Demonstrações que envolvem triângulos isósceles

RKA - Estamos começando com o triângulo ABC. Quando vemos o triângulo que desenhamos, já sabemos que o comprimento de AB é igual a AC. Ou o segmento de reta AB é congruente ao segmento de reta AC. E, uma vez que esse é um triângulo e dois lados desse triângulo são congruentes ou possuem comprimentos iguais, podemos dizer que esse é um triângulo isósceles. Triângulo isósceles. É uma palavra difícil para escrever, mas, não é que acertei? Isso significa que dois lados têm medidas iguais. O que eu quero fazer neste vídeo, o que eu quero provar aqui é que esses dois, e às vezes os ângulos da base, esses ângulos que estão entre um dos lados, e o lado não é necessariamente igual ao outro. E o outro lado é igual, esse lado não é igual, eu quero mostrar que eles são congruentes, quero provar que o ângulo ABC é congruente ao ângulo ACB, ângulo ACB. E para um triângulo isósceles, aqueles dois ângulos são chamados de ângulos de base e esse pode ser chamado de ângulo do vértice. E essas são as pernas de um triângulo isósceles. Aqui embaixo não é necessariamente o mesmo dos outros dois que você chamaria de base. Vamos, então, ver se conseguimos provar isso. Não há muita informação aqui, só esses dois lados iguais. Mas, não temos que ligar muito para o fato de que sabemos a congruência de um triângulo. Talvez a gente possa construir esses dois triângulos congruentes, podemos usar essa informação para descobrir que esse ângulo é congruente àquele ângulo. E o primeiro passo é usar a congruência de triângulos para construir dois triângulos. Para construir dois triângulos, prepare outro ponto aqui, vamos colocar o ponto "D" aqui e vamos dizer que "D" é o ponto médio do segmento de reta BC. Então, é o ponto médio. A distância de "B" para a "D" vai ser a mesma coisa que a distância, deixa eu fazer as duas barras aqui para mostrar que não é a mesma distância, a distância de "B" para "D" vai ser a mesma distância de "D" para "C" e, obviamente, entre dois pontos você tem um ponto médio. Deixa eu desenhar o segmento AD. E o que é útil nisso é que já construímos dois triângulos. E o mais legal é que o triângulo ABD e o triângulo ACD têm esses lados congruentes. Esses lados são congruentes e dividem esse lado aqui. Na verdade, dividem aquele lado. Então, a gente sabe que o triângulo ABD, triângulo ABD, é congruente ao triângulo ACD, triângulo ACD. Sabemos disso por causa do LLL, lado-lado-lado, porque são dois triângulos, eles têm três lados que são congruentes ou têm o mesmo comprimento dos dois triângulos que são congruentes. O que é útil nessa informação é que, se esses dois triângulos são congruentes, seus ângulos correspondentes são congruentes. Na verdade, provamos nosso resultado porque o ângulo correspondente a ABC nesse triângulo, o ângulo correspondente a esse é esse ângulo ACD no triângulo aqui. Agora, sabemos que o ângulo ABC, é congruente ao ângulo ACB. Então, é um bom resultado. Se tivermos um triângulo isósceles onde dois lados são congruentes, a base de seus ângulos, a base dos ângulos também vão ser congruentes. Vamos pensar de outra forma. Podemos fazer a outra afirmação. Se a base dos ângulos são congruentes, os ângulos da base também serão congruentes. Vamos pensar de outra forma. Podemos fazer outra afirmação. Se os ângulos da base são congruentes, sabemos que esses dois lados serão congruentes. Vamos tentar construir um outro triângulo e ver se a gente consegue provar o contrário. Vou desenhar outro triângulo aqui. Não é um triângulo tão bonito. Deixa eu desenhar um mais legal, quero desenhar assim, em uma cor diferente, vou chamar esse de "A", esse de "B" e vou chamar esse de "C". Vamos começar com a ideia de que esse ângulo, o ângulo ABC é congruente ao ângulo ACB, eles têm exatamente a mesma medida. O que queremos fazer, nesse caso, é provar. Eu desenho uma reta aqui para mostrar que estamos fazendo de um modo diferente. Aqui estamos dizendo que se esses dois lados são os mesmos, os ângulos da base vão ser os mesmos. Vamos provar isso. Vamos fazer de outra forma. Se os ângulos são os mesmos, sabemos que os dois lados são os mesmos. Queremos provar que o segmento AB é congruente ao segmento de AC, ou AC é congruente ao segmento AB. Ou você poderia dizer que o comprimento de AC é igual ao comprimento do segmento AB. Essencialmente, são afirmações equivalentes. Vamos ver. Mais uma vez, temos ângulos congruentes. Mas, para aplicar o que nós realmente queremos, precisamos ter dois triângulos. Então, vamos construir dois triângulos aqui. E, desta vez, ao invés de definir o outro ponto como ponto do meio, vou definir "D". Vou definir "D". Dessa vez, como o ponto que vai sair direto de "A". E a razão pela qual sei disso é que tem um ponto que você pode chamar de altitude que intercepta BC, como um ângulo reto, definitivamente, vai ter algum ponto como esse. E, se tem um ângulo reto daquele lado, definitivamente, vai ser de 90°. A gente sabe que esse também é de 90°. O que é interessante sobre isso é, deixa eu escrever. Construí AD como sendo perpendicular, perpendicular a BC. Perpendicular a BC. Você sempre pode construir a altura, só tem que traçar a projeção ortogonal do ponto "A" na base BC até o ponto "D". Você sempre pode fazer isso com um triângulo como esse. Então, o que isso representa? Aqui temos um ângulo, outro ângulo e um lado em comum. E aqui você tem um ângulo que corresponde a esse. A gente sabe que esses triângulos têm o mesmo lado em comum. Sabemos que são congruentes por LAA, lado-ângulo-ângulo, que é um postulado de congruência válido. Então, podemos dizer agora que triângulo ABD, triângulo ABD, é congruente ao triângulo ACD. E sabemos que, por lado-ângulo-ângulo, esse ângulo, esse ângulo e esse lado, esse ângulo, esse ângulo e esse lado. E uma vez que sabemos que esses dois triângulos são congruentes, sabemos que cada ângulo correspondente, ou lado desses dois triângulos, também serão congruentes. A gente sabe que o lado AB é um lado correspondente a AC. Esses dois lados devem ser congruentes. Você tem AB sendo congruente, congruente a AC. E isso é porque esses triângulo são congruentes. Agora, nós provamos que se dois ângulos da base são congruentes, os dois lados são iguais. Isso é muito útil em geometria. E no caso de estar curioso sobre esse triângulo isósceles, aqui preparamos "D" como o ponto médio. Aqui colocamos "D" e assim, diretamente, fica abaixo do "A". Não dissemos que era o ponto médio mas, na verdade, aqui podemos mostrar que é um ponto médio. É resultado com bônus porque sabemos que, uma vez que esses dois triângulos são congruentes, BD vai ser congruente a DC porque eles são os lados correspondentes. Na verdade, o ponto "D", para um triângulo isósceles, não é só o ponto médio, mas é a bissetriz do ângulo BAC e é perpendicular de BC. Agora, não só AD é perpendicular a BC, mas também divide o ângulo BDC, que é um ângulo raso, em dois ângulos de 90°.