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Curso: Cálculo multivariável > Unidade 5

Lição 3: Teorema de Green (artigos)

Teorema de Green

O teorema de Green relaciona o rotacional de uma integral dupla a uma certa integral de linha. É realmente muito bonito.

Conhecimentos prévios

Não é estritamente necessário, mas é útil para uma compreensão mais completa:

Definição formal de rotacional em duas dimensões

Outros recursos

Você pode encontrar exemplos de como o Teorema de Green é usado para resolver problemas no próximo artigo. Aqui, falarei sobre o que considero ser uma bela linha de raciocínio para explicar por que ele é verdadeiro. Você pode encontrar uma outra perspectiva no vídeo do Sal sobre esse assunto.

Uma lição, quatro ensinamentos

O Teorema de Green é um dos quatro principais teoremas no ápice do cálculo multivariável:

Teorema de Green
Teorema da divergência em 2D
Teorema de Stokes
Teorema da divergência 3D

A boa notícia é que os quatro têm princípios bem parecidos. Então, se você realmente chegar no ponto de estar totalmente familiarizado com o Teorema de Green, já estará bem adiantado para entender os outros três!

O que estamos construindo

Estrutura:
- $F$ ‍ é um campo vetorial bidimensional.
  - $R$ ‍ é uma região no plano $x y$ ‍.
  - $C$ ‍ é a fronteira dessa região, orientada no sentido anti-horário.
O Teorema de Green afirma que a integral de linha de $F$ ‍ em torno da fronteira de $R$ ‍ é igual à integral dupla do rotacional de $F$ ‍ em $R$ ‍:
$\iint_{R} rot 2d F d A = \oint_{C} F \cdot d r$ ‍
Pense no lado esquerdo da equação como sendo a soma de todas as pequenas porções de rotação em todos os pontos dentro da região $R$ ‍, e no lado direito como a medida da rotação total do fluido ao redor da fronteira $C$ ‍ de $R$ ‍.
$F$ ‍ é frequentemente escrito em relação às suas componentes, como a seguir:
$F (x, y) = P (x, y) \hat{i} + Q (x, y) \hat{j}$ ‍
Em função de $P$ ‍ e $Q$ ‍, o Teorema de Green fica assim:
$\oint_{C} P d x + Q d y = \iint_{R} (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}) d A$ ‍

Rotação do fluido ao redor de uma fronteira

A medida que você lê sobre isso, a imagem que deve ter em mente é a de uma região em um campo vetorial.

$F (x, y)$ ‍ é a função do campo vetorial. E, como você já deve estar se acostumando caso tenha lido outros artigos como esse que envolvem campos vetoriais, imagine que $F$ ‍ representa um fluxo do fluido.
$R$ ‍ é uma região no plano $x y$ ‍. Na prática, e em exercícios, ela será uma figura bem definida como um círculo ou a fronteira entre dois gráficos. Mas, enquanto estiver pensando de forma abstrata, gosto de desenhá-la simplesmente como uma mancha.
$C$ ‍ é a fronteira de $R$ ‍, orientada no sentido anti-horário. Lembre-se dessa orientação, porque ela é realmente importante na hora de resolver problemas. Sentido anti-horário. Está memorizando? Sentido anti-horário.

Verificação de conceito: como você interpreta a seguinte integral de linha em função do fluxo do fluido?

$\oint_{C} F \cdot d r$ ‍

(Lembre-se de que, em uma integral de linha por um campo vetorial, o termo

d r

representa um pequeno passo ao longo da curva, como um vetor, que nesse caso sempre apontará no sentido anti-horário.)

Escolha 1 resposta:
(Escolha A)
Ela será positiva se o fluido tiver uma rotação geral anti-horária ao redor da fronteira de $R$ ‍, e negativa se essa rotação no geral for no sentido horário.
(Escolha B)
Ela será positiva se o fluido tender a fluir para fora da região $R$ ‍, e positiva se o fluido tender a fluir para dentro de $R$ ‍.

Confira aqui uma maneira de pensar sobre a integral de linha

\oint_{C} F \cdot d r

: imagine-se remando um bote ao redor da linha

C

, no sentido anti-horário.

Em cada ponto de sua trajetória, o vetor

d r

dá o sentido do seu movimento. O produto escalar

F \cdot d r

será positivo em pontos nos quais o fluxo do fluido estiver a seu favor, e negativo nos pontos em que estiver contra você.

No geral, a integral de linha

\oint_{C} F \cdot d r

soma todos esses produtos escalares para lhe dizer se o fluxo, na maior parte do tempo, lhe ajudou ou lhe atrapalhou.

Então, essa integral de linha será positiva quando o fluxo do fluido tiver uma tendência geral anti-horária ao redor da fronteira

C

(o que significa que ela, em geral, ajudou), e negativa se tiver uma tendência horária (em geral, atrapalhou).

Trazendo a fronteira para o interior

O Teorema de Green se resume em utilizar essa ideia de rotação do fluido ao redor da fronteira de

R

e relacioná-la com o que acontece dentro de

R

. Conceitualmente, isso vai envolver dividir

R

em várias partes pequenas. Em termos de fórmula, o resultado final será calcular a integral dupla de

rot 2d F

Dividir a região

Imagine dividir ao meio a região

R

com uma linha reta de cima a baixo, gerando duas sub-regiões

R_{1}

R_{2}

Denomine as fronteiras dessas duas regiões

C_{1}

C_{2}

. O que acontece se pegarmos as integrais de linha de

F

ao redor dessas duas fronteiras e as somarmos?

$\oint_{C_{1}} F \cdot d r + \oint_{C_{2}} F \cdot d r$ ‍

Observe que essas integrais de linha se anularão ao longo do corte vertical que você fez. Notadamente, a integral ao redor de

C_{1}

vai para "cima" por essa linha, enquanto a integral ao redor de

C_{2}

integra essa linha para "baixo". (Lembre-se de que, ao realizar uma integral de linha em um campo vetorial, mudar a direção ao longo de uma curva multiplica seu resultado por

- 1

Isso significa que a soma de nossas duas integrais é igual a simplesmente percorrer toda a fronteira

C

$\oint_{C_{1}} F \cdot d r + \oint_{C_{2}} F \cdot d r = \oint_{C} F \cdot d r$ ‍

Dividi-la novamente

Você poderia fazer isso mais uma vez, talvez agora com um corte horizontal:

Se você integrar ao redor das fronteiras das quatro sub-regiões resultantes, todas as integrais se anularão ao longo das divisões que você fez no interior de

R

Em uma fórmula, isso significa que a soma das integrais de linha em torno das quatro sub-regiões acabam simplesmente se igualando à integral de linha em torno da região inteira:

$\oint_{C_{1}} F \cdot d r + \oint_{C_{2}} F \cdot d r + \oint_{C_{3}} F \cdot d r + \oint_{C_{4}} F \cdot d r = \oint_{C} F \cdot d r$ ‍

Devo salientar que isso só funciona se nos certificarmos de que todas fronteiras

C_{1}, \dots, C_{4}

estão orientadas da mesma forma. Caso contrário, elas podem não se anular ao longo das divisões. É comum pensar no sentido anti-horário como sendo o sentido positivo, então considere tudo como sendo orientado no sentido anti-horário.

Dividi-la várias e várias vezes

Você já deve ter entendido onde eu quero chegar com isso. Imagine dividir a região

R

em muitas e muitas pequenas partes,

R_{1}, \dots, R_{n}

. Oriente todas as suas fronteiras

C_{1}, \dots, C_{n}

no sentido anti-horário e integre a função

F

sobre cada uma.

As integrais se anularão ao longo de todas as divisões no interior de

R

. Isso ocorre porque, para qualquer número de divisões, uma das integrais percorrerá uma divisão em um sentido enquanto outra a percorrerá no sentido contrário. Por fim, as únicas partes nas quais estas integrais não se anulam são as partes da fronteira

C

Isso significa que somar as integrais de linha ao longo das fonteiras das pequenas partes resultará no mesmo que apenas fazer a integração sobre a região completa:

$\sum_{k = 1}^{n} (\oint_{C_{k}} F \cdot d r) = \oint_{C} F \cdot d r$ ‍

Integrando o rotacional

Então, por que estou fazendo isso? Porque existe uma outra maneira de interpretar cada uma dessas integrais de linha em torno de uma pequena parte usando um rotacional bidimensional. Escolha uma dessas partes e a amplie.

Considere $R_{k}$ ‍ a parte escolhida, com fronteira $C_{k}$ ‍.
Considere $| R_{k} |$ ‍ a área de $R_{k}$ ‍, que estamos considerando ter um valor muito pequeno.
Considere $(x_{k}, y_{k})$ ‍ um ponto dentro dessa parte (pode ser qualquer ponto).

A rotação do fluido ao redor dessa parte por causa de

F

pode ser medida pela integral de linha

\oint_{C_{k}} F \cdot d r

. Pense no pequeno bote a remo. Mas, como essa é uma parte bem pequena, existe outro conceito de cálculo multivariável que mede a rotação do fluido: o rotacional.

Essa integral de linha pode ser aproximada calculando o

rot 2d

F

em qualquer ponto dentro de

R_{k}

, e multiplicando-o pela (pequena) área

| R_{k} |

$\underset{\begin{matrix} Integral ao redor de uma \\ pequena parte R_{k} \end{matrix}}{\underset{⏟}{\oint_{C_{k}} F \cdot d r}} \approx (rot 2d F \underset{Ponto em R_{k}}{\underset{⏟}{(x_{k}, y_{k})}}) \underset{Área de R_{k}}{\underset{⏟}{| R_{k} |}}$ ‍

Ademais, e isso é importante, quanto menor for

R_{k}

, melhor será essa aproximação.

Para aqueles que leram o artigo sobre a definição formal de rotacional em duas dimensões, essa aproximação pode parecer bastante familiar. De fato, ela está muito próxima da definição formal de rotacional, na qual se imagina reduzir uma região em torno de um ponto:

$rot 2d F (x, y) = lim_{| R_{(x, y)} | \to 0} (\frac{1}{| R_{(x, y)} |} \oint_{C_{(x, y)}} F \cdot d r)$ ‍

Aqui, estou usando

R_{(x, y)}

para representar qualquer região que contenha o ponto

(x, y)

O significado do limite conforme

| R_{(x, y)} | \to 0

é que quanto menor a área da região, mais próxima será a seguinte a aproximação:

$rot 2d F (x, y) \approx \frac{1}{| R_{(x, y)} |} \oint_{C_{(x, y)}} F \cdot d r$ ‍

Isso é essencialmente o que a aproximação escrita acima diz, exceto que em vez de começar com um ponto

(x, y)

e considerar a região

R_{(x, y)}

em torno desse ponto, eu comecei com uma pequena região

R_{k}

e peguei algum ponto

(x_{k}, y_{k})

dentro dela.

$(rotacional 2d F \underset{Ponto em R_{k}}{\underset{⏟}{(x_{k}, y_{k})}}) \approx \frac{1}{| R_{k} |} \underset{\begin{matrix} Integral em torno de um \\ pequeno pedaço de R_{k} \end{matrix}}{\underset{⏟}{\oint_{C_{k}} F \cdot d r}}$ ‍

Agora, basta multiplicar ambos os lados por

| R_{k} |

, e você obterá a aproximação que eu sugeri originalmente:

$\underset{\begin{matrix} Integral ao redor de uma \\ pequena parte R_{k} \end{matrix}}{\underset{⏟}{\oint_{C_{k}} F \cdot d r}} \approx (rot 2d F \underset{Ponto em R_{k}}{\underset{⏟}{(x_{k}, y_{k})}}) \underset{Área de R_{k}}{\underset{⏟}{| R_{k} |}}$ ‍

Além disso, se você realmente quiser compreender os detalhes técnicos, poderá fazer a seguinte observação: começamos com uma certa aproximação, cujo erro vai de a zero a partes menores. Como nossa aproximação final veio da multiplicação de ambos os lados pela área

| R_{k} |

, seu erro não apenas tende a zero, como também deve permanecer significativamente menor que

| R_{k} |

à medida que esta tende a zero. Você pode ignorar esse fato, mas ele se torna importante para um detalhe técnico mais à frente.

Ao somar essas aproximações para todas as pequenas partes

R_{k}

, você obterá:

$\sum_{k = 1}^{n} (\oint_{C_{k}} F \cdot d r) \approx \sum_{k = 1}^{n} (rot 2d F \underset{Ponto em R_{k}}{\underset{⏟}{(x_{k}, y_{k})}} | R_{k} |)$ ‍

Com base na seção anterior, chegamos à conclusão de que o lado esquerdo acima é igual a uma única integral de linha ao redor da fronteira inteira de

E

, então podemos reescrever essa aproximação assim:

$\oint_{C} F \cdot d r \approx \sum_{k = 1}^{n} (rot 2d F \underset{Ponto em R_{k}}{\underset{⏟}{(x_{k}, y_{k})}} | R_{k} |)$ ‍

Agora, preste atenção na soma do lado direito.

Ela inclui uma função de valor escalar, $rot 2d F$ ‍
A soma é calculada sobre várias partes pequenas $R_{k}$ ‍ de uma região bidimensional, $R$ ‍.
Para cada parte dentro da soma, a função é calculada em um ponto dentro dessa parte e, em seguida, multiplicada pela sua área.

Isso lhe soa familiar? Esta é a receita para uma integral dupla! (Se isto não lhe soa familiar, considere a leitura deste artigo sobre integrais duplas.)

Em particular, se você se imaginar dividindo verticalmente a região

R

em partes cada vez mais finas, você poderá substituir a soma acima por uma integral dupla de

rot 2d F

sobre

R

$\sum_{k = 1}^{n} (rot 2d F \underset{Ponto em R_{k}}{\underset{⏟}{(x_{k}, y_{k})}} | R_{k} |) \to \iint_{R} rot 2d F d A$ ‍

Resumindo, temos:

$\begin{aligned} \oint_{C} F \cdot d r & = \sum_{k = 1}^{n} (\oint_{C_{k}} F \cdot d r) \\ \approx \sum_{k = 1}^{n} (rot 2d F \underset{Ponto em R_{k}}{\underset{⏟}{(x_{k}, y_{k})}} | R_{k} |) \\ \to \iint_{R} rot 2d F d A \end{aligned}$ ‍

Isto é, na verdade, mais que uma simples aproximação. A integral de linha ao redor da fronteira equivale à integral dupla do rotacional bidimensional:

$\oint_{C} F \cdot d r = \iint_{R} rot 2d F d A$ ‍

Tudo bem, existem alguns aspectos técnicos que eu devo mencionar para os detalhistas. Lembra-se da etapa de somar todas as aproximações de integrais de linha para rotacionais? Isso nos forneceu a aproximação:

$\sum_{k = 1}^{n} (\oint_{C_{k}} F \cdot d r) \approx \sum_{k = 1}^{n} (rot 2d F \underset{Ponto em R_{k}}{\underset{⏟}{(x_{k}, y_{k})}} | R_{k} |)$ ‍

Até onde sabemos, sem investigações adicionais, os erros para cada uma dessas aproximações resultam em algo substancial. Isto pode significar que, quando dividimos

R

verticalmente em partes cada vez mais finas, e a soma se torna cada vez maior, o acúmulo de erros sai do controle, mesmo quando cada erro individual por parte se aproxima de

0

Por sorte, isso não acontece. Para aqueles que leram o final da pequena nota técnica acima que justifica a aproximação original utilizando a definição formal de rotacional, lembram-se do que eu disse no final? O erro daquela aproximação é significativamente menor que a área de

R_{k}

. Como a soma das áreas de cada parte

R_{k}

é a área da região

R

inteira, uma constante, isso significa que a soma dos erros será significativamente menor que uma constante. Isto é, eles serão significativamente pequenos; e ponto final.

Isto quer dizer que a aproximação geral realmente se aproxima da igualdade quando passamos para a integral dupla, então podemos escrever com confiança a equação a seguir:

$\oint_{C} F \cdot d r = \iint_{R} rot 2d F d A$ ‍

Este fato maravilhoso se chama Teorema de Green. Ao observá-lo, você pode lê-lo como dizendo que a rotação de um fluido ao redor da fronteira completa de uma região (lado esquerdo) é o mesmo que considerar todos os pequenos "pedaços de rotação" dentro da região e somá-los (lado direito).

Notação alternativa

É muito comum ver o teorema de Green escrito assim:

$\oint_{C} P d x + Q d y = \iint_{R} (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}) d A$ ‍

Isto está apenas explicitando o produto escalar na integral de linha do lado esquerdo, assim como o rotacional na integral dupla do lado direito. Por alguma razão, é comum usar as letras

P

Q

para denotar as componentes da função de valor vetorial

F (x, y)

$F (x, y) = P (x, y) \hat{i} + Q (x, y) \hat{j} = [\begin{matrix} P (x, y) \\ Q (x, y) \end{matrix}]$ ‍

No próximo artigo, você encontrará exemplos de como essa fórmula pode ser usada para tornar tanto integrais de linha quanto integrais duplas mais simples.

Resumo

Você pode pensar na integral de linha $\oint_{C} F \cdot d r$ ‍ como a medição do rotacional do fluxo do fluido representado pelo campo vetorial $F (x, y)$ ‍ ao redor da curva $C$ ‍. Convencionou-se pensar na rotação no sentido anti-horário como sendo positiva, então, nesse caso, $C$ ‍ deve estar orientada no sentido anti-horário.

Imagine dividir a região bidimensional $R$ ‍ delimitada por $C$ ‍ em várias pequenas partes. Denomine as fronteiras dessas partes de $C_{1}, \dots, C_{n}$ ‍, e oriente todas elas no sentido anti-horário. Então, somar as integrais de linha de $F$ ‍ ao redor de cada fronteira $C_{k}$ ‍ das partes resulta no mesmo que a integral de linha ao redor da fronteira completa $C$ ‍.
$\sum_{k = 1}^{n} (\oint_{C_{k}} F \cdot d r) = \oint_{C} F \cdot d r$ ‍
Isto é, as pequenas integrais de linha se anulam ao longo de todas as divisões dentro de $R$ ‍.
Como você considera partes cada vez menores, a integral de linha em torno de cada pequena parte pode ser aproximada usando um rotacional bidimensional.

$\underset{\begin{matrix} Integral ao redor de uma \\ pequena parte R_{k} \end{matrix}}{\underset{⏟}{\oint_{C_{k}} F \cdot d r}} \approx (rot 2d F \underset{Ponto em R_{k}}{\underset{⏟}{(x_{k}, y_{k})}}) \underset{Área de R_{k}}{\underset{⏟}{| R_{k} |}}$ ‍

Ao somar essas pequenas "porções de rotacional" usando uma integral dupla sobre $R$ ‍, e aplicar o fato de que a soma das integrais de linha se anulam ao longo das divisões interiores, você obtém o teorema de Green.

$\oint_{C} F \cdot d r = \iint_{R} rot 2d F d A$ ‍

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