4a fosse um número negativo isso faria com que o sentido da desigualdade ficasse invertido, ao invés de maior ou igual passaria a ser 'menor que' ou 'igual a'. Mas não é o caso 4a é positivo, então a desigualdade se mantém como está. Nós trabalhamos um pouco com "a", "b", e "c", agora vamos retomar o que deu origem ao "a", "b" e "c" que é o que realmente nos interessa. Vamos lembrar que o "a" é o "y" escalar com "y", o "b" é duas vezes o "x" escalar com "y", e o "c" é "x" escalar com "x". Vamos reescrever isso tudo desta forma. Nós vamos ter então 4 vezes o "a", no lugar do "a" eu vou colocar então "y" produto escalar com ele mesmo (y produto escalar com ele mesmo) vezes o "c" agora. O que era mesmo o "c"? "x" escalar com "x". Então, "x" escalar com "x" (4ac ≥ b²). Quem era "b"? "b" era 2 vezes (x escalar com y), então nós vamos ter aqui o "b" que vai ser elevado ao quadrado. 2 vezes o "x" escalar com "y". Vamos continuar desenvolvendo, aqui, lembrando de que valem aquelas propriedades que já estudamos. Então aqui, pela associatividade, eu posso tirar estes parênteses, e melhor ainda eu posso me lembrar de que um vetor produto escalar com ele mesmo resulta na norma dele elevado ao quadrado, ou seja, a... (é um número real, não pode esquecer) norma de y², "y" escalar com "y" vezes (a mesma coisa acontece ali com x) "x" escalar com "x" nos dá a norma de "x" elevada ao quadrado e nós sabemos que isto tem que ser 'maior que' ou 'igual a' esta expressão. O 2² fica 4 vezes... e aqui o "x" escalar com "y" é um número real se eu fizer ele vezes ele mesmo, podemos escrever como ele elevado ao quadrado. Podemos já simplificar mais coisas. Naturalmente o 4 (aqui) positivo cancela com o 4 (aqui) que também multiplica tudo. Bem, aqui você já tem evidências de que eu posso extrair a raiz quadrada dos dois lados da igualdade e cancelar os quadrados de maneira que do lado esquerdo da igualdade nós vamos ter a norma de "y" pela norma de "x" (tirei a raiz quadrada, cancelei o elevado ao quadrado é tudo positivo) 'maior que' ou 'igual a' o produto escalar de "x" por "y". Claro, aqui em módulo porque aqui sim o "x" escalar com "y" pode ser algo negativo. Quando elevamos ao quadrado vai ficar positivo, a raiz quadrada vai ficar positiva. Então na volta, aqui, precisamos considerar o valor absoluto de "x" escalar "y". Neste momento, temos aquilo que queríamos. Isso que está escrito aqui é a desigualdade de Cauchy Schwarz. Demonstramos, então, a primeira parte daquilo que queríamos demonstrar. Mostrar que é verdadeiro, que a norma de "y" vezes a norma de "x" é 'maior que' ou 'igual' ao módulo do produto escalar desses dois vetores. Mas temos a segunda parte agora. Nós vamos, então, retomar que o "x" é igual a algum escalar "c" multiplicando "y". De maneira que, se escrevermos o módulo do produto escalar de "x" por "y" vai ser a mesma coisa que escrever o módulo de, no lugar do "x" vou escrever "c" multiplicando "y" escalar com "y". Pelas propriedades que já estudamos isso aqui é igual ao módulo de "c" (do número real) multiplicando o módulo do produto escalar de "y" por "y". Mas ora, o que era mesmo módulo do "y" escalar "y"? Voltando, você vai lembrar que o módulo ou melhor dizendo o produto escalar de "y" por "y", nada mais é que a norma de "y" elevada ao quadrado. Neste momento vamos lembrar que, a norma de y² é ela vezes ela mesmo. Então aqui temos módulo de "c" multiplicando pela norma de "y" que multiplica a norma de "y" (lembre-se que a norma de y é um número real). E agora uma idéia importante, aqui nós vamos fazer uso de uma informação que eu sugiro que você demonstre muito facilmente por meio da definição do cálculo da norma do vetor. É o fato de que o módulo de "c", o módulo de um número real multiplicado pela norma do vetor é igual a norma do vetor obtido por "c" vezes "y". Veja, é como se eu colocasse o "c" para dentro da norma (aqui). Esta conta (aqui) este pedaço é a mesma coisa que isto. Sugestão, demonstre para você mesmo é extremamente simples. Então, isso é igual a isso multiplicado pela norma de "y". Ora, nós já sabemos que "c" vezes "y" quem é mesmo? Voltando aqui, "c vezes "y" é o... "x". Então basta que escrevamos aqui: "x" (norma de x) vezes norma de "y". Resumindo tudo o que fizemos aqui, estamos dizendo que quando o "x" é um múltiplo escalar do "y" isso significa que isto aqui é válido, ou seja, o módulo do produto escalar de "x" por "y" é igual à norma de "x" multiplicada pela norma de "y" (que é o que obtivemos aqui). Voltando para você localizar tudo isso, a desigualdade de Cauchy Schwarz diz que: o módulo do produto escalar de dois vetores é 'menor que' ou 'igual a' o produto das normas dos dois vetores (isso nós demonstramos em uma primeira etapa) e o módulo do produto dos dois vetores é igual o produto da norma dos dois, 'se' e 'somente se' um é uma combinação linear do outro que é o que provamos por último. A desigualdade de Cauchy Schwarz é muito útil ao provar outros resultados mais adiante em várias áreas da matemática. Espero que você tenha percebido, então, a utilidade disso. Nós vamos continuar estudando. Até o próximo vídeo!