Introdução à matriz identidade

RKA2MP Quando você aprendeu multiplicação, há muitos e muitos anos atrás, você foi exposto à ideia de que 1 vez algum número vai ser sempre igual a esse algum número. Chega a ser uma coisa intuitiva. 1 vez alguma coisa só pode ser igual a essa coisa. Na multiplicação regular, ou na multiplicação dos escalares, esse 1 é a propriedade da identidade. A gente vai tratar o 1 como sendo a identidade: 1 vezes algum número é igual a esse próprio número. Agora, já que nós estamos explorando as matrizes e a multiplicação de matrizes, a pergunta que surge é: será que existe alguma matriz que tenha a mesma propriedade para a multiplicação nas matrizes? Ou seja, para tornar mais concreto, o que eu quero saber é: será que que existe alguma matriz "I" (vou tentar fazer um "I" em negrito)... Será que existe alguma matriz I que, quando eu multiplico por qualquer outra matriz A, vai ter como o produto resultante a própria matriz A? Ou seja, será que eu vou conseguir uma matriz que também vai ter essa propriedade da identidade na multiplicação de matrizes? A gente só não pode esquecer que, para realizar essa multiplicação entre matrizes, a gente tem que seguir a convenção da multiplicação de matrizes, que é diferente da de escalares. Vamos sair do abstrato e ir para o concreto. Vamos pegar como exemplo (não só imaginar, como pegar como exemplo) uma matriz A com dimensões 3 por 3. Eu tenho uma matriz A, na qual os elementos dessa matriz serão 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. E agora eu proponho que você pause este vídeo e pense: de que maneira você pode encontrar uma matriz identidade, que a gente chamou de matriz I, que, quando você multiplique por uma matriz A, tenha como resultado a própria matriz A. Como será que você pode multiplicar? De que maneira você pode fazer isso? Qual será a ordem? Pause este vídeo. Tenta fazer sozinho. Supondo que você tenha tentado, vamos agora pensar no exercício. O que eu vou fazer primeiro é copiar e colar rapidamente esta matriz. E o que eu quero é uma matriz identidade, de maneira que, quando eu multiplique por esta matriz A, eu tenha como resultado a própria matriz A. Eu vou querer como resultado a própria matriz A. E eu sei pouca coisa. O que eu sei é que a matriz A é uma matriz 3 por 3 e, se eu quero como resultado ela própria, então, também vai ter que ser uma matriz 3 por 3. Nós sabemos pouca coisa a respeito dessa matriz identidade, mas podemos tirar algumas conclusões. Por exemplo, para este produto estar definido, assim como qualquer outro produto entre duas matrizes, a gente sabe que o número de linhas da segunda matriz tem que ser igual ao número de colunas da primeira matriz. Se, na segunda matriz, nós temos 3 linhas, obrigatoriamente, o número de colunas desta primeira matriz também vai ser 3 colunas. Assim, eles sendo iguais, o produto estará definido. A outra coisa que podemos perceber: o número de linhas da matriz resultante corresponde ao número de linhas da primeira matriz. Se nós temos três linhas na matriz resultante, com certeza, o número de linhas desta primeira matriz também vai ser 3 . Assim como a gente sabe que o número de colunas da matriz resultante corresponde ao número de colunas da segunda matriz. Observe que a segunda matriz tem 3 colunas e a matriz resultante também tem 3 colunas. Desta maneira, nós conseguimos perceber que a matriz identidade vai ser uma matriz 3 por 3. Nós temos o produto de duas matrizes definidas, o número de linhas da primeira matriz igual ao número de linhas da matriz resultante, o número de colunas da segunda matriz igual ao número de colunas da matriz resultante. A matriz identidade vai ser uma matriz 3 por 3 e o que mais nós sabemos? Nós sabemos que o resultado desta matriz, o produto dela, tem que ser 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Vamos pensar sobre isso. A gente sabe que esta primeira entrada é o resultado da multiplicação desta primeira linha por esta primeira coluna. Ou seja, eu preciso multiplicar um número por 1, depois multiplicar um número por 4, depois multiplicar um número por 7, e que a soma de tudo isto seja 1. Mas eu talvez fale, de maneira ingênua: "Ah, é bem simples. E se a gente multiplicar 1 por 1 e depois multiplicar 4 e 7 por zero?" Vamos tentar. Se eu coloco 1, zero e zero. Bom, 1 vezes dá 1, mais zero vezes 4 dá zero, mais zero vezes 7 dá zero. O resultado disto dá 1, realmente. Olha o que eu fiz para achar esta entrada: eu fiz 1 vezes 1, mais zero vezes 4, mais zero vezes 7. Depois de multiplicar tudo, o resultado disto vai dar 1. Para a primeira entrada, funcionaram muito bem os números nesta linha. Vamos ver agora o que acontece para a segunda entrada. A segunda entrada é a multiplicação da primeira linha com esta segunda coluna. Se multiplicarmos, nós teremos: 1 vezes 2, que dá 2, zero vezes 5, que dá zero, zero vezes 8, que dá zero. A soma de tudo vai continuar dando 2, ou seja, funcionou. Assim como para esta terceira coluna, também. 1 vezes 3 = 3. Zero vezes 6 = zero. Zero vezes 9 = zero. O resultado final também vai dar 3, ou seja, para a primeira linha, funcionou muito bem. O que podemos saber a respeito desta segunda linha? Se a gente pensar um pouco, vai perceber que esta segunda linha determina todas estas entradas na segunda linha da matriz resultante. Por exemplo, se eu pegar, nesta entrada aqui, o número 4. Ela vai vir da multiplicação desta segunda linha com esta primeira coluna, bem esta coluna. Para nós termos como resultado 4, a gente sabe que os números terão que ser zero, 1 e zero. Observe: zero vezes 1 = zero, mais 1 vezes 4 = 4, mais zero vezes 7 = zero. O resultado final disto vai dar 4. Se a gente verificar, esse resultado também vai dar certo para ser esta entrada aqui. Vamos multiplicar esta linha por esta coluna: 2 vezes zero = zero, mais 1 vezes 5 = 5, mais zero vezes 8 = zero. O resultado final disto vai dar 5. Assim como também vai dar certo para esta entrada aqui. Agora vamos analisar a última linha. Como vamos obtê-la? A gente sabe que, na multiplicação desta linha por estas colunas, nós vamos ter estas três entradas. Vamos analisar como é que nós obtemos o 7, por exemplo. A gente sabe que o 7 vai ser a multiplicação desta linha por esta coluna. Então, para obter o 7, nós teremos: 1 vezes zero, que vai dar zero, mais 4 vezes zero, mais 7 vezes 1. Se nós tivermos isso, a gente vai ter, como entrada o 7. E quando nós multiplicamos esta linha por esta coluna, nós também vamos obter o 8 e esta linha por esta coluna, nós obteremos o 9. E assim, nós acabamos de construir a matriz 3 por 3. Então, a matriz identidade 3 por 3, nós podemos dizer que é 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1. Esta é a matriz identidade 3 por 3. E, como você pode perceber, quando a gente constrói uma matriz identidade 3 por 3, A gente também já construiu uma matriz identidade 2 por 2. A matriz identidade 2 por 2 a gente pode dizer que é igual a 1, 0, 0, 1. Bem similar à matriz identidade 3 por 3. Se você tiver uma matriz identidade 4 por 4, você já pode até imaginar o resultado que vai dar. Em uma matriz identidade 4 por 4, nós teremos: 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, e 0, 0, 0, 1. Basicamente, a gente vai ter 1 sempre na diagonal central, no sentido da direita para a esquerda. O que é interessante a gente perceber de uma matriz identidade é que você vai pegar a matriz identidade, multiplicar por qualquer outra matriz e o resultado vai ser essa qualquer outra matriz. O que eu encorajo você a fazer, depois de ter visto este vídeo, em que a gente acabou mostrando que, quando eu tenho uma matriz identidade e multiplico por uma matriz A, o resultado é uma matriz A, é pensar se estiver ao contrário. Imagine que eu tenha uma matriz A e eu queira multiplicar essa matriz A pela matriz identidade. Vou deixar isto aqui para você pensar. O que você me diz? Nós já vimos, na multiplicação de matrizes, a questão da ordem. Você diria que isto é igual à matriz A também? Pense sobre isso. Até breve, em mais um vídeo!