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Transcrição de The fundamental theorem of calculus and definite integrals

  • 0:00RKA3JV - Olá, tudo bem?
  • 0:01Aqui nós temos o gráfico de uma função y = f(t).
  • 0:05E aqui nós temos um intervalo que vai de "c" até "d".
  • 0:09Mais um detalhe, por que eu coloquei o "c" e o "d" aqui?
  • 0:12Bem, porque o "a" e o "b" eu vou deixar reservado,
  • 0:14porque eu vou usá-los um pouco mais tarde.
  • 0:17Tudo bem?
  • 0:17Então, a gente vai ter aqui apenas o intervalo "c" e "d".
  • 0:20Vamos supor, também,
  • 0:21que a gente tenha aqui um outro ponto "x" qualquer
  • 0:25e que a gente queira determinar a área abaixo da curva,
  • 0:29neste intervalo de "c" até "x".
  • 0:31Bem, vamos supor que a gente tenha uma função que indica para a gente
  • 0:35a área desta curva e esta função vai ser F(x).
  • 0:39Bem, então, a área abaixo desta curva vai ser essa função F(x).
  • 0:44Beleza?
  • 0:45E uma outra forma, também,
  • 0:47de calcular a área abaixo desta curva,
  • 0:50caso a gente já tenha uma função,
  • 0:52seria calcular a integral definida
  • 0:55neste intervalo aqui, indo de "c" até "x".
  • 0:59Então, neste intervalo indo de "c" até "x",
  • 1:03para esta função f(t) em relação a "dt".
  • 1:07Um detalhe, o nosso intervalo aqui é contínuo.
  • 1:11E é, exatamente, por este intervalo ser contínuo,
  • 1:13que a gente pode utilizar essa ideia aqui.
  • 1:16Inclusive, isto aqui é chamado de teorema fundamental do cálculo.
  • 1:20E que diz para a gente que a gente tem uma função F(x),
  • 1:23em que essa função F(x)
  • 1:25vai ser igual à integral da função f(t) dt.
  • 1:30Neste intervalo aqui, indo de "c" até "x",
  • 1:33desde que este intervalo seja contínuo.
  • 1:35Mas o que seria este F(x)?
  • 1:38Este F(x) é chamado de antiderivada de f(x).
  • 1:43Ou seja, caso a gente derive esta função F(x),
  • 1:49a gente vai encontrar uma função f(x).
  • 1:53Sendo assim, nós podemos dizer que esta função "F" maiúsculo
  • 1:57é uma antiderivada de "f" minúsculo de "x".
  • 2:00Isso indica para a gente que essa função, além de ser contínua,
  • 2:04também tem que ser diferenciável neste intervalo.
  • 2:07Ou seja, nós precisamos encontrar a derivada desta função
  • 2:11em qualquer ponto ao longo deste intervalo.
  • 2:14Beleza! Então, você conseguiu entender a ideia?
  • 2:15Essa função tem que ser contínua,
  • 2:17ao longo deste intervalo indo de "c" até "x",
  • 2:20e ela também tem que ser diferenciável ao longo deste intervalo.
  • 2:24Bem, vamos supor agora que a gente vai pegar outros dois pontos.
  • 2:27Este é outro ponto aqui, que eu vou chamá-lo de "b"
  • 2:31e este outro ponto aqui em "x = a".
  • 2:34Então, nós temos dois pontos aqui, em que aqui é "x = b",
  • 2:38e aqui é "x = a".
  • 2:39Vamos supor que eu queira calcular a área abaixo da curva,
  • 2:42neste intervalo que vai de "c" até "b".
  • 2:45De acordo com o teorema fundamental do cálculo,
  • 2:49basta eu integrar a função f(t)
  • 2:52no intervalo que vai de "c" a "x", certo?
  • 2:55Mas vamos apenas escrever essa informação aqui.
  • 2:57Nós vamos ter essa função F(b)
  • 3:00em que ela representa aqui para a gente
  • 3:02a área abaixo da curva
  • 3:04neste intervalo indo de "c" até "b".
  • 3:06Vamos supor agora que eu também queira
  • 3:08calcular a área abaixo da curva,
  • 3:10no intervalo indo de "c" até "a".
  • 3:12A gente vai querer dar o colar toda essa área aqui
  • 3:15indo de "c" até "a", certo?
  • 3:18Nós também vamos ter uma função que representa essa área,
  • 3:21que vai ser a função F(a).
  • 3:24Agora, vamos supor que a gente queira calcular
  • 3:27a área que vai neste intervalo aqui de "a" até "b".
  • 3:32Bem, para calcular a área neste intervalo que vai de "a" até "b",
  • 3:36a gente não precisa estabelecer uma outra função.
  • 3:38Basta apenas fazer a diferença entre a área de "b" com a área de "a".
  • 3:43Porque se eu tenho a área de "b" que corresponde a tudo isso aqui
  • 3:46e eu tirar essa área
  • 3:48que corresponde a este F(a),
  • 3:50eu vou encontrar essa área restante, que vai corresponder
  • 3:54para a gente, à área abaixo da curva
  • 3:56no intervalo de "a" até "b".
  • 3:58Então, basta subtrair este F(b),
  • 4:00que é a função que representa a área de "b",
  • 4:03menos F(a), que é a função que representa para a gente a área de "a".
  • 4:08Mas, como eu falei, pelo teorema fundamental do cálculo,
  • 4:11F(b) é igual à integral definida indo de "c" até "b" da função f(t) dt.
  • 4:21E F(a) é a integral definida indo de "c" até "a" de f(t) dt.
  • 4:30Bem, essa área aqui, então, seria a diferença entre as duas áreas.
  • 4:35A área "b", supondo que a área "b" seja maior que a área "a",
  • 4:39menos a área "a".
  • 4:40Vai sobrar, então, apenas essa área menor.
  • 4:43E para determinar essa área menor,
  • 4:45utilizando a ideia da integral,
  • 4:48basta calcular a integral definida
  • 4:51desta função f(t) nos limites de integração
  • 4:54indo de "a" até "b".
  • 4:56Então, esta área verde aqui,
  • 4:58que corresponde a essa diferença, também vai ser
  • 5:01igual à integral definida, indo de "a" até "b" de f(t) dt.
  • 5:08Sendo assim, nós podemos dizer que
  • 5:10essa integral aqui,
  • 5:12definida, com os limites de integração indo de "a" até "b" de f(t) dt,
  • 5:17vai ser igual à diferença destas funções que representam a área.
  • 5:21Da função que representa a área para "b"
  • 5:23menos a função que representa a área em relação a esse este "a" aqui,
  • 5:28de "c" até "a", neste intervalo indo de "c" até "a".
  • 5:31Em que F(b) representa a área abaixo da curva,
  • 5:33no intervalo indo de "c" até "b".
  • 5:35E F(a) representa a área abaixo da curva indo de "c" até "a".
  • 5:39Mas o que seria este "F"?
  • 5:41Este "F", conforme eu já falei anteriormente,
  • 5:44representa uma antiderivada de "f".
  • 5:46Então, quando eu estou falando deste "F",
  • 5:49eu estou dizendo que é uma função que representa a área.
  • 5:52Em termos do cálculo,
  • 5:53a gente pode dizer que este "F"
  • 5:55é uma antiderivada do "f".
  • 5:58Então, a gente pode até escrever essa informação aqui,
  • 6:01que "F" é antiderivada de "f".
  • 6:08Então, nós podemos até arrumar isto aqui
  • 6:10e dizer que a integral definida neste intervalo
  • 6:15indo de "a" até "b", é essa área
  • 6:18entre esses dois pontos conhecidos, de f(t) dt,
  • 6:24que a nossa função aqui y = f(t)
  • 6:27vai ser igual à antiderivada da função f(x)
  • 6:32calculada no ponto "b",
  • 6:36menos a antiderivada de f(x)
  • 6:41calculada no ponto "a".
  • 6:44Isto daqui, é um dos pontos mais importantes da aula de cálculo.
  • 6:48E, inclusive,
  • 6:49essa relação é chamada de segundo teorema fundamental do cálculo.
  • 6:54E é muito importante que você saiba o segundo teorema fundamental do cálculo,
  • 6:58quando você estiver calculando integrais definidas.
  • 7:01Assim, fica muito mais fácil você calcular uma integral definida
  • 7:05em dois limites de integração,
  • 7:07calculando apenas a antiderivada da função
  • 7:10e depois fazendo a diferença do cálculo destas antiderivadas
  • 7:14nestes dois pontos, no ponto "b" e no ponto "a".
  • 7:17Assim, a gente vai conseguir chegar à resposta
  • 7:19para essa integral definida.
  • 7:21Então, lembre-se que este é um dos pontos
  • 7:23mais importantes que você precisa guardar
  • 7:25aqui da aula de cálculo.