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Curso: Cálculo multivariável > Unidade 4

Lição 2: Integrais de linha para funções escalares (artigos)

Integrais de linha em um campo escalar

Aprenda a calcular e interpretar integrais de linha, também conhecidas como integrais de caminho ou integrais de curva.

Conhecimentos prévios

O que estamos construindo

Da mesma maneira que uma integral comum $\int_{a}^{b} f (x) d x$ ‍ te leva ao longo do eixo $x$ ‍ somando pequenas quantidades específicas no caminho, uma integral de linha $\int_{C} f (x, y) d s$ ‍ te leva ao longo de uma curva no plano $x y$ ‍, somando quantidades específicas que dependem da função multivariável $f (x, y)$ ‍.
Se uma curva $C$ ‍ é parametrizada por uma função vetorial $\vec{r} (t)$ ‍ entre os valores $t = a$ ‍ e $t = b$ ‍, a integral de linha é escrita da seguinte forma:

\begin{array}{r} \int_{C} f d s = \int_{a}^{b} f (\vec{r} (t)) | {\vec{r}}^{'} (t) | d t \end{array}

Neste caso, $f$ ‍ é uma função escalar, então denominamos esse processo de "integração de linha em um campo escalar", para distinguir de uma ideia relacionada que abordaremos a seguir em: integração de linha em um campo vetorial.

O que é uma integral de linha

No último artigo, apresentei algumas notações compactas para uma integral do comprimento do arco:

\begin{array}{r} \int_{C} d s \end{array}

O termo $d s$ ‍ representa uma variação bem pequena no comprimento ao longo da curva.
Digamos que são dadas as equações paramétricas que definem a curva:
$x (t) =$ ‍ trá lá lá
$y (t) =$ ‍ blá blá blá
Então $d s$ ‍, o pequeno passo ao longo de $C$ ‍, é dado explicitamente em função de $x$ ‍ e $y$ ‍ usando o Teorema de Pitágoras.
$d s = \sqrt{d x^{2} + d y^{2}}$ ‍
Você deveria pensar em $d x$ ‍ e $d y$ ‍ como sendo as componentes $x$ ‍ e $y$ ‍ do pequeno passo $d s$ ‍. Computacionalmente, elas são as derivadas de $x (t)$ ‍ e $y (t)$ ‍:
$d x = x^{'} (t) d t$ ‍
$d y = y^{'} (t) d t$ ‍
$C$ ‍ é só um nome que damos à curva. Colocá-lo na base da integral, assim $\int_{C}$ ‍, é uma forma de adiarmos a necessidade de colocarmos limites reais na integral.

Considere a curva definida por estas equações paramétricas:

$x (t) = t \cos (t)$ ‍

$y (t) = t sen (t)$ ‍

Vamos dizer que você esteja olhando para a porção da curva entre

t = 0

t = 2 π

, que se parece com isto:

Nós começamos escrevendo a integral

$\begin{aligned} \int_{C} d s & = \int_{C} \sqrt{d x^{2} + d y^{2}} \end{aligned}$ ‍

Tanto

d x

quanto

d y

precisam ser escritas em função de

d t

. Para isso, nós calculamos a derivada de cada equação paramétrica,

$\begin{aligned} d x & = d (t \cos (t)) \\ = t (- sen (t)) d t + \cos (t) d t \leftarrow Regra do produto \\ = (- t sen (t) + \cos (t)) d t \end{aligned}$ ‍

$\begin{aligned} d y & = d (t sen (t)) \\ = t (\cos (t)) d t + sen (t) d t \leftarrow Regra do produto \\ = (t \cos (t) + sen (t)) d t \end{aligned}$ ‍

Ambos esses valores são substituídos na integral e tiramos

d t^{2}

de dentro do radical:

$\begin{aligned} \int_{C} \sqrt{d x^{2} + d y^{2}} \\ = \int_{C} \sqrt{((- t sen (t) + \cos (t)) d t)^{2} + ((t \cos (t) + sen (t)) d t)^{2}} \\ = \int_{C} \sqrt{(- t sen (t) + \cos (t))^{2} + (t \cos (t) + sen (t))^{2}} d t \end{aligned}$ ‍

Agora que tudo dentro da integral está escrito em função de

t

, colocamos os valores dos limites de

t

na integral:

$\begin{array}{r} \int_{0}^{2 π} \sqrt{(- t sen (t) + \cos (t))^{2} + (t \cos (t) + sen (t))^{2}} d t \end{array}$ ‍

Que integral mais horrível, não é mesmo? Bem-vindo(a) ao mundo das integrais de linha.

As integrais de linha estendem essa ideia colocando uma função multivariável dentro da integral,

\begin{array}{r} \int_{C} f (x, y) d s \end{array}

Você pode pensar nessa integral como se ela dissesse

"Ei, enquanto você está andando ao longo da curva em pequenos passos de tamanho $d s$ ‍, em vez de apenas somar os tamanhos desses passos, multiplique cada tamanho de passo pelo valor da função $f (x, y)$ ‍ no ponto em que você está."

A animação a seguir relaciona isso à ideia mais familiar de encontrar a área sob uma curva. Imagine uma cortina solta sob o gráfico tridimensional de

f (x, y)

ao longo da curva

C

no plano

x y

. A integral de linha dá a área dessa cortina. (A imagem original é um gráfico de contorno colorido da função

f

Imagine a área dessa cortina sendo dividida em infinitos retângulos infinitamente finos. A base infinitesimal de cada retângulo é

d s = | r^{'} (t) |

, o tamanho de um pequeno passo ao longo da curva. A altura de cada retângulo é

f (x, y)

, a altura do gráfico de

f

naquele ponto.

Notação vetorial para integrais de linha

No final da animação acima, a integral de linha é escrita assim:

\begin{array}{r} \int_{C} f d s = \int_{a}^{b} f (\vec{r} (t)) | {\vec{r}}^{'} (t) | d t \end{array}

Vamos separar o que cada parte dessa integral de linha significa.

A parametrização de $C$ ‍

\vec{r} (t)

é uma função vetorial que parametriza a curva

C

. Em duas dimensões, ela pode ser mais ou menos assim:

\begin{aligned} \vec{r} (t) & = [\begin{array}{c} x (t) \\ y (t) \end{array}] \end{aligned}

Os limites da integral,

a

b

, são valores de

t

que determinam onde a curva começa e termina.

Em essência, isso significa que, conforme o valor de

t

varia entre

a

b

, a ponta do vetor

\vec{r} (t)

delineia a curva

C

Composição de $f$ ‍ com a parametrização

Calcular

f (\vec{r} (t))

significa pegar as componentes

x (t)

y (t)

\vec{r} (t)

, e utilizá-las como entradas de

f (x, y)

f (\vec{r} (t)) = f (x (t), y (t))

Você pode pensar nisso assim: um determinado valor de

t

nos coloca em algum ponto sobre o plano

x y

, expresso como a ponta do vetor

\vec{r} (t)

. Então,

f (\vec{r} (t))

dá o valor da função

f

naquele ponto do plano.

$d s$ ‍ é a magnitude da derivada (multiplicada por $d t$ ‍)

O termo

d s

, que representa um pequeno passo ao longo da curva, é expandido como

| {\vec{r}}^{'} (t) | d t

, a magnitude da derivada de

\vec{r} (t)

multiplicada por

d t

Intuitivamente, isso acontece porque a derivada responde à pergunta "o que acontece quando você varia levemente a entrada usando o valor

d t

?" A resposta é que a saída varia ao longo do vetor

{\vec{r}}^{'} (t) d t

no plano

x y

. A magnitude dessa varição no espaço de saída lhe dá o tamanho de uma variação

d s

ao longo da curva, como uma função do tamanho da variação no espaço de parâmetros

d t

Você também pode ver isso como uma notação vetorial compacta de

\sqrt{d x^{2} + d y^{2}}

\begin{aligned} | {\vec{r}}^{'} (t) | d t & = | [\begin{array}{c} x^{'} (t) \\ y^{'} (t) \end{array}] | d t \\ = \sqrt{(x^{'} (t))^{2} + (y^{'} (t))^{2}} d t \\ = \sqrt{(x^{'} (t))^{2} d t^{2} + (y^{'} (t))^{2} d t^{2}} \\ = \sqrt{(x^{'} (t) d t)^{2} + (y^{'} (t) d t)^{2}} \\ = \sqrt{(d x)^{2} + (d y)^{2}} \end{aligned}

Ao juntarmos tudo isso obtemos a representação vetorial de uma integral de linha:

\begin{array}{r} \int_{C} f d s = \int_{a}^{b} f (\vec{r} (t)) | {\vec{r}}^{'} (t) | d t \end{array}

Exemplo 1: calcular uma integral de linha simples

Considere

C

um quarto de um círculo de raio

2

centrado na origem. Esse quarto está no primeiro quadrante, para ser mais específico.

Podemos descrever esse quarto de círculo parametricamente com a seguinte função:

\begin{aligned} \vec{r} (t) & = [\begin{array}{c} 2 \cos (t) \\ 2 sen (t) \end{array}] \end{aligned}

Se definirmos

t

como indo de

0

π / 2

, isso delineia

C

Agora, defina a função multivariável

f

como

f (x, y) = x + y

Nosso objetivo é calcular a integral de linha

\begin{array}{r} \int_{C} f (x, y) d s \end{array}

O vídeo a seguir mostra a aparência da "cortina" sob o gráfico de

f

ao longo da curva

C

. O plano branco translúcido é o gráfico de

f (x, y) = x + y

, e a superfície azul é a cortina cuja área estamos calculando.

Invólucro do vídeo da Khan Academy

Ver transcrição do vídeo

Etapa 1: escrever $d s$ ‍ em função de $d t$ ‍

Dado que o tamanho de um pequeno passo

d s

ao longo da curva é dado pela magnitude da derivada de

\vec{r} (t)

multiplicada por

d t

d s = | {\vec{r}}^{'} (t) | d t

encontre o valor de

d s

no nosso exemplo.

Para referência, a parametrização da nossa curva é

\begin{aligned} \vec{r} (t) & = [\begin{array}{c} 2 \cos (t) \\ 2 sen (t) \end{array}] \end{aligned}

d s =

d t

Etapa 2: escrever $f (x, y)$ ‍ em função de $t$ ‍

Quanto vale

f (\vec{r} (t))

neste caso?

f (\vec{r} (t)) =

Etapa 3: escrever a integral completamente em função de $t$ ‍ e resolvê-la

A partir das duas etapas anteriores, nossa integral passa a ser

\begin{array}{r} \int_{C} f (x, y) d s = \int_{C} (2 \cos (t) + 2 sen (t)) 2 d t \end{array}

Como nossa parametrização de

C

apresenta

t

indo de

0

\frac{π}{2}

, estes são os limites da integral. Agora, resolva-a.

\begin{array}{r} \int_{0}^{π / 2} (2 \cos (t) + 2 sen (t)) 2 d t \end{array} =

Exemplo 2: prática mais complexa

Em princípio, a integração de linha não é tão difícil depois que você se acostuma com ela. Você só precisa saber como expandir o termo

d s

, e como reescrever as entradas da função

f (x, y)

em função da parametrização. Para saber fazer isso é necessário apenas um pouco de prática, que é o que estamos fazendo aqui.

Dito isso, integrais de linha podem ser bem difíceis de calcular. A maior parte delas acaba em um estado em que você precisa colocar a integral em um computador para conseguir uma resposta, mas, mesmo quando a integral pode ser resolvida, os números envolvidos podem rapidamente crescer e ficar complicados.

O exemplo a seguir mostra como, mesmo para funções relativamente simples, calcular uma integral de linha até o fim pode ser um problema bem complexo. Você definitivamente vai querer ter um lápis e papel de rascunho preparados se escolher seguir por esse exemplo.

Considere

C

a curva definida pela função

\begin{array}{r} \vec{s} (t) = [\begin{array}{c} \frac{1}{t} + \frac{1}{5} t^{5} \\ t^{2} \end{array}] \end{array}

no intervalo

1 \leq t \leq 2

Considere

f

a função

f (x, y) = x y^{2}

Calcule a integral de linha

\begin{array}{r} \int_{C} f (x, y) d s \end{array}

Etapa 1: escrever $d s$ ‍ em função de $d t$ ‍

d s =

d t

$\begin{aligned} d s & = | {\vec{s}}^{'} (t) | d t \\ = | [\begin{array}{c} \frac{d}{d t} (\frac{1}{t} + \frac{1}{5} t^{5}) \\ \frac{d}{d t} (t^{2}) \end{array}] | d t \\ = | [\begin{array}{c} - \frac{1}{t^{2}} + t^{4} \\ 2 t \end{array}] | d t \\ = \sqrt{{(- \frac{1}{t^{2}} + t^{4})}^{2} + (2 t)^{2}} d t \\ = \sqrt{\frac{1}{t^{4}} - 2 \frac{1}{t^{2}} t^{4} + t^{8} + 4 t^{2}} d t \\ = \sqrt{\frac{1}{t^{4}} - 2 t^{2} + t^{8} + 4 t^{2}} d t \\ = \sqrt{\frac{1}{t^{4}} + 2 t^{2} + t^{8}} d t \\ = \sqrt{{(\frac{1}{t^{2}} + t^{4})}^{2}} d t \\ = (\frac{1}{t^{2}} + t^{4}) d t \end{aligned}$ ‍

A propósito, a função dentro do radical quase nunca está elevada ao quadrado de forma tão perfeita. Para problemas como esse, aqueles que escrevem esses problemas tendem a propositalmente construí-los de forma a que sejam mais simples.

Na maior parte das vezes, uma integral de linha aleatória inventada por você não lhe dará uma integral de resolução fácil.

Etapa 2: substituir $f (x, y)$ ‍ por $f (\vec{s} (t))$ ‍

O que você obtém quando insere os componentes de

\vec{s} (t)

f (x, y) = x y^{2}

f (\vec{s} (t)) =

Etapa 3: calcular a integral

Insira as respostas das duas etapas anteriores na integral, e depois a resolva. Como a curva é definida para

1 \leq t \leq 2

, e nossa integral agora é dada em função de

t

, os limites da integral são

1

2

(Atenção: é bastante trabalhoso calcular isso, então sinta-se à vontade para usar uma calculadora quando chegar a hora.)

\begin{array}{r} \int_{1}^{2} f (\vec{s} (t)) | {\vec{s}}^{'} (t) | d t \end{array} =

Observe que a parte difícil deste problema não são os novos princípios da integração de linha ou saber como expandir

d s

, nem nada disso. O que o torna difícil é que a complexidade dos termos envolvidos cresce muito rapidamente.

(Além disso, se você acha isso difícil, espere até chegarmos a integrais de superfície.)

Integrais de linha em um campo escalar

Em tudo o que foi escrito acima, a função

f

é uma função escalar, o que significa que ela retorna um número (ao contrário de um vetor). Existe uma pequena variação em integrais de linha, em que você pode integrar uma função vetorial ao longo de uma curva, o que abordaremos no próximo artigo.

Para fazer uma distinção entre essas ideias, tudo o que acabamos de trabalhar é normalmente chamado de integração de linha em um campo escalar e a alternativa é referida como integração de linha em um campo vetorial. O termo "campo escalar" é apenas uma outra maneira de pensar sobre o que uma função multivariável faz: ela associa cada ponto no plano

x y

a algum escalar (isto é, algum número), de maneira que todo o plano seja como um campo de números apenas esperando alguém caminhar ao longo de um trecho por aquele campo e integrar aqueles valores.

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Cálculo multivariável

Curso: Cálculo multivariável > Unidade 4

Conhecimentos prévios

O que estamos construindo

O que é uma integral de linha

Notação vetorial para integrais de linha

A parametrização de C‍

Composição de f‍ com a parametrização

ds‍ é a magnitude da derivada (multiplicada por dt‍ )

Exemplo 1: calcular uma integral de linha simples

Etapa 1: escrever ds‍ em função de dt‍

Etapa 2: escrever f(x,y)‍ em função de t‍

Etapa 3: escrever a integral completamente em função de t‍ e resolvê-la

Exemplo 2: prática mais complexa

Etapa 1: escrever ds‍ em função de dt‍

Etapa 2: substituir f(x,y)‍ por f(s→(t))‍

Etapa 3: calcular a integral

Integrais de linha em um campo escalar

Quer participar da conversa?

A parametrização de $C$ ‍

Composição de $f$ ‍ com a parametrização

$d s$ ‍ é a magnitude da derivada (multiplicada por $d t$ ‍)

Etapa 1: escrever $d s$ ‍ em função de $d t$ ‍

Etapa 2: escrever $f (x, y)$ ‍ em função de $t$ ‍

Etapa 3: escrever a integral completamente em função de $t$ ‍ e resolvê-la

Etapa 1: escrever $d s$ ‍ em função de $d t$ ‍

Etapa 2: substituir $f (x, y)$ ‍ por $f (\vec{s} (t))$ ‍