Introdução a autovalores e autovetores

RKA1JV - Olá, pessoal! Prontos para mais um vídeo? Para toda transformação que associa o Rⁿ ao próprio Rⁿ, a gente tem feito de forma implícita. Mas tem sido bem importante para a gente encontrar vetores que quando eu aplicava transformação, o resultado era apenas um múltiplo desse vetor que foi aplicado. Ou seja, vetores que, quando eu aplico a transformação, o resultado é simplesmente um múltiplo desse meu vetor. Se para você está meio obscuro, você não lembra de a gente ter falado nada disso, vou tentar refrescar sua memória um pouco. Para isso, vou começar desenhando aqui o nosso R². Eu vou fazer aqui alguma transformação do R² no R² para nos ajudar. E agora, para ajudar, vou fazer um vetorzinho, aqui está o nosso vetorzinho "v". Digamos que esse vetorzinho "v" aqui é o vetor [1, 2]. Além disso, nós temos a reta que esse vetorzinho gera, vamos chamar essa retinha aqui de reta "r". A agora vamos criar aqui, uma transformação linear que reflete vetores em torno dessa minha reta "r". Então, "T" vai ser uma transformação do R² no R² que reflete vetores ao redor de "r". Bom, já que a gente está aqui em uma missão de refrescar a memória, o que seria uma reflexão ao redor da reta "r"? Digamos que eu tenha um vetorzinho "x" aqui, refletindo ao redor dessa reta, ela vai servir como se fosse um espelho. A imagem vai ficar aqui mais ou menos, um reflexo desse meu vetor "x", aqui está o nosso T(x). Não sei se você se lembra de quando a gente pegou essa transformaçãozinha aqui como exemplo, uma das coisas que a gente fez foi escolher uma base para essa transformação. Que não era muito alterada por ela. Quando a gente aplicava a transformaçãozinha na base, o máximo que ela fazia era multiplicar os vetores da base por um escalar. Por exemplo, pessoal, este vetorzinho, vou chamá-lo de v₁. Quando eu pego a transformação desse vetor, transformação aplicada no meu vetorzinho v₁, o que vai acontecer com ele? Se eu o refleti sendo, que ele já está na reta, ele vai continuar igual. Então, a transformação aplicada em v₁ é ser justamente o meu vetor v₁. Ou dá para falar o seguinte: se eu aplicar transformação em v₁, o que eu vou obter é simplesmente uma vez o meu v₁. Se eu tentar colocar nesses parâmetros aqui, o que eu acabei de mostrar para você, a transformação no caso é a reflexão. E lambda (λ) aqui, o λ é igual a 1. Significa que o que aconteceu depois da transformação, é que o meu vetorzinho foi multiplicado por 1. Vamos pegar aqui um outro vetorzinho de exemplo. Digamos que eu pegue aqui, o vetorzinho aqui, esse vetor v₂, e esse meu v₂ é o vetorzinho 2 menos 1. Quando eu aplico a transformação nesse meu v₂, o que vai acontecer? Ele só vai mudar a direção. Por quê? Porque ele é ortogonal a essa minha reta "r". Aqui está T(2), ou seja, se eu pegar e aplicar uma transformação em v₂, o que vai acontecer? O que vai vir de resultante para mim vai ser -v₂. Também posso dizer aqui que a transformação aplicada em v₂ vai ser simplesmente -1 vezes o vetorzinho v₂. O interessante desses vetorzinhos aqui, é que, se eu estiver trabalhando com essa transformação e usá-los como base do meu sistema de coordenadas, vai ficar muito, muito fácil a gente achar a matriz que vai representar a minha transformação. O que também vai facilitar as continhas que a gente vai operar daí para a frente. A gente vai se aprofundar nisso um pouco mais para frente. Mas espero que você tenha percebido o tanto que esses vetores são especiais. Ou, então, pessoal, a gente pode pegar o caso que eu tenho aqui, um plano qualquer, digamos que esse plano é gerado por esses dois vetorzinhos em vermelho e aqui eu tenho um vetorzino verde que sai desse plano e que vem aqui para cima. Agora, eu pego como exemplo, a transformação que usa esse plano como um espelho, todo mundo é refletido ao redor desse plano. E quando eu faço a transformação nos vetores vermelhos, eles não mudam nada e fazendo a transformação nesse vetorzinho verde, ele simplesmente vira de cabeça para baixo. E você vai pensar: "bom, parece que esses três vetores são uma boa base para essa transformação." De fato, eles são. Então, basicamente, em que a gente está interessado? O que a gente está procurando são vetores que quando a gente aplica transformação, a única coisa que acontece é eles serem multiplicados por um número. Espero que você tenha percebido que não são com todos os vetores que esse tipo de comportamento acontece. Por exemplo, olha esse vetorzinho "x" que a gente desenhou. Quando a gente aplicou a transformação nele, digamos que a reta que ele gera muda completamente. Diferentemente desse aqui. quando eu apliquei a transformação, a reta que eu gerei foi a mesma. Então, basicamente, o que a gente está procurando? Os vetores que, quando a gente aplica a transformação, o resultado é só uma versão multiplicada por um escalar. E que digamos que a transformação do meu "x", esse aqui é o vetor "x". Ou seja, a reta que o vetor gera tem que ser a mesma reta que a imagem desse vetor vai gerar. E quando esse tipo de coisa acontece, pessoal, esses vetorzinhos até têm um nome. Espero que eu esteja enfatizando o suficiente a importância desses caras porque eles são, de fato, muito úteis. Não é só uma perfumaria matemática que a gente está fazendo aqui. Eles são úteis, porque eles facilitam encontrar as matrizes que representam as transformações. Eles são um conjunto de bases mais natural para um sistema de coordenadas. E, na grande maioria das vezes, as matrizes usando esses "carinhas" como sistema de coordenadas são muito mais fáceis de operar, de calcular. Então vamos ao nome especial que esses vetores têm. Qualquer vetorzinho que satisfaça essa propriedade aqui é chamado de auto vetor da transformação T. Já esse lambda (λ) aqui, o número pelo qual este vetor foi multiplicado, é chamado de auto valor associado. Associado a quem? Associado ao auto vetor. Então, pessoal, voltando aqui, essa transformação aqui, que é a reflexão, nesse nosso caso, o vetor [1, 2] é um auto vetor, é um auto vetor da nossa transformação. E o 1 é o auto valor associado. Do mesmo modo, esse vetorzinho [2, -1], o v₂, também é um auto vetor. E no caso desse v₂,, -1 é o auto valor associado. Essa transformação representada como um produto de uma matriz por um vetor, afinal, é uma transformação linear, pode ser representada assim. Qualquer "v" que satisfaça a condição de que a transformação aplicada em "v" resulta em λv, que, obviamente, também pode ser representada por "A" vezes "v", esses vetores também são chamados de auto vetores da matriz "A". Afinal, "A" é a matriz que representa a transformação. Novamente, esse aqui é o auto vetor de "A", e o λ é o auto valor associado ao auto vetor. Ou seja, se você me der uma matriz que representa uma transformação linear, eu posso descobrir quem são os autos valores e os autos vetores associados. Inclusive, nos próximos vídeos, a gente vai calcular esses carinhas. Mas eu quero que você perceba, quero que você dê importância, no vídeo de agora, no vídeo de hoje, nas propriedades desses tais autos vetores. Simplesmente, eles não são muito alterados pela transformação, o máximo que vai acontecer é ele ser multiplicado por um escalar. Ou seja, vai ficar ou maior, ou um pouco menor, mas a linha, a reta que esse cara gera, não vai mudar quando eu aplico a transformação nele. Por isso, uma das grandes utilidades, é que eles formam uma ótima base para o nosso sistema. O que vai fazer com que a nossa matriz de transformação seja mais fácil de encontrar, inclusive, mais fácil de operar. Espero que vocês tenham gostado, e até o próximo vídeo! Tchau, tchau!