Exemplos de máximo divisor comum

RKA - Eles perguntam: qual é o máximo divisor comum de 20 e 40? E dizem apenas que é outra maneira de falar que isto é o MDC, ou o máximo divisor comum de 20 e 40, igual ao ponto de interrogação. E máximo divisor comum soa como um termo sofisticado, mas significa que é o maior número que é divisível por 20 e 40. Parece simples porque, na verdade, 20 é divisível por 40, ou dá para falar que 40 pode ser dividido por 20, sem nenhum número restante. Então, o maior número, acho que podem falar que o fator de 20 e 40, é 20. 20 é 20 vezes 1, e 40 é 20 vezes 2. Nesta situação, nem tem que usar a folha de cálculo, dá pra simplesmente escrever 20. Vamos fazer mais alguns. Eles perguntam qual é o máximo divisor comum de 10 e 7. Agora, vamos puxar nossa folha de cálculo. O maior divisor comum de 10 e 7, deixa eu escrever, tem 10, queremos saber sobre qual é o MDC de 10 e 7. Vocês podem resolver de duas formas. Primeiro, podem listar todos os fatores, não fatores primos, só os regulares de cada um desses números, e ver qual deles é maior. Por exemplo, podem dizer, bom, 10 pode ser expresso como 1 vez 10, ou 2 vezes 5. 1 vezes 10 ou 2 vezes 5. 1, 2, 5 e 10, são fatores de 10, dá para dizer que todos são fatores de 10. Algumas vezes, isso é chamado de máximo fator comum. Quais são os fatores de 7? Bom, 7 é primo, ele tem apenas dois fatores, 1, e ele mesmo. Qual é o máximo fator comum? Tem apenas um fator comum, que é o 1. 1 é o único fator comum, portanto o máximo fator comum de 10 e 7, ou o máximo divisor comum, é igual a 1. Vamos escrever isso. 1. Vamos fazer outro. Qual é o máximo divisor comum de 21 e 30? E apenas outra forma de dizer, 21 e 30 são os números com os quais vamos trabalhar. Queremos descobrir o máximo divisor comum, e posso ter escrito o máximo fator comum de 21 e 30. De novo, tem duas formas de resolver. Uma delas é aquela que usei da última vez, onde listei todos os fatores. Agora, vou fazer isso bem rápido. Se o número for 21, quais são os fatores, todos os fatores? Eles são 1, 21, 3 e 7. Acho que tenho todos eles. 30 pode ser escrito como 1 e 30, 2 e 15, e 3, opa, vou fazer assim para ter um pouco mais de espaço, 1 e 30, 2 e 15, 3 e 10, e 5 e 6. Aqui estão todos os fatores de 30. Agora, quais são os fatores comuns? 1 é um fator comum, 3 também é um fator comum. Mas, qual é o máximo fator comum, ou o máximo divisor comum? Vai ser o 3, então vamos escrever 3 aqui. Mas eu falei que tinha outra técnica, vou mostrar para vocês, e ela envolve a fatoração de primos. Assim, se a gente fizer que a fatoração de fatores primos de 21, bom, vamos dar uma olhada, é divisível por 3, é 3 vezes 7. E a fatoração de primos de 30 é igual a 3 vezes 10, e 10 é 2 vezes 5. Quais são os fatores que podemos tirar de 21 e 30, para criar o maior número possível? Se olhar para a fatoração de primos, a única coisa comum aqui é um 3. Portanto, dá para falar que o máximo fator comum, ou o máximo divisor comum, de 21 e 30 é 3. Se não visse nada em comum aqui, diria que o máximo divisor comum é 1. Eu vou dar outro exemplo interessante, só para você entender melhor como funciona. Digamos que esses dois números não são 21 e 30, digamos que a gente quer saber o máximo divisor comum, não de 21, mas de 105 e 30. Se usar o método de fatoração com os fatores primos, vai ficar mais claro. Na verdade, é preciso descobrir todos os fatores de 105, e isso pode ser um pouco trabalhoso, mas se fizer a faturação de primos, vai dizer: bom, 105 definitivamente é divisível por 5, ele é 5 vezes 21, e 21 é 3 vezes 7. Então a fatoração de primos de 105 é igual a, se eu escrever em ordem crescente, 3 vezes 5, vezes 7. Já fizemos a fatoração em fatores primos de 30, que é igual a 2 vezes 3 vezes 5. Qual é o maior número de fatores, ou fatores primos, que eles têm em comum? Os dois têm um 3 e um 5. Assim, o máximo fator comum, ou o máximo divisor comum, será um produto desses dois. Nessa situação, o MDC de 105 e 30 será 3 vezes 5, que é igual a 15. Portanto, pode fazer das duas formas, e pode só listar os divisores ou fatores tradicionais, e descobrir quais deles são comuns e qual é o maior. Ou então, desmembrar seus componentes, seus fatores primos, e depois descobrir qual é o maior conjunto de fatores primos comuns e o produto será o máximo fator comum. Ele é o maior número que é divisível pelos dois números.