Exemplos de como encontrar autovetores e autoespaços

RKA1 - Olá, pessoal! No último vídeo, a gente começou com uma matriz A, 2 por 2, que tinha como elementos os números 1, 2, 4, 3. E nessa matriz, a gente disse que λ é um auto valor de A se e somente se o determinante de λ vezes a minha matriz identidade, no nosso caso aqui vai ser 2 por 2, menos a matriz A, vai ser igual a zero. Fazendo essa continha, a gente encontra o polinômio característico, e encontrando as raízes desse polinômio, a gente encontra que os autos valores são λ igual a 5 e λ igual a -1. Isso é um resumo do que a gente viu no vídeo passado. Ou seja, se eu tenho aqui a minha matriz "A" vezes um vetor "v", no qual o resultado é um λ, ou seja, uma constante vezes esse vetor "v". isso vai ser verdade se λ for 5 ou se λ for -1. Claro que a gente está falando isso para vetores não nulos. vamos colocar aqui, assumindo auto vetores não nulos. Ok, pessoal? Aqui a gente já tem os autos valores, mas eu vou chamar isso de apenas metade da nossa batalha. Afinal, a gente quer os autos valores e os autos vetores. Vamos ver se a gente consegue resolver isso. Vamos começar manipulando essa equação. Se eu subtrair "A" vezes "v" dos dois lados, eu vou ter, à esquerda o vetor nulo igual a λv menos a matriz "A" vezes o vetor "v". Eu posso reescrever esse carinha como sendo λ vezes a matriz identidade vezes o vetor "v", afinal, eu posso, com certeza, escrever esse rapaz aqui como sendo esse rapaz. Pois, a matriz identidade é o elemento neutro da multiplicação. Se eu fizer a identidade vezes qualquer vetor, o resultado é o próprio vetor. Subtraindo aqui, "A" vezes "v", a gente continua tendo aqui o zero como resultado. Até agora o que a gente fez foi manipular essa equação, inclusive, não sei se você se lembra, foi como a gente chegou nessa expressão. Foi fazendo esta mesma manipulação e agora qual é o próximo passo? O próximo passo é colocar esse vetor "v" em evidência. A gente já viu que a multiplicação de matriz por vetor apresenta propriedade distributiva. Então fica λ vezes a identidade, menos "A" multiplicado pelo vetor "v". O vetor "v" que, no caso, vai ser meu auto vetor e isso vai ser igual ao vetor nulo. Para mostrar uma outra forma de encarar esse fato, eu vou introduzir uma nova notação aqui. Vamos lá. Para todo auto valor λ, existe um carinha chamado auto espaço correspondente ao λ. Vou chamar esse rapaz aqui de auto espaço. Isso é uma palavra nova, uma notação nova que a gente vai introduzir neste vídeo. E o que é o auto espaço? O auto espaço, simplesmente, vão ser todos os auto vetores que correspondem a um auto valor λ. Ou seja, o auto espaço que corresponde a um auto valor λ qualquer vai ser simplesmente o conjunto de vetores que satisfazem essa equação. Ou seja, o meu auto espaço vai ser, simplesmente, o espaço nulo dessa matriz aqui. E vamos escrever, é espaço nulo de λ vezes a identidade, menos a minha matriz "A". Isso aqui está de forma geral, a gente está vendo isso aqui de forma generalizada. Mas a gente pode aplicar muito bem essa ideia para essa matriz "A". Vamos começar, para um auto valor λ igual a 5, eu posso encontrar o auto espaço correspondente a 5. Basta fazer o espaço nulo. O espaço nulo do quê? O que é 5 vezes a matriz identidade? 5 vezes a identidade é simplesmente 5 vezes essa matriz aqui que dá, no caso, 5, 0, 0, 5. Menos a minha matriz "A" que é a matriz 1, 2, 4, 3. E o resultado vai ser o espaço nulo da matriz, 5 menos 1, eu tenho 4, zero menos 2 é -2, zero menos 4 é -4 e 5 menos 3 é igual a 2. Ou seja, o espaço nulo dessa matriz aqui, lembrando que essa matriz é nada mais, nada menos que a representação numérica dessa matriz aqui. Quando o nosso λ vale 5, o espaço nulo vai ser nada mais nada menos do que todos os vetores que satisfazem essa equação. Ganhando pouquinho mais de espaço, se é assim, vamos lá. Significa que o espaço nulo vão ser os vetores que satisfazem essa equação aqui. 4, -2, -4, 2 vezes um vetor "v", e o resultado é igual ao vetor nulo. O espaço nulo dessa minha matriz vai ser o mesmo espaço nulo da minha matriz escalonada reduzida. Vamos aqui encontrar a matriz escalonada reduzida e facilitar um pouco as contas. Para escalonar essa matriz, um bom começo é manter a minha primeira linha, fica 4 menos 2 e agora eu vou somar as duas linhas e colocar no lugar da segunda. Somando 4 com -4, o resultado é zero, -2 com 2, o resultado também é zero. Vamos um pouquinho mais para baixo aqui. A matriz está escalonada, falta reduzir. Para reduzir, eu vou dividir essa linha por 4. Vai ficar 1 menos 1/2 aqui e aqui continua zero e zero. Então aqui a minha matriz escalonada reduzida que vezes o vetor "v", que eu posso representar como [v₁, v₂], vai ser igual ao vetor nulo ou o vetor zero, zero. Olha só, pessoal, se a gente fizer essa multiplicação aqui, a gente vai ter que v₁ menos 1/2 v₂ vai ser igual a zero. Esse zerinho aqui que é equivalente a dizer que v₁ é igual a 1/2 vezes v₂. E aqui, pessoal, se eu quiser escrever o auto espaço que corresponde a essa equação aqui, vai ser o seguinte: teremos o auto espaço correspondente a λ igual a 5 que vai ser igual ao conjuntinho dos vetores v₁ e v₂. E esse vetor v₁ e v₂ vai ser igual a quê? Um escalar que multiplica, vamos ver, se eu chamar o meu v₂ de "t", essa parte vai ficar assim: "t" vezes um vetor para o v₂ ser igual a "t", aqui tem que ser "t" vezes 1. E o v₁ é 1/2 vezes v₂, então, é 1/2 vezes "t", aqui fica 1/2. Claro que para todo "t" pertencente aos números reais. Portanto, aqui, pessoal, o nosso auto espaço para o meu λ igual a 5 vai ser simplesmente o espaço gerado. O espaço gerado pelo vetor 1/2, 1. que é simplesmente uma reta no R². Muito bem, mas agora, e quando λ vale -1? Para λ igual a -1, A gente vai querer encontrar o auto espaço correspondente a λ -1. O que vai ser isso? Vai ser simplesmente o espaço nulo dessa equação, para λ valendo -1. Ou seja, -1 vezes a identidade, -1 vezes a identidade vai ficar -1, 0, 0 e -1. Menos a nossa matriz "A", a matriz "A" é o quê? Matriz 1, 2, 4, 3. Fazendo essa continha aqui, eu vou ter o espaço nulo de qual matriz? -1 menos 1, dá -2, zero menos 2, -2 também, zero menos 4 dá -4 e -1 menos 3 dá -4 também. É o espaço nulo dessa matriz aqui. Novamente aqui, pessoal, vamos encontrar a matriz escalonada reduzida para facilitar nossas contas. Então escalonando essa matriz. Escalonando essa matriz, eu vou repetir a primeira linha, vai ficar -2, -2. Já a segunda linha, eu vou multiplicar a primeira por -2, e somar na segunda. Vai ficar menos -2 vezes 2, 4 somando embaixo vai ficar zero. Vai ficar zero aqui e zero aqui. São os mesmos números. Aqui está nossa matriz escalonada. Agora, vamos reduzi-la. Para reduzi-la, vou dividir por -2 na minha primeira linha. O resultado aqui vai ser 1 e 1, zero e zero. Está aqui nossa matriz na forma escalonada reduzida. Portanto, posso falar que o auto espaço correspondente ao auto valor -1 é seu espaço nulo dessa matriz aqui. E assim como a gente fez no espaço anterior, a gente vai falar que o espaço nulo dessa matriz é, simplesmente, os vetores que satisfazem essa equação. 1, 1, 0, 0 vezes meu vetor v₁, v₂ é igual ao vetor nulo, ou seja, zero, zero. Portanto, essa linha vezes essa coluna tem que dar esse valor. v₁ mais v₂ tem que ser igual a zero. Ou então v₁ é simplesmente -v₂. Portanto, pessoal, posso falar aqui que se um v₂ é igual a um número "t", o nosso v₁ vai ser igual a -t. Assim, galerinha, o nosso auto espaço aqui é simplesmente o conjunto de vetores v₁, v₂ que são iguais a 1t, multiplicado por, v₁ é -t, então aqui é -1, v₂ é "t", então aqui é 1. Claro que isso aqui é o espaço gerado pelo vetor -1 e 1. Novamente uma retinha no R². Já que são retas no R², vamos desenhá-la aqui embaixo para a gente entender melhor o que está acontecendo. Vamos lá, aqui vai estar o meu plano cartesiano, meu eixo vertical, meu eixo horizontal. Aqui, se eu tenho aqui o 1, aqui vai ser 1/2 e aqui 1. Ou seja, aqui está meu vetor de posição 1/2 e 1. É esse vetor amarelo aqui. Esse é o vetor que gera esse auto espaço. Como a gente falou, isso aqui é uma reta, reta gerada por esse vetor. Temos aqui a reta gerada pelo meu vetor, qualquer vetor posicionado nessa reta vai ser um auto vetor para o meu auto valor λ igual a 5. Lembrando o que acontece aqui nessa reta. Qualquer vetor posicionado aqui, quando eu aplico a transformação, o resultado é 5 vezes esse vetor. Ou seja, se eu tenho um vetor aqui, se eu aplico a transformação desse vetor, o resultado é 5 vezes esse cara. Ou, então, um outro vetor aqui posicionado. Se eu aplicar a transformação, o resultado é 5 vezes esse vetor. Isso significa um auto vetor, ou seja, auto vetor é quando eu aplico a transformação e o resultado é simplesmente multiplicar esse vetor por um número. Vamos pro meu o auto espaço gerado por -1 e 1. -1 está aqui, 1 já está desenhado, então, é esse vetor aqui. E o espaço gerado por esse vetor é esse espaço aqui, essa reta. Nessa reta, qualquer vetor posicionado nessa reta, quando eu aplico a transformação, o resultado vai ser -1 vezes o vetor. Ou seja, se eu pegar aqui um vetor qualquer e aplicar a minha transformação, multiplicar pela matriz "A", o resultado vai ser ele apontando o outro lado, que é multiplicar pelo -1. Aqui estão todos os auto vetores que correspondem ao auto valor λ igual a -1. Revisando aqui, pessoal. A minha matriz "A" 1, 2, 4, -3, tem como auto valores λ igual a 5 e o λ igual a -1. Cada um desses autos valores, tem uma infinidade de auto vetores associados. Os auto vetores associados ao 5 são os vetores que formam essa reta. Todos os vetores que formam essa retinha aqui. Aqui estão todos os auto vetores associados ao 5. Assim como nesta reta, estão os autos vetores associados ao -1. E esse dois espaços são os auto espaços associados a cada um dos auto valores. Lembrando que qualquer auto vetor desse auto espaço, dessa reta, a gente sabe que o resultado dele quando aplicado à transformação é simplesmente multiplicá-lo por 5. E qualquer vetor dessa reta, quando a gente aplica a transformação é a mesma coisa que multiplicá-lo por -1. A gente sabe, agora, o que são autos valores, auto vetores e auto espaços. Mais importante ainda, a gente sabe como encontrá-los. Ok, pessoal? Espero que vocês tenham gostado do vídeo. E até a próxima! Tchau, tchau!