Autovalores de uma matriz 3x3

RKA4JL - No último vídeo estudamos autovalores para uma matriz de ordem dois. Agora vamos estudar para uma matriz de ordem três, matriz A três por três. Vamos lembrar que λ é um autovalor de A se, e somente se, a matriz A multiplicada por um certo vetor v for igual a um certo λ multiplicado pelo próprio v para um vetor v não nulo. Não pode ser o vetor zero. Isto que temos aqui é verdadeiro (lembre-se, isso já é uma revisão) se, e somente se, o vetor zero for igual a λ v menos Av. Eu estaria subtraindo Av dos dois lados, mas eu posso introduzir um certo fator aqui, que é a matriz identidade de ordem n. Se eu introduzir a matriz identidade de ordem n multiplicando λv, eu mantenho verdadeira essa expressão porque a matriz identidade é o elemento neutro para a multiplicação de matrizes. Indo pouco mais adiante, isso é verdade se, e somente se, o vetor zero for igual a λ multiplicado pela matriz identidade de ordem n menos a matriz A, tudo multiplicando v como se v... ou melhor, v foi colocado em evidência na expressão anterior. Reescrevendo, λIn menos A vezes o vetor v igual a zero, lembrando que v não é zero, v é um vetor não nulo, isso significa que o espaço nulo desta matriz (porque isso que está entre parênteses é uma matriz) o espaço nulo desta matriz não é trivial, é não trivial, o que significa que as colunas desta matriz que está entre parênteses não são linearmente independentes e a consequência disso, ou a relação disso, é que o determinante dessa matriz λIn menos A tem que ser igual a zero. Isso foi visto em vídeo anterior e vamos, agora, aplicar esta informação para a matriz A que temos aqui. Vamos usar a matriz identidade de ordem três. Primeiro vamos escrever o que é λ multiplicando a matriz identidade de ordem três. Será uma matriz... Lembre-se de que na matriz identidade, os elementos da diagonal principal são 1 e os outros são zero. Então os elementos que são multiplicados pelo λ vão resultar em λ na diagonal principal e os outros elementos serão zero vez λ, que continuam, então, sendo zeros. Vamos escrever o que seria λ vezes a matriz identidade de ordem três, que é isso que já temos aqui, menos a matriz A, que foi dada acima. Isso vai resultar em outra matriz na qual tenho λ menos -1 (eu faço elemento menos elemento correspondente) λ menos -1 é (λ mais 1), aqui zero menos 2 resulta em -2, aqui zero menos 2 novamente resulta em -2, e assim nós vamos compondo essa matriz. Veja que é o determinante dessa matriz que nós vamos ter que calcular depois. Na segunda linha, zero menos 2 é -2 novamente, (λ menos 2), aqui temos (λ menos 2), depois temos zero menos -1, zero mais 1 dá 1, aqui temos zero menos 2, dá -2, aqui temos zero menos -1, que vai dar 1 positivo, e finalmente aqui temos (λ menos 2), que é (λ menos 2). Nós queremos que o determinante dessa matriz que acabamos de obter aqui seja igual a zero, então nós vamos calcular o determinante desta matriz para depois equacionar. Vamos precisar nos lembrar de uma regra importante, que é a regra de Sarrus. É este determinante que nós queremos calcular. Usando a regra de Sarrus, nós reproduzimos as duas primeiras linhas ou duas primeiras colunas e nós as utilizamos em seguida. Eu vou optar por utilizar estas duas colunas aqui, reproduzidas ao lado. Aqui estão reproduzidas as duas colunas. Então o determinante procurado vai ser calculado, agora, por meio da regra de Sarrus. Na regra de Sarrus eu começo multiplicando todos os elementos aqui na direção da diagonal principal, o que nos daria λ mais um multiplicando (λ menos 2), multiplicando o outro (λ menos 2), mais... Agora, de novo, menos 2 vezes 1 vezes -2. e por último -2 vezes -2, adicionando aqui -2 vezes -2 vezes 1. Isso tudo para a diagonal principal. Agora eu vou subtrair a mesma ideia usando os elementos da diagonal secundária. Começando por aqui, -2 vezes... (λ menos 2) vezes -2, só para facilitar. -2 vezes -2 dá 4, vezes (λ menos 2) só que tem o "menos" da subtração, então -4 (λ menos 2). Depois 1 vez 1 vezes (λ mais 1), o resultado é (λ mais 1), com "menos" na frente, então -(λ mais 1) e finalmente aqui (λ menos 2) vezes -2 vezes -2 vai dar, de novo, 4, vezes (λ menos 2), com o '"menos" da subtração, estamos subtraindo todos estes elementos do que tínhamos antes. Agora é o momento de desenvolver um pouco a álgebra. Na linha seguinte eu vou manter esse (λ mais 1) entre parênteses e resolver este trecho, que é (λ menos 2) vezes (λ menos 2), cujo resultado é o quadrado do primeiro menos duas vezes o primeiro vezes o segundo mais o quadrado do segundo, mais... Agora já vamos resolver aqui -2 vezes 1 vezes -2 dá mais 4, mais... Aqui a mesma coisa, mais 4. Agora vamos para a outra parte. -4 vezes (λ menos 2) nós vamos distribuir. Vamos ter -4λ mais 8. Aqui é -λ menos 1 e aqui a mesma coisa, -4λ mais 8. -4 vezes -2, mais 8. Vamos agrupar os termos semelhantes, e ainda temos que eliminar os parênteses aqui. Vou distribuir tudo, então λ vezes λ² resulta em λ³, -4λ² mais 4λ, agora o mais 1 multiplicando tudo é só repetir. Então mais λ² menos 4λ mais 4. Agora vamos agrupando, então 4 mais 4 dá 8, com mais 8, 16 com -1, 15 e com mais 8, 23. Os termos independentes já foram, agora aqui eu tenho -4λ menos 4λ, -8 λ, com -1 λ dá -9 λ. Vamos agora organizar mais um pouquinho. Ficaremos com λ³, aqui -4λ² mais λ² dá 3 λ², mais 4λ menos 4λ dá zero, -9λ, e finalmente os termos independentes, mais 4 mais 23, mais 27. Este é o polinômio característico da nossa matriz, polinômio p(λ). Este é o polinômio que representa o determinante daquela matriz que nós estávamos estudando e nós desejamos que ele seja igual a zero. Queremos resolver, então, esta equação e obter o valor, ou os valores, de λ que nos permitem zerar o determinante. Temos uma equação que não é trivial e nós vamos ter que trabalhar um pouco com os polinômios. Vamos lembrar que neste caso se nós estivermos tratando soluções com raízes inteiras para este polinômio, então nós precisaremos nos lembrar de que vale a pena procurá-las entre os divisores deste termo, que é 27. Os divisores do 27 nós sabemos que são ±1, ±3, ±9 e ±27. Vamos tentar verificar se algum desses é raiz neste polinômio. Nós podemos fatorá-lo e desenvolver a resolução um pouco mais rapidamente. Vamos começar pelo mais fácil. Vamos verificar se 1 é raiz do polinômio. Colocando 1 no lugar do λ, nós vamos ter 1³, que dá 1, menos 3 vezes 1², que dá 3, -9 vezes 1, que dá menos 9, e mais 27. Isso dá zero? Vamos ver. 1³ é 1, 1 menos 3 dá -2, -2 menos 9, -11, mais 27. Isto não resulta em zero, o que quer dizer que 1 não é raiz desse polinômio. Vamos agora tentar com o outro. Vamos tentar com 3. Tentar o positivo primeiro. Vamos tentar com 3. 3³ menos 3 vezes 3³ (estou copiando aqui, trocando λ por 3) -9 vezes 3 mais 27. Se você fizer as contas com calma vai ver que isso realmente dá zero, então 3 é raiz desse polinômio. O que quer dizer o quê? Que este polinômio é divisível por x, ou melhor dizendo, por (λ menos 3). Se dividir esse polinômio por (λ menos 3) eu vou ter uma versão, facilmente, uma versão fatorada dele, que eu posso resolver em seguida. Tenho aqui o polinômio e vou dividi-lo por λ menos a raiz. Sabemos que 3 é raiz, então vou dividir por (λ menos 3). Vamos trabalhar com isso. Para começar, vamos lembrar: procuramos primeiro aqui no maior expoente. Quem é que vezes λ chega ao λ³? A resposta é λ², então aqui temos λ². Multiplicando tudo isso fica λ³ menos 3λ², só que eu vou subtrair isso, então inverto todos os sinais e subtraio do polinômio original. Este com este zerou, este com este também zerou, e aqui não temos nada, então na hora de subtrair o de cima menos o de baixo, ele vai sobrar -9λ mais 27. Agora preciso procurar quem é que vezes λ vai chegar no -9λ. A resposta é -9. -9 vezes λ, -9λ, -9 vezes -3, mais 27, só que eu vou subtrair isso tudo aqui. Está na cara que o de cima é igual ao de baixo, a subtração deles vai dar zero. Fácil demais. Então isto tudo nos leva à conclusão que o polinômio que nós tínhamos anteriormente é equivalente a este aqui multiplicado por este, ou seja, ele é igual a (λ menos 3) multiplicado por (λ² menos 9). Como nós estávamos resolvendo isso aqui igual a zero, eu posso reescrever usando essa expressão, ou seja, (λ menos 3) vezes λ² menos 9 igual a zero. Facilita ainda mais um pouquinho se você se lembrar de que λ² menos 9 pode ser fatorado pela diferença de dois quadrados. Fica (λ mais 3) vezes (λ menos 3) igual a zero. Agora eu vou, então, resolver facilmente. Uma multiplicação só dá resultado zero quando um dos seus fatores é zero. Quer dizer que, deste fator, quem é λ para que isso seja zero? Resposta é 3, que era o que nós já tínhamos deduzido aqui. Deste fator, quem é λ para que isso seja zero? λ tem que ser -3 e aqui λ teria que ser novamente 3. Concluindo, então, se λ pode ser 3 ou -3, chegamos à resposta para aquilo que nós tínhamos no começo do vídeo, que era a procura do autovalor para esta matriz três por três. λ igual a 3 ou λ igual a -3 são os dois valores, os dois autovalores para esta matriz A, ou seja, são os dois números que permitem com que a matriz A multiplicando um certo vetor v não nulo seja igual a um dos valores do λ multiplicando o mesmo vetor v não nulo. No próximo vídeo nós resolveremos para autovetores também e não somente para autovalores. Até lá!