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Curso: Cálculo multivariável > Unidade 2

Lição 8: Cálculo da derivada de funções vetoriais (artigos)

Derivadas de funções vetoriais

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Como calcular e, mais importante, como interpretar a derivada de uma função com saída vetorial.

Conhecimentos prévios

O que estamos construindo

Para derivar uma função vetorial, primeiramente derive cada componente:
$\begin{array}{r} \frac{d}{d t} [\begin{array}{c} x (t) \\ y (t) \end{array}] = [\begin{array}{c} x^{'} (t) \\ y^{'} (t) \end{array}] \end{array}$ ‍
Se você interpretar a função inicial como a posição de uma partícula como uma função do tempo, a derivada dará o vetor velocidade de uma partícula como uma função do tempo.

A derivada de uma função vetorial

Boas notícias! Calcular a derivada de uma função vetorial não é nenhuma novidade. Sendo assim, vou manter este artigo bem curto. A principal novidade é interpretar a derivada do vetor.

Aprofundando com um exemplo

Vamos começar com uma função vetorial

\vec{s} (t)

relativamente simples, com apenas duas componentes,

$\begin{array}{r} \vec{s} (t) = [\begin{array}{c} 2 sen (t) \\ 2 \cos (t / 3) t \end{array}] \end{array}$ ‍

Para derivar

\vec{s}

, basta derivar cada componente:

$\begin{aligned} \frac{d \vec{s}}{d t} (t) & = [\begin{array}{c} \frac{d}{d t} (2 sen (t)) \\ \frac{d}{d t} (2 \cos (t / 3)) t \end{array}] \\ = [\begin{array}{c} 2 \cos (t) \\ 2 \cos (t / 3) - \frac{2}{3} sen (t / 3) t \end{array}] \end{aligned}$ ‍

Você também pode escrever essa derivada como

{\vec{s}}^{'} (t)

. Essa derivada é uma nova função vetorial, com a mesma entrada

t

que

\vec{s}

possui, e cuja saída tem o mesmo número de dimensões.

Geralmente, se escrevermos as componentes de

\vec{s}

como

x (t)

y (t)

, nós escreveremos a derivada assim:

$\begin{array}{r} {\vec{s}}^{'} (t) = [\begin{array}{c} x^{'} (t) \\ y^{'} (t) \end{array}] \end{array}$ ‍

A derivada dá um vetor velocidade.

Para o exemplo acima, como podemos visualizar o que a derivada significa? Primeiro, para visualizar

$\begin{array}{r} \vec{s} (t) = [\begin{array}{c} 2 sen (t) \\ 2 \cos (t / 3) t \end{array}] \end{array}$ ‍

nós reparamos que a saída tem mais dimensões que a entrada, então é de bom tom vê-la como uma função paramétrica.

Cada ponto na curva representa a ponta de um vetor

[\begin{matrix} 2 sen (t_{0}) \\ 2 \cos (t_{0} / 3) t_{0} \end{matrix}]

para algum valor de

t_{0}

específico. Por exemplo, quando

t_{0} = 2

nós desenhamos o vetor até o ponto

\begin{array}{r} \vec{s} (2) = [\begin{array}{c} 2 sen (2) \\ 2 \cos (2 / 3) \cdot 2 \end{array}] \approx [\begin{array}{c} 1,819 \\ 3,144 \end{array}] \end{array}

Quando fazemos isso para todas as entradas

t

possíveis, as pontas dos vetores

\vec{s} (t)

vão traçar uma certa curva:

O que conseguimos quando inserimos um valor

t

, talvez

2

novamente, na derivada?

\begin{aligned} \frac{d \vec{s}}{d t} (2) & = [\begin{array}{c} 2 \cos (2) \\ 2 \cos (2 / 3) - \frac{2}{3} sen (2 / 3) \cdot 2 \end{array}] \\ \approx [\begin{array}{c} - 0,832 \\ 0,747 \end{array}] \end{aligned}

Este também é um vetor bidimensional.

É difícil visualizar o que esse vetor da derivada representa quando ele fica estacionado na origem, mas se nós o deslocarmos de modo que sua cauda fique na ponta do vetor

\vec{s} (2)

, teremos uma interpretação fantástica:

Se $\vec{s} (t)$ ‍ representa a posição de uma partícula se deslocando em função do tempo, $\frac{d \vec{s}}{d t} (t_{0})$ ‍ é o vetor velocidade dessa partícula no momento $t_{0}$ ‍.
Derivada é um vetor velocidade tangente à curva.

Particularmente, isso significa que a direção do vetor é tangente à curva, e sua magnitude indica a velocidade na qual um corpo viaja ao longo dessa curva conforme

t

aumenta a uma taxa constante (como o tempo tende a fazer)

Verificação de conceito: suponha que a posição de uma partícula em um espaço bidimensional, em função do tempo, seja dada pela função

\begin{array}{r} \vec{s} (t) = [\begin{array}{c} t^{2} \\ t^{3} \end{array}] \end{array}

O que é

\frac{d \vec{s}}{d t}

Qual é a velocidade da partícula no momento

t = 3

Resumo

Para derivar uma função vetorial, primeiramente derive cada componente.
Se você interpretar a função inicial como a posição de uma partícula como uma função do tempo, a derivada dará o vetor velocidade de uma partícula como uma função do tempo.

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