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Estatística e probabilidade
Curso: Estatística e probabilidade > Unidade 7
Lição 8: Regra da multiplicação para eventos dependentesRegra geral da multiplicação
Quando calculamos probabilidades que envolvem um evento E outro evento ocorrido, nós multiplicamos suas probabilidades.
Em alguns casos, o primeiro evento a acontecer afeta a probabilidade do segundo evento. Chamamos isso de eventos dependentes.
Em outros casos, o primeiro evento a acontecer não afeta a probabilidade do segundo. Chamamos isso de eventos independentes.
Eventos independentes: jogar uma moeda duas vezes
Qual é a probabilidade de se jogar uma moeda justa e tirar "cara" duas vezes seguidas? Isto é, qual é a probabilidade de tirar cara na primeira jogada E cara novamente na segunda jogada?
Imagine um experimento em que 100 pessoas simulassem esta situação e jogassem uma moeda duas vezes. Em média, 50 pessoas tirariam cara na primeira jogada, depois, 25 delas tiraria cara novamente. Portanto, 25 das 100 pessoas do início — ou 1, slash, 4 delas — tiraria cara duas vezes seguidas.
O número de pessoas com que começamos não importa na verdade. Teoricamente, 1, slash, 2 do grupo original tiraria cara, e 1, slash, 2 desse grupo tiraria cara novamente. Para calcular a fração de uma fração, nós multiplicamos.
Podemos representar este conceito com um diagrama de árvore, como este logo abaixo.
Nós multiplicamos as probabilidades ao longo dos ramos para calcular a probabilidade geral de um evento E de o evento seguinte ocorrer.
Por exemplo, a probabilidade de tirar "coroa" duas vezes seguidas seria:
Quando dois eventos são independentes, dizemos que
Cuidado! Esta fórmula só se aplica a eventos independentes.
Problema 1: Jogo de dados
Imagine que vamos jogar dois dados justos de 6 lados.
Eventos dependentes: Tire uma carta
Podemos usar uma estratégia semelhante mesmo quando estamos lidando com eventos dependentes.
Considere tirar duas cartas, sem reposição, de um baralho padrão de 52 cartas. Isso significa que tiramos a primeira carta, a deixamos de fora do baralho, e então tiramos a segunda carta.
Qual é a probabilidade de as duas cartas selecionadas serem pretas?
Metade das 52 cartas são pretas, então, a probabilidade de a primeira carta ser preta é de 26, slash, 52. Mas, a probabilidade de tirar uma carta preta muda na segunda retirada, pois o número de cartas pretas e o número total de cartas diminuíram em 1.
Veja como ficam as probabilidades em um diagrama de árvore:
Então, a probabilidade de as duas cartas serem pretas é:
Problema 2: Seleção de alunos
Uma mesa com 5 alunos do Ensino médio têm 3 alunos do último ano e 2 do primeiro. O professor vai escolher aleatoriamente 2 alunos deste grupo para apresentar as soluções da tarefa.
Regra geral da multiplicação
Para dois eventos quaisquer, podemos dizer que
A barra vertical em P, left parenthesis, start text, B, end text, vertical bar, start text, A, end text, right parenthesis significa "sabendo-se", então, isso também poderia ser lido assim: "a probabilidade de B ocorrer sabendo-se que A ocorreu".
Esta fórmula indica que podemos multiplicar as probabilidades de dois eventos, mas que precisamos levar o primeiro evento em consideração ao analisar a probabilidade do segundo evento.
Se os eventos forem independentes, o fato de um deles acontecer não afetará a probabilidade do outro e, neste caso: P, left parenthesis, start text, B, end text, vertical bar, start text, A, end text, right parenthesis, equals, P, left parenthesis, start text, B, end text, right parenthesis.
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