Regra de L'Hôpital: encontrar o valor da variável

RKA1JV - Temos um problema, um exercício interessante aqui. Encontre "a" tal que o limite de "x" se aproxime de zero da raiz quadrada de 4 mais "x", menos a raiz quadrada de 4, menos "a" vezes "x". Tudo sobre "x", é igual a 3/4. Como sempre, te encorajo a pausar o vídeo e tentar resolver isso sozinho. Assumindo que você tentou resolver, vamos fazer juntos. Quando você tenta superficialmente calcular esse limite aqui se aproxima de zero. Se você está apenas tentando calcular esse "x" igual a zero, você vai encontrar, vamos calcular o limite aqui. Quando "x" se aproxima de zero da raiz quadrada de 4 mais "x", menos a raiz quadrada de 4, menos "ax", tudo sobre "x". Isso aqui vai ser a raiz quadrada principal de 4, porque 4 mais zero é 4. Isso bem aqui será a raiz especial de 4, porque não importa o que ela é. "a" vezes zero será zero, então, você terá 4 menos zero, que é a raiz quadrada principal de 4. Você terá 2, isso tudo será 2. Se você apenas substituir esse "x" ali, isso tudo seria 2. Isso tudo bem aqui também seria 2. Você terá 2 menos 2 e como "x" se aproxima de zero, isso será zero. Está parecendo que vamos ter uma forma indeterminada. Você terá algo assim. Você começa a pensar que a regra de L'Hôpital talvez se aplique. Se eu tenho zero sobre zero, ou infinito sobre infinito, o limite será a mesma coisa que o limite se aproximando de zero. Isso será a mesma coisa que o limite de "x" se aproximando de zero da derivada do numerador sobre a derivada do denominador. E qual é derivada do numerador? Vou calcular a derivada do denominador primeiro, porque é derivada de "x", vou fazer de outra cor, a derivada de "x" em relação a "x" será 1. Achei a derivada dessa parte aqui, é a derivada em relação a "x", isso é 4 mais "x" elevado a 1/2. A derivada dessa parte será, então, a derivada dessa parte será 1/2 vezes 4, mais "x" elevado a -1/2. A derivada dessa parte aqui, vamos ver. A regra da cadeia foi usada e como a derivada 4 mais "x" é apenas 1, multiplicamos isso por 1. Mas aqui, a regra da cadeia, a derivada de 4 menos "ax" em relação a "x" é "-a". Multiplicando isso, teremos esse sinal negativo na frente. Será "+a", mais "a" vezes 1/2, vezes 4, menos "ax" elevado -1/2. Eu só usei potenciação e regra da cadeia para encontrar esta derivada aqui. O que isso será? Isso será igual, vai ser igual a algo sobre 1. Temos aqui, com "x" se aproximando de zero, essa parte aqui 4 mais zero é igual a 4, elevado a -1/2, isso será apenas 1/2 e 4 elevado a 1/2 é 2. 4 elevado a -1/2 é 1/2. E quando "x" se aproxima de zero, isso será 4 elevado a -1/2. O que, de novo, é igual a 1/2. Simplificando isso, o que achamos? Temos 1/2 vezes 1/2, que é igual a 1/4, que é isso aqui. E ainda temos "a" vezes 1/2, vezes 1/2, o que será mais "a/4". O que é a mesma coisa que "a + 1" sobre 4. Dizemos que isso precisa ser igual a 3/4, isso precisa ser igual a 3/4. Esse foi nosso problema original. Isso precisa ser igual a 3/4. Agora é bem simples encontrar o que precisamos. "a + 1" tem que ser igual a 3, então, "a" é igual a 2, e terminamos.