Matriz nula e multiplicação de matrizes

RKA2MP Hoje nós vamos fazer uma analogia entre o que eu poderia dizer assim, a multiplicação tradicional, ou a multiplicação escalar. Primeira coisa que a gente vai escrever em relação à multiplicação escalar: a gente sabe que, quando tem o número 1 e multiplica este número por qualquer outro número, o resultado deste produto é esse qualquer outro número. Esse número 1, a gente pode tratá-lo como sendo a identidade. É a propriedade de identidade na multiplicação. Você pega 1, multiplica por um número qualquer e o resultado é esse número qualquer. Isso inspirou o nosso raciocínio por trás das matrizes identidades, porque o que a gente pensou nas matrizes identidades é: será que eu não tenho nenhuma matriz, que eu posso chamar de identidade, que, quando eu multiplique por uma matriz A qualquer, eu tenho, como resultado, essa própria matriz A? Ou então o contrário, você mesmo já deve ter comprovado, que, se você tiver uma matriz A e multiplicar essa matriz A pela matriz identidade, a gente também tem, como resultado disso, essa própria matriz A. Agora, se estas duas matrizes forem matrizes quadradas, em qualquer situação, estas duas matrizes também serão matrizes quadradas, com as mesmas dimensões que estas aqui. Mas, se estas matrizes não forem matrizes quadradas, então, estas duas matrizes identidades serão matrizes com dimensões diferentes a estas, mas serão quadradas. Agora, vamos ver se a gente consegue estender essa analogia entre a multiplicação tradicional e multiplicação de matrizes. Nós sabemos que tem um número muito especial na multiplicação tradicional, que é o número zero. Se a gente tiver o número zero e quiser multiplicá-lo por qualquer outro número, a gente sabe que o resultado desse produto vai ser zero. Ou, a mesma coisa, se nós tivermos qualquer outro número e estiver multiplicado por zero, a gente sabe que o resultado vai ser zero. E aí, qual seria a analogia disso para a multiplicação de matrizes? Será que a gente tem uma matriz que pode chamar de matriz nula, ou matriz zero, que, quando a gente multiplica por qualquer outra matriz, nós teremos novamente essa matriz nula ou essa matriz zero? O que eu quero saber é: será que nós podemos ter uma matriz que eu vou chamar de zero, de matriz nula, que, quando eu multiplicar por qualquer outra matriz A, eu vou ter como resultado esta matriz nula, esta matriz zero? Vamos chamar essa matriz de matriz zero (matriz 0). Será que eu vou conseguir isso? Isso depende das dimensões que essa matriz A terá, mas você já pode mais ou menos imaginar como essa matriz 0 deve ser. Por exemplo, se A for uma matriz do tipo 1, 2, 3, 4. Você consegue imaginar qual seria a matriz que, quando você multiplicasse por esta, também daria zero? Se nós tivéssemos a matriz, acho que o raciocínio é bastante simples. É só pegar uma matriz cheia de zeros. Quando for multiplicar esta matriz, como resultado, você vai multiplicar esta linha por esta coluna. Zero vezes 1, mais zero vezes 3, vai dar zero. Aqui também vai dar 0, 0, 0 e a gente vai ter a matriz nula. E se tivéssemos algo do tipo desta matriz aqui? 1, 2, 3, 4, 5, 6. E se nós quiséssemos multiplicar esta matriz, também, pela matriz nula? A gente sabe que, para poder multiplicar, o número de colunas desta matriz tem que ser igual ao número de linhas Então, se esta matriz tem duas linhas, tem que ser uma matriz com duas colunas. Vou fazer aqui uma matriz 0, 0, 0, 0, 0, 0. Eu quero multiplicar isto. Encorajo você a tentar pausar o vídeo e fazer esta multiplicação sozinho. Vamos observar a multiplicação destas matrizes. Antes, vamos escrever as dimensões. Esta é uma matriz com dimensões 3 por 2 (3 linhas e 2 colunas) e esta é uma matriz com dimensões 2 por 3 (2 linhas e 3 colunas). Como a gente tem aqui uma matriz 3 por 2 e aqui uma matriz 2 por 3, a gente sabe que esta multiplicação é válida, porque o número de colunas na primeira matriz é igual ao número de linhas da segunda matriz. Nós também sabemos que o produto destas matrizes vai ser uma matriz 3 por 3, vendo estes valores aqui. Então, a gente sabe que pode escrever aqui uma matriz 3 por 3 e eu vou deixar que você verifique que todas as entradas desta matriz vão dar zero. É bem fácil a gente perceber isso. Por exemplo, esta primeira entrada vem da multiplicação desta primeira linha com esta primeira coluna. Zero vezes 1, mais zero vezes 4, isso dá zero. E tudo que eu quero mostrar com este exemplo é que a gente conseguiu ter uma matriz 0, uma matriz nula, multiplicar por esta matriz e a gente teve como resultado uma outra matriz nula, porém, com dimensões diferentes. É isso, até o nosso próximo vídeo!