Integrais de linha de campos vetoriais

RKA2JV - Olá, pessoal! Tudo bem? Uma das ideias mais fundamentais na Física é a ideia do trabalho. E, eventualmente, você aprende que a força não vai sempre na mesma direção do seu deslocamento. Daí você descobre que o trabalho é, na verdade, a magnitude. Eu vou deixar isso escrito como lembrete: a magnitude da força em direção ao deslocamento vezes a distância. É aquele que tem um bloco de gelo, ou outro tipo de bloco, mas no meu caso eu vou usar o de gelo e ele está sobre um lago congelado ou algo do tipo. Digamos que esse cubo de gelo é puxado para um ângulo específico, que neste caso é a nossa força. A magnitude dessa força é de 10 newtons. E a direção de nosso vetor é um ângulo de 60 graus abaixo. Agora, vamos dizer que deslocamos o nosso cubo de gelo 5 metros. Colocamos o vetor deslocamento aqui na direita e a magnitude dele é igual a 5 metros. Pela definição que temos, você deve ter pensado que seria só multiplicar os 10 newtons pelos 5 metros. Mas não é bem desse jeito. Você precisa achar a magnitude do componente que vai na mesma direção do deslocamento. E o que precisamos fazer aqui é imaginar o comprimento desse vetor como 10. E precisamos descobrir o comprimento do vetor que é o componente de força que vai na mesma direção. E resolvemos isso com uma simples trigonometria. Faremos 10 vezes o cosseno de 60 graus. O cosseno de 60 graus é 1,5. Então, temos 5. Desta forma, temos noção que a magnitude da força que vai na mesma direção do deslocamento, neste caso, é 5 newtons. Agora podemos dizer que o trabalho é igual a 5 newtons vezes 5 metros, que nos dá 25 joules. Isso tudo foi uma revisão meio básica de Física, mas eu quero que você pense sobre o que aconteceu aqui. O que foi o trabalho. E, para ajudar nisso, eu vou reescrever de uma forma abstrata. O trabalho é igual a 5 newtons. Isso é a magnitude de nosso vetor, que multiplicamos pelo cosseno deste ângulo, que eu vou chamar de teta (θ). Com isso, vamos ter a quantidade de força na direção do deslocamento no cosseno do ângulo entre eles, vezes a magnitude do deslocamento. Podemos reescrever como a magnitude do deslocamento vezes a magnitude da força vezes o cosseno de θ. E isso é o produto escalar de "d" e F. De forma geral, se você tenta encontrar o trabalho do deslocamento constante e você tem uma força constante, é só pegar o produto escalar desses dois vetores. E, caso o produto escalar seja um conceito estranho para você, pode ser legal ver algumas de nossas aulas que tratam sobre o assunto. Mas pode ficar tranquilo, que eu vou dar uma pequena resumida aqui. No momento em que eu pego F.d, ou F, e os multiplico, eles me dão a magnitude. A ideia do produto escalar é pegar o quanto do vetor vai na mesma direção do outro vetor. Neste caso, o quanto vai na direção deste vetor que utilizamos aqui, e depois multiplicamos as duas magnitudes. É o que fizemos nesta situação que criamos. Desta forma, o trabalho vai ser o vetor de força vezes o vetor de deslocamento. E claro, isso vai ser um valor escalar. Tudo que fizemos até agora foi uma revisão bem básica da Física, mas agora vamos pegar um exemplo mais complexo. Vamos definir um campo vetorial. Será F(x, y) igual a uma função escalar de (x, y) vezes a unidade vetorial i^, também chamada de unidade vetorial horizontal, mais uma outra função escalar de (x, y) vezes a unidade vetorial j^, também chamada de unidade vetorial vertical. Isto que temos aqui agora é um campo vetorial no plano XY no R². Para desenhar esse plano, vou ter o eixo Y e o eixo X. Isso significa que, se você me der qualquer "x" ou "y", ou (x, y) no plano XY, eles vão, no fim, se tornar números. E, se trabalharmos com os (x, y) na parte de cima, vamos conseguir algum tipo de valor. Vamos ter alguma combinação das unidades vetoriais i^ e j^ que vai nos retornar algum vetor. Isso, inclusive, é o que define o vetor que é associado com cada um dos pontos no plano XY. Então, se por exemplo, eu colocar um ponto no plano XY e depois colocar nesta parte de cima, vamos conseguir algo vezes i^ mais algo vezes j^, que, depois de somados, provavelmente nos darão um vetor que se pareça com isto. Podemos fazer em qualquer ponto. Podemos ter isto, ou outro que se pareça desta forma, ou outro que é deste jeito, ou outro que é deste outro jeito. Esses pontos aleatórios que eu peguei definem um vetor em todas as coordenadas do plano XY em que essas funções escalares são propriamente definidas. É por isso que esta parte se chama campo vetorial. Ele define para nós o que uma potencial pode ser, o que uma força pode ser, ou algum outro tipo de medida. Inclusive, nós só podemos dizer a força a dado ponto se acontecer desse ponto ter algo. E é isso que a função é. Inclusive, eu posso ficar milênios fechando esse espaço, mas acredito que você meio que pegou a lógica da coisa. Na verdade, agora que você entendeu um pouco da ideia do campo vetorial, deve fazer sentido pensar que isso pode ser utilizado para descrever qualquer tipo de campo. Por exemplo, podemos pensar em descrever um campo gravitacional, um campo elétrico, um campo magnético, e no fim, isso vai dizer para nós, essencialmente, o quanto de força tem em dada partícula no campo. Agora, vamos pensar que neste campo tem uma partícula que viaja pelo plano XY. Digamos que ela inicia neste ponto e, em virtude de todas essas forças malucas que agem, não consegue se movimentar na direção que o campo tenta movimentar. Então, ela traça um caminho. Agora, vamos dizer que esse caminho, ou essa curva, é definida por um vetor posição. Digamos que é definida por r(t), que é basicamente x(t) vezes i^ + y(t) vezes j^. E, a fim de ser um caminho infinito, "t" é maior ou igual a "a" e menor ou igual a "b". Agora temos esta partícula, que acontece de pegar este caminho por causa de todas as forças estranhas que estão ao redor, e, no ponto inicial, pode ser que tenhamos um vetor que coloque uma força. Mas, já que esta partícula está no meio de um caminho, ela move nessa direção. E tudo isso que fizemos até agora foi feito com o propósito de construir uma questão extremamente importante: qual é o trabalho feito na partícula por causa do trabalho do campo? Para responder a essa questão, podemos nos aproximar um pouco, em um pedaço pequeno do nosso caminho. E vamos tentar descobrir o trabalho feito em uma parte bem pequena desse caminho. Porque o campo muda constantemente, consequentemente, as direções também mudam de forma constante. Por isso, vamos pensar que estamos nesta posição. Agora, vamos pensar que nos movemos por uma pequena parte do caminho. E esse movimento infinitamente pequeno é representado por um pequeno dr. Desta forma, nós temos um vetor diferencial infinitamente pequeno de deslocamento. Agora vamos pensar que, ao longo do caminho, temos um campo vetorial que age na área local. E ele provê uma força que se parece com isto que eu fiz. Desta forma, o campo vetorial nesta área, ou a força direcionada nesta partícula quando ela está neste ponto, tem extremamente pouco tempo e espaço. Podemos pensar que tudo bem, este ponto pequeno que temos tem essa força constante. Mas temos que responder qual o intervalo de trabalho aqui. E esse problema podemos resolver a partir da lógica que temos. Lembremos: é a magnitude da força em direção do nosso deslocamento. E sabemos o que isso é pelos exemplos que temos acima. Então, é igual ao produto escalar da nossa força e nosso super pequeno deslocamento. E, com isso que fizemos, estamos cada vez mais perto de descobrir o trabalho sobre um dr super pequeno. Mas o que queremos de verdade é somar todos os dr para descobrir todo o trabalho. E é aqui que entra a integral curvilínea. Claro, poderíamos pensar de outro jeito, que é só escrever dt, Porém, pela integral curvilínea ao longo dessa curva C, isso vai nos dar o trabalho total. Então, podemos dizer que o trabalho é igual a essa integral curvilínea. Mas também podemos escrever como a integral curvilínea "f.dr". Você deve ter se feito a pergunta do que fazer aqui, já que é tudo muito abstrato. Especialmente porque temos tudo parametrizado em termos de "t". Vamos lá, primeiro precisamos pensar o que é o "f.r" ou "f.dr". Se nos lembramos bem, dr/dt = x'(t) vezes a unidade vetoral i^, mais y'(t) vezes a unidade vetorial j^. Se queremos somente dr, podemos multiplicar ambos os lados, isso se não formos tão rigorosos com a questão de diferenciais. Desta forma, conseguimos dr = x'(t)dt vezes a unidade vetorial i^, mais y'(t)dt vezes a unidade vetorial j^. Temos agora nosso dr e vamos lembrar do que a nossa força, nosso campo vetorial, era. Com essas informações em mente, vamos voltar para a nossa integral. Pelo que sabemos, ela vai nos dar o trabalho total do campo na partícula conforme ela se move ao longo do caminho, o que é extremamente importante e bem fundamental na Física. Assim, vamos dizer que "t" vai de "a" até "b", que você pode imaginar como uma partícula que se move conforme o tempo aumenta. Mas agora, para "f.dr", pelo que temos de noção do produto escalar, você pode pegar o produto dos componentes correspondentes ao vetor e somar. Isso vai ser a integral de "t = a" até "t = b" de (P(x(t), y(t) vezes o componente i^, que é x'(t)dt, mais Q(x(t), y(t) vezes o componente j^, que é y'(t)dt. Ainda parece um pouco abstrato, mas na verdade isso é tudo que precisávamos. Inclusive, em termos de "t", isto é só uma integração bem direta em relação a dt. Se quisermos, podemos tirar os dt para fora da equação. É isso, pessoal. Espero que tenham aprendido, e até a próxima!