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Propriedades da multiplicação de matrizes

Descubra as propriedades da multiplicação de matrizes (como a propriedade distributiva) e como elas se relacionam à multiplicação de números reais.

Propriedades da multiplicação de matrizes

Nessa tabela,

A

B

C

são matrizes

n \times n

I

é a matriz identidade

n \times n

O

é a matriz nula

n \times n

Propriedade	Exemplo
A propriedade comutativa da multiplicação $não funciona!$ ‍	$A B \neq B A$ ‍
Propriedade associativa da multiplicação	$(A B) C = A (B C)$ ‍
Propriedades distributivas	$A (B + C) = A B + A C$ ‍
	$(B + C) A = B A + C A$ ‍
Propriedade do elemento neutro da multiplicação	$I A = A$ ‍ e $A I = A$ ‍
Propriedade do elemento nulo da multiplicação	$O A = O$ ‍ e $A O = O$ ‍
Propriedade das dimensões	O produto de uma matriz $m \times n$ ‍ por uma matriz $n \times k$ ‍ é uma matriz $m \times k$ ‍.

Vamos dar uma olhada na multiplicação de matrizes e explorar essas propriedades.

Quais conceitos você deve conhecer antes de iniciar esta lição

Na multiplicação de matrizes, cada elemento na matriz produto é o produto escalar entre uma linha da primeira matriz e uma coluna da segunda matriz.

Se isso for novidade para você, recomendamos que você confira nosso artigo sobre multiplicação de matrizes.

Aqui estão outros artigos pertinentes:

A multiplicação de matrizes não é comutativa

Uma das maiores diferenças entre a multiplicação de números reais e a multiplicação de matrizes é que a multiplicação entre matrizes não é comutativa.

Em outras palavras, na multiplicação de matrizes, a ordem em que as matrizes são multiplicadas faz diferença!

Vejam por si mesmos!

Vamos dar uma olhada em um exemplo concreto com as seguintes matrizes.

A = [\begin{array}{rr} 3 & 4 \\ 1 & 2 \end{array}]

B = [\begin{array}{rr} 6 & 2 \\ 3 & 2 \end{array}]

1) Calcule $A B$ ‍ e $B A$ ‍.

$A B =$ ‍	$B A =$ ‍

Calcule $A B$ ‍	Calcule $B A$ ‍
Vamos identificar as linhas da matriz $A$ ‍ e as colunas da matriz $B$ ‍ de maneira que fique mais fácil expressar $A B$ ‍.	Vamos identificar as linhas da matriz $B$ ‍ e as colunas da matriz $A$ ‍ de maneira que fique mais fácil expressar $B A$ ‍.

Podemos calcular $A B$ ‍ da seguinte maneira:	Podemos calcular $B A$ ‍ da seguinte maneira:
$\begin{aligned} A B & = [\begin{array}{rr} \vec{a_{1}} \cdot \vec{b_{1}} & \vec{a_{1}} \cdot \vec{b_{2}} \\ \vec{a_{2}} \cdot \vec{b_{1}} & \vec{a_{2}} \cdot \vec{b_{2}} \end{array}] \\ = [\begin{array}{rr} 3 \cdot 6 + 4 \cdot 3 & 3 \cdot 2 + 4 \cdot 2 \\ 1 \cdot 6 + 2 \cdot 3 & 1 \cdot 2 + 2 \cdot 2 \end{array}] \\ = [\begin{array}{rr} 30 & 14 \\ 12 & 6 \end{array}] \end{aligned}$ ‍	$\begin{aligned} B A & = [\begin{array}{rr} \vec{b_{1}} \cdot \vec{a_{1}} & \vec{b_{1}} \cdot \vec{a_{2}} \\ \vec{b_{2}} \cdot \vec{a_{1}} & \vec{b_{2}} \cdot \vec{a_{2}} \end{array}] \\ = [\begin{array}{rr} 6 \cdot 3 + 2 \cdot 1 & 6 \cdot 4 + 2 \cdot 2 \\ 3 \cdot 3 + 2 \cdot 1 & 3 \cdot 4 + 2 \cdot 2 \end{array}] \\ = [\begin{array}{rr} 20 & 28 \\ 11 & 16 \end{array}] \end{aligned}$ ‍

Perceba que os produtos não são iguais! Como

A B \neq B A

, a multiplicação de matrizes não é comutativa!

Apesar desta grande diferença, entretanto, as propriedades da multiplicação de matrizes são, em sua maioria, semelhantes às propriedades da multiplicação de números reais.

Propriedade associativa da multiplicação: $(A B) C = A (B C)$ ‍

Esta propriedade determina que você pode alterar o agrupamento em torno de uma multiplicação de matrizes.

Por exemplo, você pode multiplicar a matriz

A

pela matriz

B

, e então multiplicar o resultado pela matriz

C

, ou você pode multiplicar a matriz

B

pela matriz

C

e então multiplicar o resultado pela matriz

A

Quando estiver usando essa propriedade, tenha certeza de prestar atenção na ordem em que as matrizes são multiplicadas, já que sabemos que a propriedade comutativa não é válida para multiplicações de matrizes!

Propriedades distributivas

Podemos distribuir matrizes da mesma forma que distribuímos os números reais.

$A (B + C) = A B + A C$ ‍
$(B + C) A = B A + C A$ ‍

Se uma matriz

A

for distribuída pelo lado esquerdo, certifique-se de que cada produto na soma resultante terá

A

à sua esquerda! Da mesma maneira, se a matriz

A

for distribuída pelo lado direito, certifique-se de que cada produto na soma resultante terá

A

à sua direita!

Vamos demonstrar essas propriedades utilizando as matrizes

A = [\begin{array}{rr} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}]

B = [\begin{array}{rr} 3 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}]

C = [\begin{array}{rr} 1 & 4 \\ 3 & 2 \end{array}]

$\begin{aligned} A (B + C) & = [\begin{array}{rr} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}] ([\begin{array}{rr} 3 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{rr} 1 & 4 \\ 3 & 2 \end{array}]) \\ = [\begin{array}{rr} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}] \cdot [\begin{array}{rr} 4 & 5 \\ 3 & 3 \end{array}] \\ = [\begin{array}{rr} 11 & 13 \\ 18 & 21 \end{array}] \\ A B + A C & = [\begin{array}{rr} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}] \cdot [\begin{array}{rr} 3 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{rr} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}] \cdot [\begin{array}{rr} 1 & 4 \\ 3 & 2 \end{array}] \\ = [\begin{array}{rr} 6 & 3 \\ 9 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{rr} 5 & 10 \\ 9 & 16 \end{array}] \\ = [\begin{array}{rr} 11 & 13 \\ 18 & 21 \end{array}] \end{aligned}$ ‍

Observe que as duas matrizes são iguais.

Vamos encontrar, também,

(B + C) A

B A + C A

$\begin{aligned} (B + C) A & = ([\begin{array}{rr} 3 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{rr} 1 & 4 \\ 3 & 2 \end{array}]) [\begin{array}{rr} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}] \\ = [\begin{array}{rr} 4 & 5 \\ 3 & 3 \end{array}] \cdot [\begin{array}{rr} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}] \\ = [\begin{array}{rr} 23 & 14 \\ 15 & 9 \end{array}] \end{aligned}$ ‍

$\begin{aligned} B A + C A & = [\begin{array}{rr} 3 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}] \cdot [\begin{array}{rr} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{rr} 1 & 4 \\ 3 & 2 \end{array}] \cdot [\begin{array}{rr} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}] \\ = [\begin{array}{rr} 9 & 5 \\ 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{rr} 14 & 9 \\ 12 & 7 \end{array}] \\ = [\begin{array}{rr} 23 & 14 \\ 15 & 9 \end{array}] \end{aligned}$ ‍

Novamente, note que as duas matrizes são equivalentes.

Esses exemplos também nos mostram que

A (B + C) \neq (B + C) A

e que

A B + A C \neq B A + C A

. Isso nos faz lembrar de que a propriedade comutativa da multiplicação de matrizes não é verdadeira. Devemos ter cuidado dobrado ao ordenar expressões matriciais!

Propriedade do elemento neutro da multiplicação

A matriz identidade

n \times n

, indicada por

I_{n}

, é uma matriz com

n

linhas e

n

colunas. Os elementos na diagonal do canto superior esquerdo ao canto inferior direito são todos

1

, e todos os outros elementos são

0

Por exemplo:

I_{2} = [\begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}] I_{3} = [\begin{array}{rr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}] I_{4} = [\begin{array}{rr} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]

A propriedade do elemento neutro da multiplicação afirma que o produto de qualquer matriz

A

n \times n

por

I_{n}

é sempre

A

, independentemente da ordem em que a multiplicação foi realizada. Em outras palavras,

A \cdot I = I \cdot A = A

O papel que a matriz identidade

n \times n

desempenha na multiplicação de matrizes é similar ao papel que o número

1

desempenha no conjunto dos números reais. Se

a

é um número real, então sabemos que

a \cdot 1 = a

e que

1 \cdot a = a

Propriedade do elemento nulo da multiplicação

Uma matriz nula é uma matriz na qual todos os elementos são

0

. Por exemplo, a matriz nula

3 \times 3

O_{3 \times 3} = [\begin{array}{rrr} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]

Uma matriz nula é indicada por

O

, e, se necessário, um subscrito pode ser acrescentado para indicar as dimensões da matriz.

A propriedade do elemento nulo da multiplicação afirma que o produto de qualquer matriz

n \times n

pela matriz nula

n \times n

é a matriz nula

n \times n

. Em outras palavras,

A \cdot O = O \cdot A = O

O papel que a matriz nula

n \times n

desempenha na multiplicação de matrizes é similar ao papel que o número

0

desempenha no conjunto dos números reais. Se

a

é um número real, então sabemos que

a \cdot 0 = 0

e que

0 \cdot a = 0

A propriedade das dimensões

Uma propriedade que é exclusiva das matrizes é a propriedade das dimensões. Essa propriedade tem duas partes:

O produto de duas matrizes será definido se o número de colunas da primeira matriz for igual ao número de linhas da segunda matriz.
Se o produto for definido, a matriz resultante terá o mesmo número de linhas da primeira matriz e o mesmo número de colunas da segunda matriz.

Por exemplo, se

A

é uma matriz

3 \times 2

e se

B

é uma matriz

2 \times 4

, a propriedade das dimensões nos diz que:

O produto $A B$ ‍ é definido.
$A B$ ‍ será uma matriz $3 \times 4$ ‍.

Teste seu conhecimento

Agora que você já conhece a multiplicação de matrizes e suas propriedades, vamos ver se você consegue utilizá-las para determinar expressões de matrizes equivalentes.

Para os problemas abaixo, considere

A

B

C

matrizes

2 \times 2

O

a matriz nula

2 \times 2

2) Quais das seguintes expressões são equivalentes a $A (B + C)$ ‍?

3) Quais das seguintes expressões são equivalentes a $I_{2} (A B)$ ‍?

4) Quais das seguintes expressões são equivalentes a $O (A + B)$ ‍?

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