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Cálculo multivariável
Curso: Cálculo multivariável > Unidade 4
Lição 3: Integrais de linha de campos vetoriais- Integrais de linha de campos vetoriais
- Como usar uma integral de linha para calcular trabalho
- Integrais de linha de campos vetoriais
- Parametrização de um caminho inverso
- Integral de linha de campo escalar independente da direção do caminho
- Integrais de linha de campo vetorial dependentes da direção do caminho
- Independência do caminho para integrais de linha
- Integrais de linha de curva fechada de campos vetoriais conservadores
- Integrais de linha em campos vetoriais conservativos
- Exemplo de integral de linha fechada de campo conservativo
- Segundo exemplo de integral de linha do campo vetorial conservativo
- Distinção de campos vetoriais conservativos
- Funções potenciais
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Integrais de linha de campos vetoriais
Como usar as integrais de linha para calcular o trabalho realizado sobre uma partícula em movimento através de um campo vetorial. Versão original criada por Sal Khan.
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Transcrição de vídeo
RKA2JV - Olá, pessoal!
Tudo bem? Uma das ideias mais fundamentais
na Física é a ideia do trabalho. E, eventualmente, você aprende que a força não vai sempre na mesma direção
do seu deslocamento. Daí você descobre que o trabalho é,
na verdade, a magnitude. Eu vou deixar isso escrito como lembrete: a magnitude da força em direção
ao deslocamento vezes a distância. É aquele que tem um bloco de gelo,
ou outro tipo de bloco, mas no meu caso eu vou usar o de gelo e ele está sobre um lago congelado
ou algo do tipo. Digamos que esse cubo de gelo é
puxado para um ângulo específico, que neste caso é a nossa força. A magnitude dessa força é de 10 newtons. E a direção de nosso vetor é
um ângulo de 60 graus abaixo. Agora, vamos dizer que deslocamos
o nosso cubo de gelo 5 metros. Colocamos o vetor deslocamento
aqui na direita e a magnitude dele é igual a 5 metros. Pela definição que temos,
você deve ter pensado que seria só multiplicar os
10 newtons pelos 5 metros. Mas não é bem desse jeito. Você precisa achar a magnitude
do componente que vai na mesma direção do deslocamento. E o que precisamos fazer aqui é imaginar
o comprimento desse vetor como 10. E precisamos descobrir
o comprimento do vetor que é o componente de força
que vai na mesma direção. E resolvemos isso com uma
simples trigonometria. Faremos 10 vezes
o cosseno de 60 graus. O cosseno de 60 graus é 1,5. Então, temos 5. Desta forma, temos noção que
a magnitude da força que vai na mesma direção do deslocamento, neste caso, é 5 newtons. Agora podemos dizer que o trabalho é igual a 5 newtons vezes 5 metros,
que nos dá 25 joules. Isso tudo foi uma revisão
meio básica de Física, mas eu quero que você pense sobre
o que aconteceu aqui. O que foi o trabalho. E, para ajudar nisso, eu vou reescrever
de uma forma abstrata. O trabalho é igual a 5 newtons. Isso é a magnitude de nosso vetor, que multiplicamos pelo
cosseno deste ângulo, que eu vou chamar de teta (θ). Com isso, vamos ter a quantidade
de força na direção do deslocamento no cosseno do ângulo entre eles,
vezes a magnitude do deslocamento. Podemos reescrever como
a magnitude do deslocamento vezes a magnitude da força
vezes o cosseno de θ. E isso é o produto escalar de "d" e F. De forma geral, se você tenta encontrar
o trabalho do deslocamento constante e você tem uma força constante, é só pegar o produto escalar
desses dois vetores. E, caso o produto escalar seja
um conceito estranho para você, pode ser legal ver algumas de nossas
aulas que tratam sobre o assunto. Mas pode ficar tranquilo, que eu vou
dar uma pequena resumida aqui. No momento em que eu pego F.d, ou F, e os multiplico,
eles me dão a magnitude. A ideia do produto escalar
é pegar o quanto do vetor vai na mesma direção do outro vetor. Neste caso, o quanto vai na direção
deste vetor que utilizamos aqui, e depois multiplicamos as duas magnitudes. É o que fizemos nesta
situação que criamos. Desta forma, o trabalho vai ser o vetor
de força vezes o vetor de deslocamento. E claro, isso vai ser um valor escalar. Tudo que fizemos até agora foi
uma revisão bem básica da Física, mas agora vamos pegar
um exemplo mais complexo. Vamos definir um campo vetorial. Será F(x, y) igual a uma
função escalar de (x, y) vezes a unidade vetorial i^, também chamada de
unidade vetorial horizontal, mais uma outra função escalar de (x, y) vezes a unidade vetorial j^, também chamada de
unidade vetorial vertical. Isto que temos aqui agora é um
campo vetorial no plano XY no R². Para desenhar esse plano,
vou ter o eixo Y e o eixo X. Isso significa que, se você
me der qualquer "x" ou "y", ou (x, y) no plano XY, eles vão,
no fim, se tornar números. E, se trabalharmos com os
(x, y) na parte de cima, vamos conseguir algum tipo de valor. Vamos ter alguma combinação
das unidades vetoriais i^ e j^ que vai nos retornar algum vetor. Isso, inclusive, é o que define o vetor que é associado com cada um
dos pontos no plano XY. Então, se por exemplo, eu colocar
um ponto no plano XY e depois colocar nesta parte de cima, vamos conseguir algo vezes i^
mais algo vezes j^, que, depois de somados, provavelmente
nos darão um vetor que se pareça com isto. Podemos fazer em qualquer ponto. Podemos ter isto, ou outro
que se pareça desta forma, ou outro que é deste jeito,
ou outro que é deste outro jeito. Esses pontos aleatórios que eu peguei definem um vetor em todas
as coordenadas do plano XY em que essas funções escalares
são propriamente definidas. É por isso que esta parte
se chama campo vetorial. Ele define para nós o que
uma potencial pode ser, o que uma força pode ser, ou algum outro tipo de medida. Inclusive, nós só podemos
dizer a força a dado ponto se acontecer desse ponto ter algo. E é isso que a função é. Inclusive, eu posso ficar milênios
fechando esse espaço, mas acredito que você meio que
pegou a lógica da coisa. Na verdade, agora que você entendeu
um pouco da ideia do campo vetorial, deve fazer sentido pensar
que isso pode ser utilizado para descrever qualquer tipo de campo. Por exemplo, podemos pensar em
descrever um campo gravitacional, um campo elétrico, um campo magnético, e no fim, isso vai dizer
para nós, essencialmente, o quanto de força tem em
dada partícula no campo. Agora, vamos pensar que neste campo
tem uma partícula que viaja pelo plano XY. Digamos que ela inicia neste ponto e, em virtude de todas essas
forças malucas que agem, não consegue se movimentar na
direção que o campo tenta movimentar. Então, ela traça um caminho. Agora, vamos dizer que esse caminho, ou essa curva, é definida
por um vetor posição. Digamos que é definida por r(t), que é basicamente
x(t) vezes i^ + y(t) vezes j^. E, a fim de ser um caminho infinito, "t" é maior ou igual a "a"
e menor ou igual a "b". Agora temos esta partícula,
que acontece de pegar este caminho por causa de todas as forças
estranhas que estão ao redor, e, no ponto inicial, pode ser
que tenhamos um vetor que coloque uma força. Mas, já que esta partícula está no meio
de um caminho, ela move nessa direção. E tudo isso que fizemos até agora
foi feito com o propósito de construir uma questão
extremamente importante: qual é o trabalho feito na partícula
por causa do trabalho do campo? Para responder a essa questão, podemos nos aproximar um pouco, em um pedaço pequeno do nosso caminho. E vamos tentar descobrir o trabalho feito
em uma parte bem pequena desse caminho. Porque o campo muda constantemente, consequentemente, as direções também
mudam de forma constante. Por isso, vamos pensar que
estamos nesta posição. Agora, vamos pensar que nos movemos por uma pequena parte do caminho. E esse movimento infinitamente pequeno
é representado por um pequeno dr. Desta forma, nós temos
um vetor diferencial infinitamente pequeno de deslocamento. Agora vamos pensar que,
ao longo do caminho, temos um campo vetorial
que age na área local. E ele provê uma força que
se parece com isto que eu fiz. Desta forma, o campo vetorial nesta área, ou a força direcionada nesta partícula
quando ela está neste ponto, tem extremamente pouco tempo e espaço. Podemos pensar que tudo bem, este ponto pequeno que temos
tem essa força constante. Mas temos que responder qual
o intervalo de trabalho aqui. E esse problema podemos resolver
a partir da lógica que temos. Lembremos: é a magnitude da força
em direção do nosso deslocamento. E sabemos o que isso é pelos
exemplos que temos acima. Então, é igual ao produto
escalar da nossa força e nosso super pequeno deslocamento. E, com isso que fizemos,
estamos cada vez mais perto de descobrir o trabalho
sobre um dr super pequeno. Mas o que queremos de verdade é somar todos os dr para
descobrir todo o trabalho. E é aqui que entra a integral curvilínea. Claro, poderíamos pensar de outro jeito,
que é só escrever dt, Porém, pela integral curvilínea
ao longo dessa curva C, isso vai nos dar o trabalho total. Então, podemos dizer que o trabalho
é igual a essa integral curvilínea. Mas também podemos escrever
como a integral curvilínea "f.dr". Você deve ter se feito a pergunta
do que fazer aqui, já que é tudo muito abstrato. Especialmente porque temos tudo
parametrizado em termos de "t". Vamos lá, primeiro precisamos
pensar o que é o "f.r" ou "f.dr". Se nos lembramos bem, dr/dt = x'(t) vezes a unidade vetoral i^, mais y'(t) vezes a unidade vetorial j^. Se queremos somente dr,
podemos multiplicar ambos os lados, isso se não formos tão rigorosos
com a questão de diferenciais. Desta forma, conseguimos dr = x'(t)dt
vezes a unidade vetorial i^, mais y'(t)dt vezes a unidade vetorial j^. Temos agora nosso dr e vamos lembrar do que a nossa força, nosso campo vetorial, era. Com essas informações em mente,
vamos voltar para a nossa integral. Pelo que sabemos, ela vai nos dar o
trabalho total do campo na partícula conforme ela se move ao longo do caminho, o que é extremamente importante
e bem fundamental na Física. Assim, vamos dizer que "t"
vai de "a" até "b", que você pode imaginar como uma partícula
que se move conforme o tempo aumenta. Mas agora, para "f.dr", pelo que temos de noção
do produto escalar, você pode pegar o produto dos componentes
correspondentes ao vetor e somar. Isso vai ser a integral de
"t = a" até "t = b" de (P(x(t), y(t) vezes o componente i^, que é x'(t)dt, mais Q(x(t), y(t) vezes o componente j^, que é y'(t)dt. Ainda parece um pouco abstrato, mas na verdade isso é tudo
que precisávamos. Inclusive, em termos de "t", isto é só uma integração bem
direta em relação a dt. Se quisermos, podemos tirar os dt
para fora da equação. É isso, pessoal. Espero que tenham aprendido,
e até a próxima!