Mostrando que uma autobase serve para bons sistemas de coordenadas

RKA2MP - Nós já estudamos diferentes bases a partir de vetores e, nelas, transformações lineares. Vamos imaginar uma transformação de Rⁿ em Rⁿ e que essa transformação possa ser escrita como T(x) igual a uma certa matriz A, "n" por "n", multiplicando o vetor "x". Vamos assumir que a matriz A tem "n" autovetores linearmente independentes, que são v₁, v₂, etc., até vn. O que eu quero mostrar neste vídeo é que estes vetores constituem, em particular, uma base muito boa para esta transformação. Vamos explorar isso um pouco. Vamos começar aqui, examinando a transformação aplicada ao vetor v₁. A transformação aplicada ao vetor v₁ é a matriz A multiplicando o vetor v₁, mas, já que o vetor v₁ é um autovetor, isso tem que ser igual ao autovalor λ₁ multiplicando o vetor v₁. A mesma coisa na transformação aplicada ao vetor v₂: é igual à matriz A multiplicando o vetor v₂ que, já que v₂ é um autovetor, tem que ser igual ao autovalor multiplicando o vetor v₂ e assim sucessivamente, até a transformação T aplicada ao vetor "n", que vai ser igual à matriz A multiplicando vn, que tem que ser igual ao autovalor λn multiplicando vn. Bem, agora, aqui parece bastante óbvia uma coisa, mas, ao escrever, vamos observar outras coisas importantes aparecendo. Quando nós falamos que a transformação aplicada ao vetor v₁ é igual a λ₁v₁, nós podemos dizer que ela é, ou pode ser escrita como λ₁v₁ mais zero v₂ mais zero v₃ e assim sucessivamente até o zero vn. Do mesmo modo, se aqui temos λ₂v₂, podemos escrever zero v₁ mais λ₂v₂, mais zero v₃, zero v₄, até zero vn. Aqui a mesma coisa: teremos zero v₁ mais zero v₂ mais zero v₃, etc., até chegar no λn multiplicando vn. Observe que, se estamos definindo uma certa base "b", gerada por estes vetores, já que eles são linearmente independentes, o que temos aqui, para todas estas linhas, é o uso de coordenadas na base "b". Vamos lembrar aqui que, se eu tenho um certo vetor "x" e eu aplico a transformação nele, multiplicando-o pelo A, eu vou chegar a T(x), ou seja, a transformação aplicado ao vetor "x". Eu posso mudar de base. Posso pegar o vetor "x", que está no sistema padrão, nas coordenadas padrão, e, multiplicando pela inversa da matriz mudança de base chamada C, eu vou obter o vetor "x" representado na nova base, que, por exemplo, pode ser chamada de "b", que é justamente o que eu estou usando aqui. Para fazer a volta, ou seja, se eu tenho as coordenadas na base "b", para voltar para o sistema padrão de coordenadas, eu multiplico pela matriz C. A matriz C, que é a matriz mudança de base, é a matriz cujas colunas são as coordenadas dos vetores que compõem a base "b". Ao aplicar a transformação em um vetor "x" que está representado com as coordenadas na base "b", eu vou obter uma transformação aplicada ao vetor "x", porém, representada com as coordenadas na base "b". E para ir direto daqui para cá, eu vou multiplicá-lo por uma outra matriz, chamada D. Nós já vimos isso em outros vídeos. E, na continuação, nós podemos também transitar entre o T(x) no sistema padrão e o T(x) na base "b" multiplicando por C⁻¹ do sistema das coordenadas padrão para a outra base e, para voltar, multiplicar pela matriz C. E quando nós temos, como neste caso, uma base composta por "n" autovetores, que são, evidentemente, linearmente independentes, constituindo esta base, esta matriz D é uma matriz muito interessante, porque ela fica muito fácil de ser trabalhada Então, vamos lá. Eu quero escrever agora a transformação aplicada ao vetor v₁, representada na base "b". Veja que, aqui, nós já temos uma representação na base "b". Os vetores v₁, v₂, até vn, constituem a base "b", da transformação de v₁ aplicada na base "b", vai ter como resultado o λ₁, que aqui multiplica o v₁, mais o zero vezes v₂ e assim por diante, até zero multiplicando vn. Mas a transformação aplicada ao v₁ é a tal matriz D multiplicando o vetor "x" apresentado na base "b". A matriz D é uma matriz (estamos também em Rⁿ, então, "n" por "n"), cujas colunas são compostas pelos vetores d₁, d₂, etc., até o dn, multiplicando o vetor v₁, cujas coordenadas estejam representadas na base "b". Mas quem é o v₁? O v₁ é: 1 vez v₁, mais zero vezes v₂, mais zero vezes v₃, até zero vezes vn. O v₁ é um dos vetores da base, então, é uma vez ele, mais zero vezes cada um dos outros. E qual é o resultado desta multiplicação? d₁ vezes 1 + d₂ vezes zero e assim por diante, de maneira que esta multiplicação resulta simplesmente em d₁. Vamos continuar. Da mesma forma, a transformada aplicada ao vetor v₂ representada na base "b", cujas coordenadas nós já podemos observar aqui acima, temos zero vezes o v₁, mais λ₂ vezes v₂, mais zero vezes v₃, etc., até zero vezes vn. E isto tem que ser igual à matriz D, que é a da transformação linear nas coordenadas da base "b", multiplicando o vetor v₂. Quem é o vetor v₂? É zero vezes v₁, mais 1 vez v₂, etc., até zero vezes o vn. Efetuando mais uma vez a multiplicação dessas duas matrizes, nós vamos ter aqui o d₂. Da mesma maneira para o v₃, v₄, até o vn, no qual a transformada aplicada ao vn, nós temos aqui nas coordenadas da base "b", vai ser zero vezes v₁, mais zero vezes v₂, etc, até λn vezes vn, que tem que ser igual à matriz D multiplicada pelo vetor vn, que é zero vezes v₁, mais zero vezes v₂, etc, até 1 vez o vn. Efetuando a multiplicação destas matrizes, nós vamos ter quem aqui? O dn. Usando tudo isto, nós vamos conseguir definir o que é esta procurada matriz D. Veja: a primeira coluna da matriz D são as coordenadas do vetor d₁. E o vetor d₁, o que é? É igual a isto aqui. Então, na primeira coluna, nós temos o λ₁ e depois o resto com zeros. Na segunda coluna, o d₂, é isto. É o zero... Zero, λ₂, e continua com zeros. E assim, podemos notar que nós vamos ter, na diagonal principal, os lambdas: λ₃ aqui, continuando até o zero e aqui continua até o λn. E o resto aqui, tudo de zeros. Esta é a matriz D de transformação linear aplicada aos vetores representados na base "b". Bem, voltando aqui, então. Se nós temos aqui uma certa matriz A, que é composta por "n" autovetores linearmente independentes, naturalmente, e nós compomos uma base a partir deles (vamos chamar de autobase), então, a matriz da transformação linear com as coordenadas na base "b" é uma matriz muito interessante e muito fácil de ser trabalhada, porque ela é uma matriz diagonal, nela todos os elementos, exceto a diagonal principal, são zeros, e, com uma matriz assim, é muito fácil de multiplicar, de inverter, de obter determinante... Ou seja, de fazer qualquer trabalho que envolva essa matriz, mesmo que seja uma sequência de várias vezes usando essa matriz. A álgebra linear fica muito envolvida com vetores, bases, espaços, etc. Isso é bastante abstrato, mas os vetores, na verdade, são representações abstratas de coisas do mundo real. Aqui podemos ter aplicações na estatística, podemos ter aplicações em padrões da meteorologia, podemos ter aplicações nas engenharias. Essas matrizes são usadas muitas e muitas vezes, então, sempre que nós conseguimos facilitar o uso das matrizes, computacionalmente, nosso problema é resolvido de maneira mais fácil. A álgebra linear é uma maneira muito generalizada de resolver problemas de uma gama muito extensa. E a ideia de estudar os autovalores e os autovetores é justamente ver que você tem agora uma ferramenta que facilita bastante a resolução de problemas que podem ser mais complexos. Embora isto seja, neste momento, bastante abstrato, você tem uma ferramenta que pode ser aplicada em coisas do mundo real. Até o próximo vídeo!