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Transcrição de Justifying the power rule

  • 0:00RKA10MP – O que quero fazer neste vídeo é utilizar a regra da potência
  • 0:04e buscar resultados que parecem aceitáveis.
  • 0:07E uma coisa a se falar é que isso não é a prova da regra da potência.
  • 0:11Mas, pelo menos, vai nos deixar um pouco mais confortáveis utilizando esta regra.
  • 0:16Então, vamos supor que eu tenha este f(x) sendo igual a “x”.
  • 0:22A regra da potência nos diz que f'(x) será igual a quanto?
  • 0:27Sabemos que “x” é o mesmo que x¹,
  • 0:30então implicitamente já sabemos que este “n” é igual a 1.
  • 0:33E levando este 1 para frente, teremos 1 vezes x¹⁻¹,
  • 0:39ou seja, teremos 1 vezes x⁰.
  • 0:43A gente sabe que todo número elevado a zero é igual a 1,
  • 0:46então este x⁰ é igual a 1.
  • 0:49Deixe-me plotar um gráfico a respeito dessa função
  • 0:52para a gente conseguir visualizar um pouco melhor essa ideia.
  • 0:56Vou fazer um gráfico dessas funções, este é o eixo “y” e este é o eixo “x”.
  • 1:02Vamos ter “y” igual a “x”, já que “y” é igual a f(x).
  • 1:10Então fica mais ou menos deste jeito: “y” é igual a “x”,
  • 1:14ou seja, f(x) é igual a “x”.
  • 1:17Se a gente derivar este f(x), e já vimos que ele é igual a 1,
  • 1:23quando a gente olha para a nossa função, percebemos que a inclinação desta reta,
  • 1:28ou a reta tangente bem neste ponto, terá uma inclinação contínua e igual a 1,
  • 1:35independentemente do valor de “x” que a gente observar,
  • 1:38ou seja, teremos uma reta,
  • 1:40uma reta com uma inclinação constante e igual a 1, nesse caso.
  • 1:44Isso é bem consistente com o que sabemos sobre derivar das inclinações.
  • 1:49Podemos desenhar esta derivada.
  • 1:51Então, estou dizendo que, ao longo de todo o “x”,
  • 1:54vamos ter uma reta horizontal e igual a 1,
  • 1:58independentemente do valor que a gente atribua a “x”.
  • 2:00Agora se a gente for para este outro ponto,
  • 2:02a inclinação, sem dúvida, também vai ser igual a 1.
  • 2:05Se for aqui, a inclinação também é igual a 1.
  • 2:08Assim, a gente vai ter uma ótima resposta,
  • 2:11mas vamos tentar algo que mude esta inclinação.
  • 2:13Vamos dizer que eu tenha g(x) igual a x².
  • 2:18A regra da potência nos diz que g'(x) vai ser igual a…
  • 2:23A gente coloca este 2 na frente vezes x²⁻¹.
  • 2:30E 2 - 1 é igual a 1. Assim, a gente vai ter que a derivada desta função
  • 2:34é igual a 2 vezes “x”.
  • 2:36Vamos fazer também um gráfico desta função?
  • 2:39O eixo “y” e o eixo “x”. Deixe-me marcar algumas coisas.
  • 2:44Aqui vou ter 1, 2, 3, 4, 5
  • 2:48e aqui vou ter 1, 2, 3, 4.
  • 2:51E g(x), quando “x” é zero, vai ser zero.
  • 2:55Quando “x” for igual a 1, g(x) é igual a 1.
  • 2:58Quando “x” é igual a 2, g(x) vai ser igual a 4.
  • 3:02Então a gente vai ter 1, 2, 3, 4. Deixe-me colocar aqui…
  • 3:07Quando “x” é -2 também vamos ter algo igual a 4.
  • 3:11Assim, vamos ter uma parábola.
  • 3:14Você já deve ter visto ao longo de muitos anos.
  • 3:16Uma parábola se parece com isso.
  • 3:19Lembre-se que a parábola tem dois lados bem simétricos,
  • 3:22então vou tentar desenhar isso mais ou menos simétrico.
  • 3:25Pronto, então temos o gráfico de g(x), em que g(x) é igual a x².
  • 3:32Agora a gente pode fazer o gráfico de g'(x).
  • 3:36E o que a regra da potência disse para a gente sobre g'(x)?
  • 3:39A gente conseguiu obter uma resposta igual a 2x,
  • 3:44então isso daqui é uma reta.
  • 3:46A derivada de g(x), ou seja, g'(x) é uma reta passando pela origem.
  • 3:52Quando “x” é igual a -2, vamos ter uma inclinação negativa,
  • 3:56já que vamos ter 2 vezes -2, que é igual a -4.
  • 4:00Então, a gente vai ter uma inclinação negativa e bem íngreme.
  • 4:03Isso nos mostra a inclinação neste ponto. E neste ponto a inclinação é -4.
  • 4:08A inclinação da reta tangente seria algo parecido com isso
  • 4:12e parece ter uma inclinação bem aceitável.
  • 4:15Agora o que acontece se a gente for para onde “x” é igual a zero?
  • 4:18Neste ponto a derivada, ou g', vai ser igual a zero,
  • 4:23afinal de contas, a gente vai ter 2 vezes zero.
  • 4:25Então, neste ponto, vamos ter uma inclinação igual a zero,
  • 4:28ou seja, uma reta tangente sendo horizontal.
  • 4:32Observando na parábola, isso faz muito sentido.
  • 4:35A inclinação da reta tangente se parece com algo assim neste ponto.
  • 4:39Estamos no ponto mínimo, no vértice desta parábola,
  • 4:42e a inclinação neste ponto vai ser igual a zero.
  • 4:45Agora se a gente vier para “x” igual a 2, o que vai acontecer?
  • 4:49Podemos perceber que g' é igual a 2x.
  • 4:53Assim a gente vai ter 2 vezes 2, que é igual a 4.
  • 4:56A inclinação da reta tangente neste ponto vai ter essa aparência.
  • 5:00Então neste ponto em que “x” é igual a 2, vamos ter uma inclinação igual a 4.
  • 5:07Tudo isso que observamos parece ser bem aceitável e nos mostra que, de fato,
  • 5:12a regra da potência faz muito sentido.
  • 5:14Agora eu gostaria que você pegasse outras funções
  • 5:17e tentasse fazer o mesmo que fiz aqui.
  • 5:19Então, aquele forte abraço e até o próximo vídeo!