Transcrição de Trigonometric ratios in right triangles
- 0:00RKA - Vamos fazer mais uma tonelada de exemplos para ter certeza de que estamos aplicando bem
- 0:04essas funções de trigonometria. Então, vamos aplicar em alguns triângulos retângulos.
- 0:09Vamos fazer alguns triângulos retângulos.
- 0:12E eu quero ser bem claro.
- 0:14Da forma como eu defini até agora, só irá funcionar em triângulos retângulos. Se você está tentando encontrar
- 0:19funções de trigonometria de ângulos que não fazem parte de triângulos retângulos,
- 0:23vamos ver que teremos que construir triângulos retângulos.
- 0:26Vamos focar apenas nos triângulos retângulos agora.
- 0:29Vamos dizer que tenho um triângulo e seu comprimento aqui embaixo é 7.
- 0:34Digamos que o comprimento desse lado aqui em cima, vamos dizer que é 4.
- 0:38Vamos descobrir quanto medirá a hipotenusa. Então, vamos chamar a hipotenusa de "h".
- 0:45A gente sabe que "h" ao quadrado será 7 ao quadrado
- 0:49+ 4 ao quadrado. Sabemos isso do teorema de Pitágoras,
- 0:53que a hipotenusa ao quadrado é igual à soma dos quadrados dos catetos.
- 0:58h² é igual a 7² + 4².
- 1:02Então é igual a 49
- 1:04mais 16.
- 1:0749 mais 16,
- 1:0949 mais 10 são 59, mais 6 são 65.
- 1:1465. Então isso é "h" ao quadrado.
- 1:19Deixa eu escrever. "h" ao quadrado.
- 1:23Esse é um tom diferente de amarelo, então nós temos que "h" ao quadrado é igual a 65. Fiz isso certo?
- 1:2949 mais 10 é 59, mais 6, 65.
- 1:33Ou então, podemos dizer que "h" é igual a, se fizemos a raiz de ambos os lados,
- 1:37raiz quadrada de 65. Realmente não podemos simplificar. Isso é tudo. Isso é 13.
- 1:44É o mesmo que 13 vezes 5.
- 1:46Nenhum dos dois é um quadrado perfeito e os dois são primos, então não pode mais
- 1:50simplificar. E isso é igual a raiz quadrada de 65.
- 1:55Agora, vamos achar as funções, as funções trigonométricas desse ângulo aqui.
- 2:00Vamos chamar esse ângulo aqui de teta.
- 2:04Onde quer que você faça, sempre vai escrever, ao menos pra mim, escrever funciona, "Soh Cah toa"
- 2:11Soh, Cah, toa.
- 2:15Tenho essas vagas lembranças do meu professor de trigonometria,
- 2:18talvez eu tenha lido isso em algum livro, sei lá.
- 2:22Há alguma coisa sobre uma princesa indiana chamada "Sohcahtoa",
- 2:26ou, sei lá, mas é um método muito bom para memorizar.
- 2:28Podemos aplicar o "Soh Cah toa". Vamos dizer que queremos achar o
- 2:34cosseno. Queremos achar o cosseno do nosso ângulo, o cosseno do nosso ângulo, você diz "Soh Cah toa!"
- 2:41Então, o Cah nos diz o que fazer com o cosseno.
- 2:45A parte Cah diz que cosseno é adjacente sobre hipotenusa.
- 2:51Vamos olhar para o teta qual lado é adjacente. Bom, sabemos que é a hipotenusa
- 2:58é esse lado aqui. Então não pode ser esse lado.
- 3:02O único outro lado que é adjacente, que não é a hipotenusa é esse, 4. Então o lado adjacente aqui,
- 3:09esse lado aqui é literalmente ao lado do ângulo, é um dos lados que
- 3:14formam um ângulo. É 4 sobre a hipotenusa.
- 3:17Da hipotenusa já sabemos, é a raiz quadrada de 65.
- 3:20Então, são 4 sobre a raiz quadrada de 65.
- 3:24E algumas vezes as pessoas vão racionalizar o denominador,
- 3:27o que significa que não gostam de ter um número irracional no denominador, como a raiz quadrada de 65.
- 3:33Se vocês quisessem reescrever isso sem um número irracional no denominador,
- 3:39poderiam multiplicar o numerador e o denominador pela raiz quadrada de 65.
- 3:43Claramente não vai mudar o número, porque o estamos multiplicando
- 3:45por algo sobre ele mesmo, estamos multiplicando esse número por 1.
- 3:49O que não vai mudar o número, mas ao menos tira o número irracional do denominador.
- 3:53Então, o numerador se torna 4 vezes a raiz quadrada de
- 3:5765, e o denominador, a raiz de 65 vezes raiz de 65, que será só 65.
- 4:04Não nos livramos do número irracional, ainda está aí, mas ao menos está no numerador.
- 4:08Vamos fazer as outras funções trigonométricas, ou menos as funções mais básicas.
- 4:12Vamos aprender no futuro que, na verdade, tem um monte delas, mas elas são todas derivadas
- 4:16dessas aqui. Vamos pensar no que o seno de teta é, mais uma vez "Soh Cah toa".
- 4:22O "Soh" tem a ver com seno. Seno é
- 4:25cateto oposto sobre hipotenusa.
- 4:30Então, qual é o cateto oposto a esse ângulo?
- 4:33Vamos para o lado oposto, para o que ele abre. Ele abre para o 7.
- 4:38O lado oposto é 7.
- 4:40Isso é bem aqui. Esse é o lado oposto. E depois a hipotenusa
- 4:46é oposto sobre hipotenusa. A hipotenusa é raiz de 65,
- 4:50raiz quadrada de 65.
- 4:53Se quisermos racionalizar isso, podemos multiplicar pela raiz de 65 sobre a raiz de
- 4:5765, e no numerador teremos 7 raiz de 65. E no denominador, só 65 mais uma vez.
- 5:07Agora vamos calcular a tangente.
- 5:09Vamos fazer a tangente.
- 5:12Se eu te perguntar a tangente de
- 5:15teta, mais uma vez voltamos para
- 5:18"Soh Cah toa". A parte "toa" nos diz o que fazer com a tangente,
- 5:23nos diz que a tangente é igual ao
- 5:27cateto oposto sobre o cateto adjacente,
- 5:31que é igual ao cateto oposto sobre cateto
- 5:35adjacente. Então esse ângulo, o que é o oposto? Já descobrimos.
- 5:39É 7. Ele abre para o 7, é oposto ao 7, então é 7 sobre o seu adjacente.
- 5:45Esse 4 é o adjacente.
- 5:48O 4. Então o lado adjacente é 4.
- 5:51Então é 7 sobre 4. E acabamos. Descobrimos todas as relações trigonométricas para teta. Vamos fazer outro.
- 5:59Vou fazer isso um pouco concreto, porque até agora estávamos dizendo qual é a tangente de "x", de teta.
- 6:05Vamos fazer um pouco mais concreto.
- 6:07Vou desenhar outro triângulo retângulo.
- 6:12Tudo com o que estivermos lidando serão triângulos retângulos.
- 6:16Digamos que a hipotenusa mede 4.
- 6:20Vamos dizer que esse lado aqui
- 6:23mede 2.
- 6:25E vamos dizer que esse lado aqui será 2 vezes a raiz quadrada de 3.
- 6:31Podemos verificar que isso está certo.
- 6:33Se você tem esse lado ao quadrado, vou escrever 2 vezes a raiz quadrada de 3 ao quadrado,
- 6:39mais 2 ao quadrado é igual a quanto? Esse é 2.
- 6:44Teremos 4 vezes três.
- 6:464 vezes 3 + 4, isso será igual a 12, + 4, é igual 16.
- 6:53E 16 é realmente 4². Então isso é igual a 4².
- 6:59Está de acordo com o teorema de Pitágoras.
- 7:02Se você se lembrar de algo do vídeo sobre triângulos
- 7:0430, 60, 90, que deve ter aprendido em geometria, pode perceber que esse é um triângulo 30, 60, 90.
- 7:10Que isso aqui é o nosso ângulo reto.
- 7:12Eu deveria ter feito desde o começo para mostrar que é um triângulo retângulo.
- 7:16Esse ângulo tem 30 graus e esse ângulo,
- 7:21esse ângulo aqui tem 60 graus.
- 7:24E é 30, 60, 90, porque o lado oposto
- 7:28ao de 30 graus é
- 7:30metade da hipotenusa. E o lado oposto ao de 60 graus é raiz quadrada de 3
- 7:35vezes o outro lado que não é a hipotenusa.
- 7:38Dito isso, não será uma revisão de triângulos 30, 60, 90,
- 7:44apesar de eu ter acabado de fazer isso. Vamos achar as relações trigonométricas para os diferentes ângulos.
- 7:49Se eu ou qualquer um perguntasse qual é o seno de 30 graus?
- 7:54Lembrem que 30 graus é um dos ângulos desse triângulo,
- 7:57mas ele iria se aplicar sempre que tiver um ângulo de 30 graus e estivermos
- 8:01lidando com o triângulo retângulo.
- 8:03Vamos ter definições mais amplas no futuro, mas se diz seno de ângulos de 30 graus.
- 8:08Ei! Esse ângulo aqui tem 30 graus, então posso usar esse triângulo retângulo.
- 8:12Nós só temos que lembrar "Soh Cah... toa".
- 8:16"Soh" nos diz o que fazer com o seno. Seno é
- 8:20cateto oposto sobre hipotenusa. Seno de 30 graus é o lado oposto,
- 8:26que é o lado oposto, que é 2 sobre a hipotenusa. A hipotenusa aqui é 4.
- 8:31É 2 quartos, que é o mesmo que 1 meio. Seno de 30 graus, vocês vão ver que sempre será igual a 1 meio.
- 8:39E qual é o cosseno? O cosseno de 30 graus.
- 8:45Mais uma vez voltamos para
- 8:47"Soh Cah toa". O "Cah" nos diz o que fazer com o cosseno. Cosseno é cateto
- 8:53adjacente sobre hipotenusa. Para olhar o ângulo de 30 graus,
- 8:58ele é o cateto adjacente. Isso bem aqui é adjacente, está bem do lado, não é a hipotenusa, é cateto
- 9:05adjacente sobre hipotenusa. Então são 2 raiz quadrada de 3
- 9:09cateto adjacente sobre hipotenusa, sobre 4. Ou se simplificarmos isso, dividimos o numerador
- 9:16e o denominador por 2, é a raiz de 3 sobre 2. Finalmente vamos fazer a tangente.
- 9:22Tangente de 30 graus.
- 9:26Voltamos para o "Soh Cah toa".
- 9:30"toa" nos fala sobre tangente: é cateto oposto sobre cateto adjacente.
- 9:34Vai para o ângulo de 30° pois é ele que estamos estudando.
- 9:38Tangente de 30°. Cateto oposto é 2.
- 9:43E cateto adjacente é 2 raiz quadrada de 3, está bem do lado dele. É adjacente a ele.
- 9:48Adjacente significa logo ao lado. Então, 2 raiz quadrada de 3.
- 9:53Isso é igual a, os dois se cancelam, 1 sobre raiz de 3,
- 9:57ou podemos multiplicar o numerador e o denominador por raiz de 3.
- 10:00Então, temos raiz quadrada de 3 sobre raiz quadrada de 3. Isso será igual ao numerador.
- 10:06Raiz quadrada de 3 e depois o denominador bem aqui será 3.
- 10:11Agora que racionalizamos, raiz quadrada de 3 sobre 3. Muito bom.
- 10:16Vamos usar o mesmo triângulo para estudar ângulos de 60 graus, já que já desenhamos.
- 10:21Quanto é
- 10:24o seno de 60 graus? Acho que já estão pegando o jeito.
- 10:29Seno é cateto oposto sobre adjacente.
- 10:32Soh, vem de SohCahtoa.
- 10:35Qual é o lado oposto ao ângulo de 60 graus?
- 10:37O cateto oposto sobre hipotenusa
- 10:43é 2 raiz quadrada de 3 sobre 4.
- 10:454 é a hipotenusa. Então é igual a,
- 10:50simplifica para a raiz quadrada de 3 sobre 2,
- 10:53qual é o cosseno de 60 graus?
- 10:55Cosseno de 60 graus, "Soh Cah toa".
- 10:58O cosseno é cateto adjacente sobre hipotenusa.
- 11:02Adjacente é o lado que forma um ângulo de 60 graus com a hipotenusa.
- 11:09Então, é 2 sobre hipotenusa, que é 4.
- 11:14Então, é igual a meio.
- 11:18E depois, finalmente, qual é a tangente?
- 11:23Qual é a tangente de 60 graus?
- 11:26Opa! Tangente? SohCahtoa.
- 11:29"toa". Tangente é cateto oposto sobre cateto adjacente. O oposto ao ângulo de 60 graus é 2 raiz quadrada de 3.
- 11:38E adjacente a isso é 2.
- 11:42Adjacente a 60 graus é 2. Então é oposto sobre adjacente, 2 raiz de 3 sobre 2,
- 11:49o que é igual a raiz quadrada de 3. E eu só queria, olha como estão relacionados.
- 11:55O seno de 30 graus é o mesmo que o cosseno de 60 graus. O cosseno de 60 graus
- 11:59é o mesmo que o seno de 60 graus. E esses caras aqui são o inverso um do outro.
- 12:03Acho que se pensarmos um pouco sobre esse triângulo, vai começar a fazer sentido
- 12:07porque nós vamos continuar estendendo isso e te dar mais prática nos próximos vídeos.