Exemplo de resolução para os autovalores de uma matriz 2x2

RKA4JL - Olá, pessoal! No vídeo passado nós vimos que para qualquer λ [lambda] que satisfaça essa equação, para vetores V não nulos, temos também, como propriedade, que o determinante desse λ vezes a identidade menos A vai ter que ser igual a zero. Olha só, um outro meio de escrever essa frasezinha aqui é o seguinte: λ é um autovalor se, e somente se, o determinante de λ vezes a identidade menos A é igual a zero. Então, se é assim, vamos aqui tentar pegar uma matriz, algum exemplo concreto, para descobrir os autovalores dessa matriz, ok? Vamos começar por algo simples, uma matriz 2 por 2. Digamos aqui que a minha matriz A é a matriz [1, 2, 4, 3] e eu quero encontrar os autovalores dessa minha matriz A. Então vamos lá, pessoal. Se eu tenho um λ, esse λ é um autovalor da minha matriz A, então λ é autovalor de A, então isso aqui vai acontecer, não é? Vamos lá. Então. o determinante de λ vezes a identidade, no caso 2 por 2, que é [1, 0, 0, 1] menos A, ou seja, menos A matriz [1, 2, 4, 3], vai ser igual a zero. Ok, mas o que isso aqui vai virar? Isso aqui vai virar o determinante de... Bom, fazer λ vezes essa matriz é multiplicar λ por todos os elementos aqui, então λ vezes 1 é λ, λ vezes zero é zero, λ vezes zero é zero novamente, λ vezes 1 é λ, menos a nossa matriz A, [1, 2, 4, 3] e isso aqui é igual a zero. E o determinante do que, agora? Vamos fazer essa operação. λ menos 1 é λ menos 1, zero menos 2, -2, zero menos 4, -4, λ menos 3 é λ -3. Isso tem que ser igual a zero. E agora está na hora de calcular esse determinante, não é? Então vou fazer aqui. Esse rapaz vezes esse, então (λ menos 1) vezes (λ menos 3), eu vou pegar o oposto do produto desses caras aqui, então -2 vezes -4 dá 8, ligando o oposto é -8. E o resultado disso tem que ser igual a zero. Lembrando que esse resultado aqui é o determinante dessa matriz, não é? Determinante dessa matriz que acaba, depois de construída, sendo essa matriz verde aqui. Então voltando aqui à nossa equação, não é? Determinante da matriz igual a zero. Mas lembra porque, mesmo, que esse determinante tem que ser igual a zero? Bom, vem daqui. Lembra que esse aqui tem que ser um espaço nulo não trivial? E para ser um espaço nulo não trivial, essa matriz não pode ser invertível. E para uma matriz não ser invertível, o seu determinante tem que ser igual a zero. Voltando aqui à nossa equação. Olha só, pessoal, é só uma equação polinomial. Vamos distribuir aqui os nossos valores e resolvê-la. λ vezes λ é λ², -3 vezes λ, menos λ, mais 3 menos 8 é igual a zero. Isso aqui é igual a λ² menos 4λ menos 5 igual a zero. E se você tiver interessado em um pouco das terminologias aqui, essa equação aqui a gente vai chamar de polinômio característico. Então, polinômio característico, ok? Ok, agora é só resolver isso aqui, que é uma equação de segundo grau, não é? Você vê que é facinho de fatorar se a gente usar a famosa técnica da soma e produto. Tem que achar dois números que o produto é -5 e a soma é 4, ou seja, esses números são 5 e -1, -1 mais 5 dá 4, -1 vez 5 dá -5, então nossa equação fica λ menos uma das raízes, ou seja, λ menos 5, e λ menos -1, ou seja, λ mais 1 igual a zero. Então aqui no nosso polinômio fatorado dá para saber que as raízes são λ igual a 5 ou λ igual a -1, como a gente já tinha até falado aqui na soma e produto. Portanto, esses dois valores aqui são os autovalores da minha matriz da A. É λ igual a 5 e λ igual a -1. É claro que aqui a gente só fez parte do trabalho, encontramos quem são os autovalores, mas é interessante quando a gente tem essa nossa equação encontrar tanto os autovalores quanto os autovetores da nossa matriz A. Então os nossos autovetores a gente vai encontrar no próximo vídeo. Tchau, tchau, pessoal!