Usando as matrizes identidade e nula

RKA2MP O que temos aqui é uma equação matricial. A matriz A vezes isto, mais a matriz B vezes isto, mais a matriz C vezes isto, é igual a esta matriz quadrada, uma matriz com dimensões 2 por 2. O que eu quero saber é: quais seriam estas matrizes A, B e C? Diante desta configuração, posso dar uma dica para vocês. Posso dizer que estas matrizes A, B e C serão: ou matrizes chamadas de "matriz identidade", que nós já estudamos, ou serão matrizes chamadas de "matriz nula". Eu proponho que você pause o vídeo e tente resolver este enigma sozinho. Estas matrizes serão identidades ou nulas? Em qual você encaixaria cada uma delas? Supondo que você tenha tentado, vamos analisar esta matriz, entrada por entrada. Nesta primeira entrada, como a gente conseguiu obter este 2 que está no canto superior esquerdo? A gente sabe que, quando multiplica uma matriz pela matriz identidade, o resultado é a própria matriz. E, quando a gente multiplica uma matriz pela matriz nula, o resultado é zero. Todas as entradas irão zerar. Sabendo disso, imagine que a gente tenha a matriz "A" como sendo a matriz nula. Se a matriz "B" e a matriz "C" forem as matrizes identidade, elas continuarão com estas duas entradas valendo 1 e a soma vai dar este 2. Mas a gente pode ter o contrário. A gente pode ter a matriz "B" como sendo a matriz nula e a matriz "A" e "C" sendo identidade. A gente vai continuar tendo as duas entradas como sendo 1 e a soma vai continuar sendo 2. Ou, ainda, a gente pode ter a "C" como sendo a matriz nula. A soma de "A" e "B" vai continuar sendo 1 + 1, e o resultado também vai dar 2. O que a gente consegue concluir desta primeira entrada é que duas destas matrizes serão as identidades e uma vai ser a nula. Mas ainda não conseguimos saber qual delas vai ser a nula e quais as outras duas serão as identidades. Agora vamos olhar para esta entrada aqui. Como será que nós conseguimos somar até o 4? Vamos ver. Se a matriz "A" for uma matriz identidade e "B" for uma matriz identidade, iremos, essencialmente, somar esta matriz mais esta matriz. 3 somado com -5 não é igual a 4. Então, esta configuração de "A" e "B" serem matrizes identidades e "C" ser a matriz nula não funciona. Vamos analisar outras combinações. Como será que fica se tivermos "B" e "C" sendo matrizes identidades, e "A" sendo a matriz nula? Nesta situação, "A" não vai ter importância para a soma. A matriz "B" vezes a matriz identidade vai dar esta própria matriz e "C" vezes a matriz identidade vai dar esta própria matriz, porque "B" e "C" são matrizes identidades. E aí ficaríamos com -5 somado com 1. -5 + 1 = -4, então, esta combinação também não funciona. O último cenário, então. O que temos que lembrar primeiro? "B" não vai poder ser matriz identidade, porque, nas duas combinações anteriores, "B" era identidade e não deu certo. Então, temos que a matriz nula vai ser a matriz "B", "A" vai ser matriz identidade e "C" também será matriz identidade. Teremos "A" e "C" como matrizes identidades, vamos ver se isso faz sentido. Se esta matriz for matriz identidade e esta matriz também for matriz identidade, simplificando tudo, o que nós teremos? "B" vai ser matriz nula. Nós teremos o seguinte: a matriz 1, 3, 4, -2, somada com a matriz 1, 1, 3, 2 e a soma disto vai dar... Vamos observar. 1 + 1 = 2. 3 + 1 = 4. 4 + 3 = 7. E -2 + 2 = 0, confirmando que esta é a combinação correta. Até mais, gente, em um próximo vídeo!