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Curso: Cálculo multivariável > Unidade 2

Lição 11: Divergência e rotacional (artigos)

Rotacional, rotação do fluido em três dimensões

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O rotacional é um operador que mede a rotação em um escoamento de fluido indicada por um campo vetorial tridimensional.

Conhecimentos prévios

Observação: nesse artigo usaremos a seguinte convenção:

$\hat{i}$ ‍ representa o vetor unitário na direção $x$ ‍.
$\hat{j}$ ‍ representa o vetor unitário na direção $y$ ‍.
$\hat{k}$ ‍ representa o vetor unitário na direção $z$ ‍.

O que estamos construindo

Rotacional é um operador que, a partir de uma função que representa um campo vetorial tridimensional, gera uma nova função que representa um campo vetorial tridimensional diferente.
Se um fluido escoa pelo espaço tridimensional ao longo de um campo vetorial, a rotação do fluido em cada ponto, representada por um vetor, é dada pelo rotacional do campo vetorial original calculado naquele ponto. O campo vetorial rotacional deve ter sua magnitude reduzida à metade se quisermos que as magnitudes dos vetores do rotacional sejam iguais à velocidade de rotação do fluido.
Se uma função vetorial tridimensional $\vec{v} (x, y, z)$ ‍ tem como funções componentes $v_{1} (x, y, z)$ ‍, $v_{2} (x, y, z)$ ‍ e $v_{3} (x, y, z)$ ‍, o rotacional é calculado da seguinte forma:
$\underset{Notação do rotacional}{\underset{⏟}{\nabla \times \vec{v}}} = (\frac{\partial v_{3}}{\partial y} - \frac{\partial v_{2}}{\partial z}) \hat{i} + (\frac{\partial v_{1}}{\partial z} - \frac{\partial v_{3}}{\partial x}) \hat{j} + (\frac{\partial v_{2}}{\partial x} - \frac{\partial v_{1}}{\partial y}) \hat{k}$ ‍

Descrição de uma rotação com um vetor

Se um objeto gira em duas dimensões, você pode descrever completamente a rotação com uma constante: a velocidade angular. Velocidades angulares positivas indicam rotação no sentido anti-horário enquanto valores negativos indicam rotação no sentido horário. O valor absoluto da velocidade angular indica a velocidade de rotação, geralmente dada em radianos por segundo.

Para um objeto que gira em três dimensões, a coisa é um pouco mais complicada. Precisamos representar tanto a velocidade angular quanto a direção de rotação do objeto no espaço tridimensional.

Para fazer isso, a rotação em três dimensões é tipicamente representada por um único vetor. A magnitude do vetor indica a velocidade angular, e a direção do vetor é determinada por uma convenção super importante, chamada de "regra da mão direita".

REGRA DA MÃO DIREITA: curve os dedos da sua mão direita na direção da rotação e mantenha o polegar esticado. O vetor que representa essa rotação tridimensional é, por definição, orientado na direção do seu polegar.

O seu polegar deve apontar o eixo de rotação. Ao adotar essa convenção e usar a mão direita ao invés da esquerda, diferenciamos uma certa rotação tridimensional da sua inversa em sentido oposto. Basicamente, estendemos a noção de sentidos horário e anti-horário ao espaço tridimensional.

Por exemplo, a rotação da Terra no espaço seria descrita usando um vetor que aponta do centro da Terra em direção ao polo norte e cuja magnitude é igual à velocidade angular de rotação da Terra (que por sinal é de

0,000 0729

radianos/segundo).

Revisão da rotação bidirecional de um fluido

No artigo conhecendo o rotacional, apresentei como um fluido escoa segundo um campo vetorial bidimensional definido pela função

\begin{aligned} \vec{v} (x, y) & = [\begin{array}{c} y^{3} - 9 y \\ x^{3} - 9 x \end{array}] \\ = (y^{3} - 9 y) \hat{i} + (x^{3} - 9 x) \hat{j} \end{aligned}

A animação abaixo mostra uma simulação disso, onde as partículas de fluido (pontos azuis) sempre se movem na direção do vetor mais próximo a elas. Para os objetivos do estudo do rotacional, repare no que acontece dentro e em torno das regiões circuladas.

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O fluido gira no sentido anti-horário nos círculos da direita e da esquerda, e no sentido horário nos círculos de cima e de baixo. No estudo do rotacional, a pergunta chave é: quanto o fluido gira em torno de cada ponto específico $(x_{0}, y_{0})$ ‍ no plano?

No último artigo, dei uma ideia intuitiva de que a resposta para essa pergunta é o que podemos chamar de rotacional bidimensional de

\vec{v}

, que tem a seguinte fórmula:

\begin{array}{r} rotacional bidirecional \vec{v} (x_{0}, y_{0}) = \frac{\partial v_{2}}{\partial x} (x_{0}, y_{0}) - \frac{\partial v_{1}}{\partial y} (x_{0}, y_{0}) \end{array}

Aqui,

v_{1}

v_{2}

são os componentes da função vetorial

\vec{v}

. Por exemplo, para o campo vetorial específico dado acima, definido por

(y^{3} - 9 y) \hat{i} + (x^{3} - 9 x) \hat{j}

, a resposta seria

\begin{aligned} \frac{\partial (x^{3} - 9 x)}{\partial x} - \frac{\partial (y^{3} - 9 y)}{\partial y} & = 3 x^{2} - 9 - (3 y^{2} - 9) \\ = 3 x^{2} - 3 y^{2} \end{aligned}

Note que o resultado é uma função escalar. Você escolhe um ponto, como

(2, 1)

, e obtém uma constante que indica a velocidade angular do fluido próximo desse ponto,

3 (2)^{2} - 3 (1)^{2} = 12 - 3 = 9

. Esse valor representa o dobro da velocidade angular do fluido em torno desse ponto, logo a velocidade de rotação é de

4, 5

radianos/segundo (falaremos mais sobre isso depois). O importante é que você obtém um único número escalar para descrever a rotação.

Isso faz sentido, pois a rotação de um objeto em duas dimensões pode ser descrita por uma constante (escalar), logo a rotação em torno de todos os pontos possíveis em um escoamento deve ser descrita por uma função escalar.

Questão para reflexão: na animação do escoamento acima, existe algum componente rotacional do fluido na origem

(0, 0)

Escolha 1 resposta:
(Escolha A)
Sim, no sentido horário
(Escolha B)
Sim, no sentido anti-horário
(Escolha C)
Não

Resolvendo a fórmula $3 x^{2} - 3 y^{2}$ ‍ encontrada acima no ponto $(x, y) = (0, 0)$ ‍, obtemos $3 (0)^{2} - 3 (0)^{2} = 0$ ‍. Isso significa que não há rotação do fluido ao redor desse ponto.
Isso parece ser consistente com a animação acima. Em torno da origem, partículas de fluido chegam das direções diagonais superior direita e inferior esquerda, e vão embora seguindo as direções das diagonais superior esquerda e inferior direita, mas não há nenhuma rotação perceptível na forma como elas fazem isso.

Passando para três dimensões

Em preparação para avançarmos para três dimensões, vamos expressar a rotação do fluido acima usando vetores. Concentre-se em uma região de rotação anti-horária, como o círculo mais à direita na animação acima. Imagine colocar os dedos da sua mão direita em volta desse círculo, de forma que eles apontem na direção das setas (no sentido anti-horário nesse caso) e estique o polegar. O polegar deve apontar para fora da página, na direção positiva de

z

, paralela ao vetor unitário

\hat{k}

Se fizermos isso para cada ponto, atribuindo um vetor para a rotação em torno de cada ponto no plano

x y

de acordo com a fórmula

rotacional bidimensional \vec{v} (x, y) = 3 x^{2} - 3 y^{2}

, obteríamos algo assim:

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Vetores apontando na direção positiva do eixo

z

indicam rotação no sentido anti-horário próxima a esse ponto, e vetores apontando no sentido oposto indicam rotação no sentido horário, quando vistos de cima do plano

x y

. A magnitude de cada vetor indica a velocidade de rotação. Poderíamos descrever esse sistema de vetores com a expressão

$(3 x^{2} - 3 y^{2}) \hat{k}$ ‍

Esse é quase um campo vetorial tridimensional, exceto que estamos olhando para os pontos no plano

x y

e não em todo o espaço. O rotacional propriamente dito só se aplica a campos vetoriais tridimensionais, então, para nos prepararmos para o conteúdo mais abaixo, vamos transformá-lo em um exemplo realmente tridimensional. Para começar, vamos estender a nossa função vetorial

\vec{v}

a uma função tridimensional similar

{\vec{v}}_{3 d}

\begin{array}{r} {\vec{v}}_{3 d} (x, y, z) = [\begin{array}{c} y^{3} - 9 y \\ x^{3} - 9 x \\ 0 \end{array}] = (y^{3} - 9 y) \hat{i} + (x^{3} - 9 x) \hat{j} + (0) \hat{k} \end{array}

Para um campo vetorial tridimensional, esse aqui parece muito plano, não é? O componente

\hat{k}

é igual a

0

em todos os pontos, e nenhum componente depende do valor da variável

z

. Nós apenas copiamos o campo vetorial bidimensional original para cada fatia do espaço tridimensional paralelo ao plano

x y

O próximo vídeo mostra a aparência do campo vetorial

{\vec{v}}_{3 d}

, onde mantemos o plano

x y

(em cinza) e os círculos vermelhos como pontos de referência. Note que em cada camada paralela ao plano

x y

, os vetores são idênticos aos vetores originais que tínhamos no plano

x y

do nosso campo vetorial puramente bidimensional

\vec{v}

da seção anterior.

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Novamente, imagine esse campo vetorial representando o escoamento de um fluido, como o ar em uma sala ou a água em uma piscina. Quando representamos a rotação desse fluido em torno de cada ponto com um vetor ligado a esse ponto, temos um novo campo vetorial, como mostrado no próximo vídeo:

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Isso é dado pela função vetorial

$\vec{w} (x, y, z) = (0) \hat{i} + (0) \hat{j} + (3 x^{2} - 3 y^{2}) \hat{k}$ ‍

Essa é a mesma fórmula que tínhamos antes,

(3 x^{2} - 3 y^{2}) \hat{k}

, porém o importante é que agora ela se aplica a todos os pontos

(x, y, z)

do espaço, e não apenas aos pontos

(x, y)

do plano

x y

O fato de a variável $z$ ‍ não influenciar o resultado reflete o fato de o movimento do fluido ser igual em todas as camadas de espaço paralelas ao plano $x y$ ‍.
O fato de os componentes $\hat{i}$ ‍ e $\hat{j}$ ‍ serem iguais a $0$ ‍ significa que todos os vetores rotação apontam apenas na direção $z$ ‍, o que implica que toda rotação do fluido é paralela ao plano $x y$ ‍.

Esse novo campo vetorial

\vec{w}

(azul) é chamado de "rotacional" do campo vetorial inicial

{\vec{v}}_{3 d}

(verde). Você poderá encontrar isso escrito como

\begin{array}{r} \vec{w} = rot {\vec{v}}_{3 d} \end{array}

Esse é o nosso primeiro exemplo genuíno de rotacional tridimensional: o rotacional, sendo um operador matemático, toma uma função vetorial tridimensional ${\vec{v}}_{3 d}$ ‍, que pode ser entendida como uma representação do escoamento de um fluido, e gera outra função vetorial tridimensional " $rotacional {\vec{v}}_{3 d}$ ‍", que representa a rotação próxima a cada ponto desse fluido.

Visualizando a rotação de um fluido em três dimensões

Em um escoamento tridimensional genérico, a rotação pode não ser sempre paralela ao plano

x y

. Assim, pode ser difícil enxergar o que está acontecendo. Muito difícil.

Por exemplo, imagine que o ar ao seu redor está se movendo e girando caoticamente. Agora, escolha um ponto específico

(x_{0}, y_{0}, z_{0})

no espaço. O que você acha que "rotação do ar próximo a esse ponto" significa?

Aqui temos algumas táticas:

Imagine que há uma bola de tênis pequena cujo centro está fixo no ponto $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ ‍, mas que está livre para girar. Talvez você tenha inventado mágica para mantê-la em posição, ou então tem algum tipo de dispositivo engenhoso de suspensão magnética. O ar se movendo em torno dela pode fazer com que ela gire de uma maneira ou de outra. O vetor rotacional ligado a esse ponto será o vetor que descreve a rotação dessa pequena bola de tênis, da mesma forma que nós descrevemos a rotação da terra acima usando um único vetor.

Alternativamente, imagine uma flecha com penas bonitas e grossas. Do tipo que o Robin Hood atiraria. Coloque a flecha parada no ar, de modo que as penas estejam no ponto $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ ‍. Novamente, você fez mágica e encontrou uma forma de fixar a base da flecha nesse ponto, mas você está livre para orientar a flecha em qualquer direção que desejar, e ela gira livremente, com base na maneira como o vento sopra as suas penas.

Se você experimentar diversas orientações da flecha e encontrar a direção em que as correntes de ar fazem a flecha girar mais rápido, essa será a direção do vetor rotacional no ponto

(x_{0}, y_{0}, z_{0})

Isso é parecido com como o gradiente aponta na "direção maior subida". O rotacional aponta na "direção de maior rotação".

O rotacional é uma operação de limite

Tecnicamente, todas as descrições acima descrevem o escoamento de um fluido em uma região: as regiões circulares da animação, a região ocupada pela pequena bola de tênis, a região das penas da flecha, etc. Nada disso é literalmente a rotação em apenas um ponto.

De fato, a ideia de "rotação em um ponto" é meio ridícula, não é? Só faz algum sentido falar de rotação de um fluido em torno de um ponto. Mesmo assim, o rotacional de um campo vetorial, como um operador matemático, recebe como entrada apenas um ponto, e não uma região, então o que isso realmente significa?

Assim como todos os operadores diferenciais, a definição formal de rotacional envolve um processo de limite. Você pode pensar nisso como calcular o limite da rotação em regiões cada vez menores em torno de um dado ponto. Por exemplo, imagine que a bola de tênis acima está encolhendo. Se você quiser uma definição formal, eu escrevi sobre a definição formal do rotacional mais à frente, depois que tivermos tratado de integrais de linha.

Apenas tenha em mente que todas as descrições usando animações, imagens de pequenas bolas que giram, ou qualquer coisa do tipo, são necessariamente aproximações do que o rotacional real está medindo.

Notação e fórmula para o rotacional

Vamos escrever

\vec{v}

como uma função vetorial genérica, com três variáveis de entrada

(x, y, z)

e uma saída com três coordenadas. Vamos escrever essa saída com três coordenadas em termos de três funções escalares:

v_{1} (x, y, z)

v_{2} (x, y, z)

, e

v_{3} (x, y, z)

\begin{aligned} \vec{v} (x, y, z) & = [\begin{array}{c} v_{1} (x, y, z) \\ v_{2} (x, y, z) \\ v_{3} (x, y, z) \end{array}] \\ = v_{1} (x, y, z) \hat{i} + v_{2} (x, y, z) \hat{j} + v_{3} (x, y, z) \hat{k} \end{aligned}

A notação do rotacional usa o mesmo símbolo "

\nabla

" usado nas expressões para o gradiente e o divergente, e mais uma vez pensamos nele como a representação de um vetor de operadores derivada parcial:

\begin{array}{r} \nabla = [\begin{array}{c} \frac{\partial}{\partial x} \\ \frac{\partial}{\partial y} \\ \frac{\partial}{\partial z} \end{array}] \end{array}

O rotacional é considerado o produto vetorial entre esse "vetor" e a função

\vec{v}

, e é calculado usando o determinante, como de costume:

\begin{aligned} rot \vec{v} & = \nabla \times \vec{v} \\ = [\begin{array}{c} \frac{\partial}{\partial x} \\ \frac{\partial}{\partial y} \\ \frac{\partial}{\partial z} \end{array}] \times [\begin{array}{c} v_{1} (x, y, z) \\ v_{2} (x, y, z) \\ v_{3} (x, y, z) \end{array}] \\ = det ([\begin{array}{ccc} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ v_{1} & v_{2} & v_{3} \end{array}]) \\ = (\frac{\partial v_{3}}{\partial y} - \frac{\partial v_{2}}{\partial z}) \hat{i} + (\frac{\partial v_{1}}{\partial z} - \frac{\partial v_{3}}{\partial x}) \hat{j} + (\frac{\partial v_{2}}{\partial x} - \frac{\partial v_{1}}{\partial y}) \hat{k} \end{aligned}

Eu sei o que você está pensando: "Esse é o determinante mais esquisito que eu já vi na vida. Os elementos nem são números! Uma linha tem vetores, outra tem operadores e a última tem funções. Dá mesmo pra fazer isso?" É um pouco estranho, com certeza, mas funciona, no mínimo, como um truque notacional.

Quando você "multiplica" um operador como

\frac{\partial}{\partial x}

por uma função como

v_{2}

, você não está multiplicando de verdade, mas aplicando o operador para obter uma nova função,

\frac{\partial v_{2}}{\partial x}

. Da mesma forma, multiplicar um vetor como

\hat{k}

por uma função como

\frac{\partial v_{2}}{\partial x}

nos dá a função vetorial

\frac{\partial v_{2}}{\partial x} \hat{k}

A expressão final do determinante é a soma de

6

funções vetoriais como essa.

Intuição para a fórmula

Vamos dar uma olhada de perto nesse resultado final:

\begin{array}{r} Rot \vec{v} = (\frac{\partial v_{3}}{\partial y} - \frac{\partial v_{2}}{\partial z}) \hat{i} + (\frac{\partial v_{1}}{\partial z} - \frac{\partial v_{3}}{\partial x}) \hat{j} + (\frac{\partial v_{2}}{\partial x} - \frac{\partial v_{1}}{\partial y}) \hat{k} \end{array}

Note que cada componente é como sua própria versão do operador

rotacional bidimensional

que encontramos no artigo introdução ao rotacional. De fato, o componente

\vec{k}

tem exatamente a mesma fórmula que o

rotacional bidimensional

. Isso deve fazer sentido, pois o componente

\vec{k}

do rotacional deve medir o componente de rotação do fluido paralelo ao plano

x y

Da mesma forma, os componentes

\hat{i}

\hat{j}

medem os componentes da rotação do fluido paralelos aos planos

y z

x z

, respectivamente.

\begin{array}{r} (\frac{\partial v_{3}}{\partial y} - \frac{\partial v_{2}}{\partial z}) \hat{i} \leftarrow Componente do rotacional paralelo ao plano y z \\ (\frac{\partial v_{1}}{\partial z} - \frac{\partial v_{3}}{\partial x}) \hat{j} \leftarrow Componente do rotacional paralelo ao plano x z \\ (\frac{\partial v_{2}}{\partial x} - \frac{\partial v_{1}}{\partial y}) \hat{k} \leftarrow Componente do rotacional paralelo ao plano x y \end{array}

Um pequeno detalhe que devo mencionar é que quando você calcula o rotacional em um ponto para obter um vetor (considerado um vetor de rotação), a magnitude desse vetor não é igual à velocidade angular do fluido imaginado próximo a esse ponto. Em vez disso, a magnitude é igual a duas vezes a velocidade angular do fluido.

De forma resumida, isso ocorre porque há dois termos em cada componente, dos quais se deveria calcular a média, e não a soma.

Vamos dar uma olhada no

rotacional bidirecional

calculado em um ponto

(x_{0}, y_{0})

, já que todos os componentes do rotacional estão nessa forma.

\begin{array}{r} \frac{\partial v_{2}}{\partial x} (x_{0}, y_{0}) - \frac{\partial v_{1}}{\partial y} (x_{0}, y_{0}) \end{array}

Você deve se lembrar da intuição dessa fórmula, dada no artigo sobre rotacionais bidirecionais:

O termo $\frac{\partial v_{2}}{\partial x} (x_{0}, y_{0})$ ‍ nos dá a velocidade angular das partículas à esquerda e à direita de $(x_{0}, y_{0})$ ‍.
O termo $- \frac{\partial v_{1}}{\partial y} (x_{0}, y_{0})$ ‍ nos dá a velocidade angular das partículas acima e abaixo de $(x_{0}, y_{0})$ ‍.

O significado real de "rotação total em torno de

(x_{0}, y_{0})

" nada mais é do que a velocidade angular média de todas as partículas em torno de

(x_{0}, y_{0})

, o que quer dizer que nós devemos, na verdade, calcular a média das influências dessas duas direções no lugar de somá-las.

Por exemplo, pense em uma roda girando a

3

radianos por segundo. Os pontos nos lados direito e esquerdo do aro da roda poderiam ser descritos como tendo velocidades angulares de

3

radianos por segundo cada, em relação ao centro da roda. Da mesma forma, os pontos na parte de cima e na parte de baixo do aro da roda têm velocidades angulares de

3

radianos por segundo, em relação ao centro da roda. Isto não significa, no entanto, que a rotação total da roda irá, repentinamente, ser de

6

radianos por segundo. A rotação total continuará sendo

3

radianos por segundo.

Fluidos em rotação são um pouco mais inconsistentes que uma roda rígida, então, pode ser que as velocidades angulares de partículas acima e abaixo de um ponto

(x_{0}, y_{0})

não sejam iguais às velocidades angulares de partículas à esquerda e à direita de

(x_{0}, y_{0})

. Ainda assim, somar as duas velocidades não é a maneira correta de medir a velocidade da "rotação total", devemos calcular a média.

Exemplo: encontrar a rotação em um campo vetorial tridimensional usando o rotacional

Problema: suponha que um determinado fluido escoe em três dimensões de acordo com o campo vetorial a seguir

$\vec{v} (x, y, z) = (x^{3} + y^{2} + z) \hat{i} + (z e^{x}) \hat{j} + (x y z - 9 x z) \hat{k}$ ‍

Descreva a rotação do fluido próximo do ponto

(0, 1, 2)

Etapa 1: calcule o rotacional (você talvez precise de papel para isso)

$\nabla \times \vec{v} =$ ‍
$\hat{i} +$ ‍
$\hat{j} +$ ‍
$\hat{k}$ ‍

Primeiro, devemos calcular o rotacional dessa função. É difícil lembrar de cabeça a fórmula final do rotacional. É mais fácil lembrar que o rotacional é $\nabla \times \vec{v}$ ‍, e escrever o produto vetorial completo, com determinante e tudo mais, quando for necessário calcular o rotacional:
$\begin{aligned} \nabla \times \vec{v} & = [\begin{array}{c} \frac{\partial}{\partial x} \\ \frac{\partial}{\partial y} \\ \frac{\partial}{\partial z} \end{array}] \times [\begin{array}{c} x^{3} + y^{2} + z \\ z e^{x} \\ x y z - 9 x z \end{array}] \\ = det ([\begin{array}{ccc} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ x^{3} + y^{2} + z & z e^{x} & x y z - 9 x z \end{array}]) \end{aligned}$ ‍
Vamos examinar esse determinante, um componente de cada vez. O componente $\hat{i}$ ‍ é
$\begin{aligned} \hat{i} det ([\begin{array}{cc} \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ z e^{x} & x y z - 9 x z \end{array}]) & = (\frac{\partial}{\partial y} (x y z - 9 x z) - \frac{\partial}{\partial z} (z e^{x})) \hat{i} \\ = (x z - 0 - e^{x}) \hat{i} \\ = (x z - e^{x}) \hat{i} \end{aligned}$ ‍
O componente $\hat{j}$ ‍ é
$\begin{aligned} - \hat{j} det ([\begin{array}{cc} \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial z} \\ x^{3} + y^{2} + z & x y z - 9 x z \end{array}]) & = - (\frac{\partial}{\partial x} (x y z - 9 x z) - \frac{\partial}{\partial z} (x^{3} + y^{2} + z)) \hat{j} \\ = (- (y z - 9 z) + 0 + 0 + 1) \hat{j} \\ = (1 - y z + 9 z) \hat{j} \end{aligned}$ ‍
E o componente $\hat{k}$ ‍ é
$\begin{aligned} \hat{k} det ([\begin{array}{cc} \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} \\ x^{3} + y^{2} + z & z e^{x} \end{array}]) & = (\frac{\partial}{\partial x} (z e^{x}) - \frac{\partial}{\partial y} (x^{3} + y^{2} + z)) \hat{k} \\ = (z e^{x} - (0 + 2 y + 0)) \hat{k} \\ = (z e^{x} - 2 y) \hat{k} \end{aligned}$ ‍
Colocando tudo junto, o rotacional é
$\begin{aligned} \nabla \times \vec{v} & = (x z - e^{x}) \hat{i} + (1 - y z + 9 z) \hat{j} + (z e^{x} - 2 y) \hat{k} \end{aligned}$ ‍

Etapa 2: substitua

(0, 1, 2)

na expressão encontrada.

$\nabla \times \vec{v} (0, 1, 2) =$ ‍
$\hat{i} +$ ‍
$\hat{j} +$ ‍
$\hat{k}$ ‍

Etapa 3: interprete

Próximo ao ponto $(0, 1, 2)$ ‍, a rotação do fluido é cerca de
radianos por segundo, com rotação aproximadamente paralela ao

Da questão anterior, a rotação do fluido próximo ao ponto $(0, 1, 2)$ ‍ é em torno do eixo $- \hat{i} + 17 \hat{j}$ ‍. Como a velocidade angular é dada por metade da magnitude do rotacional, a velocidade angular do fluido próximo ao ponto $(0, 1, 2)$ ‍ é igual a
$\frac{1}{2} \sqrt{1^{2} + 17^{2}} \approx 8, 51$ ‍ radianos/segundo.
Como esse vetor aponta predominantemente na direção $\hat{j}$ ‍, a rotação do fluido próximo ao ponto é quase totalmente paralela ao plano $x z$ ‍.

Resumo

O rotacional é um operador que, a partir de uma função que representa um campo vetorial tridimensional, gera uma nova função que representa um campo vetorial tridimensional diferente.
Se um fluido escoa pelo espaço tridimensional ao longo de um campo vetorial, a rotação do fluido em cada ponto, representada por um vetor, é dada pelo rotacional do campo vetorial original calculado naquele ponto. O campo vetorial rotacional deve ter sua magnitude reduzida à metade se quisermos que as magnitudes dos vetores do rotacional sejam iguais à velocidade de rotação do fluido.
Se uma função vetorial tridimensional $\vec{v} (x, y, z)$ ‍ tem como funções componentes $v_{1} (x, y, z)$ ‍, $v_{2} (x, y, z)$ ‍ e $v_{3} (x, y, z)$ ‍, o rotacional é calculado da seguinte forma:
$\begin{array}{r} \nabla \times \vec{v} = (\frac{\partial v_{3}}{\partial y} - \frac{\partial v_{2}}{\partial z}) \hat{i} + (\frac{\partial v_{1}}{\partial z} - \frac{\partial v_{3}}{\partial x}) \hat{j} + (\frac{\partial v_{2}}{\partial x} - \frac{\partial v_{1}}{\partial y}) \hat{k} \end{array}$ ‍

Só por diversão

Aqui está uma animação do escoamento de fluido que mostrei bem no começo do artigo, mas agora cada ponto é tratado de forma mais precisa como uma gota d'água, flexionando e torcendo com base em quanto o campo vetorial puxa cada partícula individual da gota. Também foram removidos os vetores do campo vetorial para que seja mais fácil ver como o fluido se move. Espero que isso dê uma ideia do quão complexa e também bela pode ser a concepção de campos vetoriais usando escoamentos de fluidos.

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