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Transcrição de Proof of fundamental theorem of calculus

  • 0:00RKA2G - Vamos dizer que nós temos uma função "f", que é contínua,
  • 0:05no intervalo indo de "a" até "b".
  • 0:09Se traçarmos o gráfico dessa função,
  • 0:11teríamos algo mais ou menos desta forma.
  • 0:13Aqui teríamos o "y",
  • 0:15aqui a gente teria o eixo "t"
  • 0:19e aqui a gente teria a função,
  • 0:22em que essa função seria y = f(t).
  • 0:27Eu falei que "f" é contínua dentro desse intervalo indo de "a" até "b",
  • 0:32então, aqui a gente tem o ponto "a"
  • 0:35e aqui temos o ponto "b".
  • 0:37Nós teríamos f(a) aqui, f(b) aqui
  • 0:41e aqui teríamos toda esta área abaixo desta curva.
  • 0:45Agora que já temos isto, vamos fazer o seguinte:
  • 0:48vamos dizer que a gente tenha uma função F(x)
  • 0:52em que essa função F(x) seja igual
  • 0:56à integral indo de "a" até um ponto "x" qualquer
  • 1:02de f(t) dt.
  • 1:05Bem, esta é a função f(t).
  • 1:08E estamos dizendo que F(x)
  • 1:11é igual à integral indo de "a" até um ponto "x" de f(t) dt,
  • 1:15onde esse "x" está dentro desse intervalo indo de "a" até "b".
  • 1:20Então, vamos dizer que a gente tenha aqui um ponto "x",
  • 1:22em que esse "x" está dentro desse intervalo.
  • 1:26Vamos escrever isso: onde "x" é maior ou igual a "a"
  • 1:31e que é menor ou igual a "b".
  • 1:33"x" está dentro desse intervalo indo de "a" até "b".
  • 1:37Você poderia até me dizer agora: "Olha só, professor,
  • 1:39aqui a gente tem que esta integral é a antiderivada desta função, não é?"
  • 1:45Mas vamos assumir, por um pequeno momento, que a gente não sabe disso.
  • 1:49Afinal de contas, é o que nós estamos querendo demonstrar neste vídeo.
  • 1:53Por outro lado, sabemos que esta integral corresponde a quê?
  • 1:57À área abaixo da curva em relação a esta função y = f(t),
  • 2:03isto indo do intervalo "a" até "x".
  • 2:06Então, o resultado desta integral que corresponde à área
  • 2:11vai de "a" até "x", esta área aqui.
  • 2:15É a partir desta ideia é que a gente vai chegar à conclusão
  • 2:18de que a integral de uma função é igual à sua antiderivada.
  • 2:22Mas vamos dizer que agora a gente queira calcular a derivada desta função.
  • 2:26Nós vamos ter F'(x) sendo igual a...
  • 2:30Como é que a gente calcula a derivada pela definição?
  • 2:33A derivada desta função é igual ao limite de Δx tendendo a zero
  • 2:40de F(x + Δx),
  • 2:45menos F(x),
  • 2:48tudo isso dividido por Δx.
  • 2:54Temos que a derivada de uma função é igual ao limite de Δx tendendo a zero
  • 2:59de F(x + Δx) - F(x), sobre Δx.
  • 3:04Isto vai ser igual a o quê?
  • 3:06Sabemos que F(x) é igual a esta integral.
  • 3:10Então, F(x + Δx)
  • 3:12vai ser igual à integral de f(t) dt indo de "a" até (x + Δx)
  • 3:18e F(x) é esta própria integral aqui.
  • 3:20Podemos até colocar que isto
  • 3:23é igual ao limite de Δx tendendo a zero
  • 3:29da integral indo de "a" até (x + Δx)
  • 3:34de f(t) dt - F(x),
  • 3:39que é a integral indo de "a" até "x"
  • 3:46de F(t) dt,
  • 3:49tudo isso dividido pelo Δx.
  • 3:51Mas o que representa isto?
  • 3:53Sabemos que a integral de uma função é a área abaixo da curva.
  • 3:57Como estamos querendo integrar de zero até (x + Δx),
  • 4:02e aqui a gente tem o "x",
  • 4:03então, (x + Δx) está um pouco à frente de "x".
  • 4:07E antes de "b", claro. Tem que estar definido neste intervalo.
  • 4:10Tudo tem que estar definido neste intervalo, ser contínuo neste intervalo.
  • 4:14Então, temos aqui (x + Δx).
  • 4:17Quando calculamos a integral indo de zero a (x + Δx) desta função f(t) dt,
  • 4:23temos toda esta área aqui,
  • 4:26que vai desde "a" até (x + Δx), abaixo desta curva.
  • 4:31Toda esta área verde corresponde ao resultado desta integral.
  • 4:36E nós já vimos antes
  • 4:37que o resultado desta integral f(t) dt indo de "a" até "x"
  • 4:42é esta área azul aqui.
  • 4:44Quando calculamos essa diferença entre estas integrais,
  • 4:48estamos pegando toda esta área aqui
  • 4:51e tirando esta parte da área.
  • 4:53Então, na verdade, a gente vai ter esta área aqui,
  • 4:57que vai de "x" até (x + Δx).
  • 5:01O resultado da diferença entre estas integrais
  • 5:04vai nos dar como resposta esta pequena área.
  • 5:07C, como observamos aqui, a gente pode dizer que esta área
  • 5:12vai ser igual à integral indo de "x" até (x + Δx) da função f(t) dt.
  • 5:18Esta área nós podemos dizer que é igual à integral
  • 5:23indo de "x" a (x + Δx)
  • 5:27de f(t) dt.
  • 5:29Logo, a derivada desta função, ou seja, F'(x),
  • 5:34é igual ao limite de Δx tendendo a zero
  • 5:39de 1/Δx, vezes a integral indo de "x" até (x + Δx)
  • 5:48de f(t) dt.
  • 5:51Esta expressão é muito interessante porque ela lembra alguma coisa.
  • 5:55Ela lembra o teorema do valor intermediário.
  • 5:59Mas o que seria este teorema do valor intermediário?
  • 6:02O teorema do valor intermediário... Vou escrever aqui.
  • 6:06O teorema do valor intermediário
  • 6:10das integrais definidas
  • 6:14diz que existe um "c", e o que seria este "c"?
  • 6:20Este "c" seria um ponto que estivesse mais ou menos aqui.
  • 6:23Então, a gente teria que um ponto "c", um t = c.
  • 6:26Só que esse "c" tem que estar dentro desse intervalo de "x" até (x + Δx).
  • 6:32Vamos escrever isso também:
  • 6:33onde "c" tem que ser maior ou igual a "x"
  • 6:37e menor ou igual a (x + Δx).
  • 6:41"c" tem que estar definido dentro deste intervalo.
  • 6:44O teorema do valor intermediário das integrais definidas
  • 6:48diz que existe um "c", que está definido neste intervalo, tal que f(c)...
  • 6:54O que seria f(c)?
  • 6:56Se a gente pegar que esse ponto "c" e calcular aqui na função,
  • 7:00vamos encontrar este f(c).
  • 7:04Aqui vai estar o f(c),
  • 7:08que vai encontrar a função neste ponto.
  • 7:10Então, aqui vai estar o ponto (c, f(c)).
  • 7:12E claro, obviamente, aqui tem uma certa altura.
  • 7:16E essa altura é igual ao próprio f(c).
  • 7:19E aqui nós temos uma base.
  • 7:21Essa base corresponde exatamente a Δx,
  • 7:26já que aqui temos "x" e, aqui, (x + Δx).
  • 7:28Esta base é Δx.
  • 7:31Se pegamos essa função f(c) e multiplicamos por Δx...
  • 7:37Vamos multiplicar aqui, f(c) vezes Δx.
  • 7:42Nós teremos algo igual à área abaixo desta curva.
  • 7:47Então, todas as vezes que a gente pegar este ponto "c",
  • 7:50pegar essa função f(c) e multiplicar por Δx,
  • 7:54que é a base desta figura formada aqui,
  • 7:57vamos encontrar algo exatamente igual à área abaixo da curva
  • 8:01neste intervalo entre "x" e (x + Δx).
  • 8:06E como a gente calcula a área baixo desta curva?
  • 8:09A área abaixo desta curva vai ser igual à integral indo de "x" até (x + Δx)
  • 8:17da função f(t) dt.
  • 8:21É isso que o teorema do valor intermediário diz:
  • 8:24diz que existe esse "c", definido no intervalo indo de "x" até (x + Δx),
  • 8:31em que, se a gente pegar esta função f(c)
  • 8:34e multiplicar por esta base Δx,
  • 8:37vamos encontrar a área abaixo da curva nesse intervalo.
  • 8:41E a área abaixo da curva nesse intervalo
  • 8:44é igual à integral indo de "x" até (x + Δx) de f(t) dt.
  • 8:49Uma outra forma de escrever esse teorema do valor intermediário
  • 8:52é dizer que f(c) é igual a 1/Δx,
  • 8:58vezes a integral indo de "x" até (x + Δx)
  • 9:04de f(t) dt.
  • 9:06E, se você prestar bem atenção, vai ver que, de fato, isso faz muito sentido
  • 9:11porque, se você quer esta função, em que esta função é o valor médio neste intervalo,
  • 9:17você vai pegar toda área abaixo da curva, que é isto,
  • 9:21e vai dividir pela base, que é o Δx.
  • 9:23Assim, você vai encontrar esta função f(c), que é o valor médio.
  • 9:28E é interessante ver isso
  • 9:29porque tudo isto é exatamente igual a esta parte.
  • 9:34Com isso, podemos dizer que a derivada de F(x)
  • 9:39vai ser igual ao limite de Δx tendendo a zero de toda esta parte aqui,
  • 9:44em que tudo isto é igual a f(c).
  • 9:48E o motivo de a gente poder fazer isso é exatamente devido a isto,
  • 9:53em que este "c" está definido no intervalo indo de "x" até (x + Δx).
  • 10:01Vamos escrever tudo isso.
  • 10:03Vamos escrever que existe um "c"
  • 10:06no intervalo indo de "x" até (x + Δx),
  • 10:11onde nós temos que a derivada de F(x)
  • 10:17é igual ao limite de Δx tendendo a zero
  • 10:23de f(c),
  • 10:24já que, neste intervalo indo de "x" até (x + Δx),
  • 10:291/Δx vezes a integral indo de "x" até (x + Δx) de f(t) dt
  • 10:35é igual a f(c).
  • 10:37Vamos fazer alguns comentários agora sobre esses limites. Vamos voltar aqui em cima.
  • 10:42A gente sabe que "c" está dentro deste intervalo.
  • 10:45E estamos querendo calcular o limite quando Δx tende a zero.
  • 10:49Quando Δx tende a zero, estamos falando que esta barra vertical
  • 10:53está indo para a esquerda.
  • 10:56Se esta barra está indo para a esquerda, ou seja,
  • 10:58se aproximando cada vez mais desta parte azul,
  • 11:03e o "c" está dentro deste intervalo,
  • 11:06o "c" também vai se aproximar do "x".
  • 11:09Dessa forma, podemos dizer que "c" está tendendo a "x",
  • 11:14ou seja, se aproximando de "x",
  • 11:16quando Δx está tendendo a zero.
  • 11:22Podemos até falar isso de forma intuitiva
  • 11:24porque, se você observar aqui,
  • 11:27à medida que esta barra amarela está se aproximando da barra azul,
  • 11:31ou seja, quando (x + Δx) está tendendo a "x",
  • 11:35o "c" que está aqui no meio também está tendendo a "x".
  • 11:39Assim, à medida que isso ocorre, a função f(c) também vai tender a f(x).
  • 11:45Então, podemos dizer que f(c) vai tender a f(x)
  • 11:50quando Δx está tendendo a zero,
  • 11:55já, que se o "c" está se aproximando do "x",
  • 11:58o f(c) também vai se aproximar do f(x).
  • 12:02Então, se, quando Δx tende a zero,
  • 12:04o "c" está tendendo a "x" e o f(c) está tendendo a f(x),
  • 12:09a gente pode simplesmente dizer que o limite, quando Δx tende a zero, de f(c),
  • 12:15vai ser igual a f(x).
  • 12:19Ok, você vai até me falar agora: "Ora, isso é algo intuitivo!"
  • 12:23Mas, como estamos fazendo uma demonstração,
  • 12:24será que existe uma forma mais segura de observar isso?
  • 12:27Sim, a gente pode utilizar o teorema do confronto,
  • 12:30dizendo o seguinte: que temos aqui o "x",
  • 12:33sendo menor ou igual a uma função c(Δx)
  • 12:38que é menor ou igual a (x + Δx).
  • 12:41Desta forma, estamos dizendo que esta função c(Δx)
  • 12:46está entre "x" e (x + Δx).
  • 12:49A gente sabe que o limite de Δx tendendo a zero de "x"
  • 12:55é igual ao próprio "x".
  • 12:57Já que o "x" não depende de Δx, vai ser o próprio "x".
  • 13:00E a gente também sabe que o limite de Δx tendendo a zero
  • 13:06de (x + Δx),
  • 13:08se Δx está tendendo a zero, o limite de (x + Δx) vai ser o próprio "x".
  • 13:14Como a gente tem este limite sendo igual a "x",
  • 13:17este limite sendo igual a "x"
  • 13:19e a função c(Δx) está dentro deste intervalo,
  • 13:24à medida que isto vai se aproximando do "x",
  • 13:27e este, que é o próprio "x",
  • 13:29a gente tem que o limite disto para quando Δx tende a zero
  • 13:33vai ter que ser igual ao valor dos limites dos dois lados
  • 13:36Se o limite do lado esquerdo é igual a "x"
  • 13:39e o limite do lado direito é igual a "x",
  • 13:41o teorema do confronto diz para a gente
  • 13:44que o limite de Δx tendendo a zero de c(Δx)
  • 13:50também tem que ser igual ao próprio "x".
  • 13:53Por isso podemos falar que, se temos um limite de Δx tendendo a zero de f(c),
  • 13:58isso vai ter que ser igual a f(x).
  • 14:01Dessa forma, a gente consegue chegar a esta conclusão e fazer esta demonstração.
  • 14:06Agora, já conseguimos utilizar todas essas ideias para fazer essa demonstração.
  • 14:11E o que a gente fez aqui?
  • 14:12Pegamos uma função contínua em um certo intervalo,
  • 14:17definimos uma função que seja a integral dessa função contínua,
  • 14:22indo de "a" até um ponto, ou seja, um certo intervalo,
  • 14:25e aí utilizamos a definição de derivada para chegar a esta função F(x).
  • 14:31Com isso, conseguimos falar que F'(x),
  • 14:37ou seja, a derivada desta função,
  • 14:39é igual a F(x).
  • 14:41Com isso, estamos falando que existe uma função F(x),
  • 14:45definida e contínua em um certo intervalo,
  • 14:49em que essa função é igual à derivada de uma outra função.
  • 14:53Ou seja, estamos praticamente falando que toda função contínua
  • 14:58possui uma antiderivada,
  • 15:00em que a antiderivada é igual à integral dessa função.
  • 15:04Claro que, antes, a gente falava isso de forma intuitiva,
  • 15:07mas é agora que fizemos a demonstração disso.
  • 15:10E existe uma coisa muito importante nessa demonstração
  • 15:13(e é por isso, inclusive, que é chamado de teorema fundamental do cálculo):
  • 15:17que estas ideias relacionam o cálculo diferencial com o cálculo integral.
  • 15:22Com isso, nós estamos relacionando a ideia de derivada
  • 15:27com a ideia de integral.
  • 15:29E, por mais que isso pareça óbvio, porque estávamos utilizando a todo momento,
  • 15:34é devido a todo este processo que a gente consegue relacionar estes dois cálculos:
  • 15:38o cálculo diferencial com o cálculo integral .
  • 15:41Então, se existe uma função f(t),
  • 15:44que seja contínua em um certo intervalo,
  • 15:47nós podemos dizer que existe uma antiderivada dessa função
  • 15:52em que a antiderivada vai nos dizer a área abaixo da curva dentro desse intervalo.