Coeficiente angular de uma reta secante à curva

RKA3JV - E aí, pessoal! Tudo bem? Nesta aula, nós vamos rever a ideia de coeficiente angular que você deve lembrar das aulas de álgebra. Ou seja, vamos rever a ideia de inclinação de uma reta. E essa inclinação nada mais é do que a taxa de variação de uma reta ou a variação de "y" em função de "x" conforme caminhamos ao longo da reta. Ou seja, é a inclinação de uma reta. E quanto mais inclinada a reta for, mais positivo vai ser o seu coeficiente angular. Então, esta reta tem coeficiente angular positivo, ou seja, está crescendo conforme o "x" cresce. E se a inclinação for ainda maior, significa que ela cresce mais ainda conforme o "x" cresce. Ou seja, a reta teria um coeficiente angular maior. E como podemos calcular a inclinação desta reta dado dois pontos? Ou seja, como podemos calcular a taxa de variação de "y" em função de "x"? Simples, eu vou colocar dois pontos sobre esta reta aqui. O primeiro deles vai ser o ponto que tem as coordenadas (x, 0). E o seu correspondente (y, 0). Portanto, este é o ponto (x₀, y₀). E o segundo ponto está aqui, que tem as coordenadas (x₁, y₁). Ou seja, é o ponto (x₁, y₁). E a inclinação da reta que nós podemos chamar por "m", é a taxa de variação de "y" em função de "x", ou uma outra maneira de pensar é a variação de "y" dividido pela variação de "x". Relembrando, este triângulo é uma letra grega delta (Δ) que representa a variação. Então, uma variação em "y", dividido pela variação de "x". E vamos ver como aplicar isso aqui. Vamos pensar na variação de "x" primeiro. Estamos variando de x₀ para x₁. Então, esta aqui vai ser a variação em "x". Ou seja, esta aqui é a nossa variação em "x". Eu posso colocar aqui na mesma cor. E como podemos representá-la? Simples, se queremos conhecer esta distância, nós pegamos o x₁ e subtraímos o x₀ . Então, Δx vai ser igual a x₁ - x₀. Claro, eu estou assumindo que x₁ é maior do que x₀. E qual vai ser a variação em "y"? A mesma coisa. O "y" final menos o "y" inicial. Ou seja, y₁ - y₀. E você pode até se perguntar, será que eu não poderia fazer y₀ - y₁ / x₀ - x₁? Poderia, mas a resposta seria absolutamente a mesma. A diferença é que tanto aqui quanto aqui, dariam resultados negativos. E a resposta daria positiva. O importante é ser consistente. Se você está subtraindo o valor final menos o valor inicial aqui, no denominador você tem que seguir a mesma lógica. Mas, enfim, isto aqui provavelmente vocês devem se lembrar das aulas de álgebra, que nada mais é do que a definição de inclinação, que é a taxa de variação de "y" em relação a "x". Ou seja, é a taxa de variação do nosso eixo vertical em relação ao nosso eixo horizontal. Mas agora eu vou mostrar uma coisa bem interessante. Deixe-me colocar outro plano cartesiano aqui. E aqui nós tínhamos uma reta. E uma reta tem inclinação constante por definição. Ou seja, se você calcular a inclinação entre quaisquer dois pontos, ela será constante para aquela reta. Mas o que acontece quando começamos a lidar com curvas? Ou seja, quando começamos a lidar com curvas não lineares. Digamos que nós temos uma curva assim. Qual é a taxa de variação de "y" em relação a "x" desta curva? Vamos de pensar nisso utilizando dois pontos. Vamos dizer que nós temos um ponto aqui, que é o ponto (x₁, y₁). E vamos dizer que nós temos outro ponto aqui que vai ser o ponto (x₂, y₂). Neste momento, nós ainda não conhecemos as ferramentas necessárias para calcular a taxa de variação de "y" em relação a "x" neste ponto. E isso é uma coisa que o cálculo vai te ajudar mais à frente. Mas utilizando álgebra, nós podemos pensar pelo menos sobre qual é a taxa média de variação durante este intervalo. E qual é a taxa média de variação? E como podemos calcular? Simples, vai ser o quanto "y" variou. Ou seja, a variação em "y" que podemos chamar de Δy. E para essa variação em "x" e que podemos chamar de Δx. E podemos calcular isso do mesmo jeito. Ou seja, a nossa variação em "y", que vai ser y₂ - y₁ dividido pela variação em "x", que é x₂ - x₁. Deste jeito, nós podemos calcular a variação entre estes dois pontos. E outra maneira de pensar nisso é que esta é a taxa de variação média para a curva entre x₁ e x₂ . Ou seja, esta é a taxa de variação média de "y" em relação a "x" neste intervalo. Mas o que vamos descobrir com isso? Simples, vamos descobrir a inclinação da reta que conecta estes dois pontos. Ou seja, a inclinação desta reta que conecta estes dois pontos. E como chamamos uma reta que toca dois pontos? Chamamos de reta secante. Então, esta é a reta secante. O interessante aqui é que estamos estendendo a ideia de inclinação. Ou seja, nós já sabemos como encontrar a inclinação de uma reta que passa por dois pontos. Mas para curvas, nós ainda não temos ferramentas. O cálculo vai nos dar isso, mas por ora podemos utilizar as nossas ferramentas algébricas. E isso ajuda a descobrir a taxa de variação média entre dois pontos em uma curva. E para descobrir isso, nós utilizamos a reta secante. Isso é mesma coisa que descobrir a inclinação da reta secante. Eu só vou antecipar um pouco aqui. Aonde isto está nos levando? Quais ferramentas vamos utilizar para descobrir a taxa de variação instantânea? Ou seja, não apenas a média, mas o que acontece quando este ponto está ficando mais próximo, mais próximo e mais próximo deste ponto? Ou seja, a inclinação da reta secante está se aproximando cada vez mais da taxa instantânea de variação. Mas eu vou falar com calma disso nos próximos vídeos. Eu espero que esta aula tenha lhes ajudado. E até a próxima, pessoal!