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Transcrição de Quotient rule from product & chain rules

  • 0:00RKA4JL - Eu já mostrei para você a regra do produto em uma derivada,
  • 0:04ou seja, supondo que a gente tem o produto de duas funções f(x) e g(x)
  • 0:10e queremos calcular a derivada deste produto,
  • 0:13a derivada deste produto vai ser igual à derivada da primeira função, f'(x),
  • 0:20vezes a segunda função, ou seja, g(x),
  • 0:23mais a primeira função
  • 0:25(não é para calcular a derivada da primeira função. É a primeira função mesmo, ou seja, f(x)),
  • 0:32vezes a derivada da segunda função, que é a derivada de g(x).
  • 0:36Em cada um dos termos nós temos que calcular a derivada de uma função e não da outra,
  • 0:42e assim nós alteramos.
  • 0:44Aqui a derivada de f, não a de g,
  • 0:47e aqui a derivada de g, não a de f.
  • 0:50Então fazendo uma pequena revisão, esta é a regra do produto.
  • 0:54O que eu quero fazer neste vídeo é replicar essa ideia da regra do produto
  • 0:59para algo que muitos livros de cálculo chamam de regra do quociente.
  • 1:04Claro, se já conhece essa regra você vai conseguir fazer os cálculos muito mais rápido,
  • 1:09mas como sempre esqueço qual é a regra do quociente, eu sempre parto da regra do produto
  • 1:14e eu consigo encontrar regra do quociente utilizando a regra do produto.
  • 1:18Mas vamos ver aquilo que eu estou falando.
  • 1:20Vamos deixar isso tudo mais claro.
  • 1:22Vamos imaginar que temos uma expressão escrita dessa forma:
  • 1:26f(x) dividido por g(x)
  • 1:29e nós queremos calcular a derivada disso,
  • 1:32ou seja, a derivada de f(x) sobre g(x).
  • 1:36O ponto-chave desse problema é reconhecer que isso aqui é a mesma coisa da derivada de,
  • 1:42em vez de escrever f(x) sobre g(x),
  • 1:45podemos escrever f(x) vezes (g(x))⁻¹.
  • 1:51A partir disso podemos utilizar a regra do produto.
  • 1:54Assim, qual vai ser o resultado disso aqui?
  • 1:57Vamos utilizar a regra do produto.
  • 1:59Nós vamos ter que essa derivada
  • 2:01vai ser igual à derivada da primeira função, que está aqui,
  • 2:05e vamos chamar isso de f'(x),
  • 2:08vezes a segunda função, que é (g(x))⁻¹
  • 2:12e isso mais a primeira função, que é f(x),
  • 2:16vezes a derivada da segunda função,
  • 2:18e é aqui que nós temos que parar e pensar um pouco sobre a composição de funções.
  • 2:24A derivada da parte externa, que será algo elevado a -1,
  • 2:28será -1 vezes, nesse caso, (g(x))⁻²
  • 2:32e nós teremos que calcular também a derivada da função interior em relação a x,
  • 2:38que será g'(x).
  • 2:41Assim encontramos isso utilizando a regra do produto e a composição de funções
  • 2:45que a gente costuma chamar de regra da cadeia.
  • 2:48Essa não é a regra do quociente que você costuma ver em seu livro de cálculo.
  • 2:52Então vamos simplificar isso aqui um pouco mais.
  • 2:54Podemos escrever esse termo logo aqui como f'(x) sobre g(x)
  • 3:00e poderíamos escrever tudo isso como...
  • 3:03Colocando o negativo na frente teremos -f(x) vezes g'(x)
  • 3:11e tudo isso sobre (g(x))².
  • 3:14Melhorando um pouco mais essa visualização, nós vamos ter tudo isso sobre (g(x))².
  • 3:19Claro, isso ainda não é a forma que você costuma encontrar em seu livro.
  • 3:24Para fazer isso nós temos que somar essas duas frações.
  • 3:27Então vamos multiplicar o numerador e o denominador por g(x),
  • 3:33encontrando tudo em função de (g(x))² no denominador.
  • 3:38Se multiplicarmos o numerador por g(x)
  • 3:40teremos g(x) aqui
  • 3:43e o denominador será (g(x))².
  • 3:45Agora a gente pode somar essas duas frações.
  • 3:48Assim a derivada de f(x) sobre g(x) vai ser igual à derivada de f(x) vezes g(x)
  • 3:58menos f(x) vezes g'(x)
  • 4:03e tudo isso sobre (g(x))².
  • 4:06Mais uma vez: você pode sempre derivar isso
  • 4:08utilizando a regra do produto e a regra da cadeia.
  • 4:12Então se quiser calcular a derivada de uma função desse tipo de uma forma mais rápida,
  • 4:17você não precisa utilizar a regra do produto.
  • 4:20Basta simplesmente utilizar essa regra, que é chamada de regra do consciente.
  • 4:25Então para você ver o padrão entre a regra do produto e a regra do quociente,
  • 4:29olhe bem isso aqui:
  • 4:30nós vamos sempre ter a derivada de uma função que multiplica a outra função
  • 4:35e em vez de somar a derivada da segunda função multiplicada pela primeira função,
  • 4:41nós vamos subtrair tudo isso sobre a segunda função elevada ao quadrado.
  • 4:47Quando encontramos a derivada da função no denominador aqui acima, existe uma subtração
  • 4:53e por isso nós vamos colocar tudo isso sobre a segunda função elevada ao quadrado.
  • 4:58Ou seja, diferente da regra do produto em que a gente tem uma soma,
  • 5:02aqui nós vamos ter uma subtração
  • 5:05e vamos colocar tudo isso sobre a segunda função elevada ao quadrado.