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Transcrição de Proof of the quadratic formula

  • 0:00RKA - No vídeo "Completando quadrados", eu disse várias vezes que
  • 0:03toda a equação quadrática é possível de ser obtida pelo método de completar os quadrados.
  • 0:08Eu estava certo de que já havia feito essa prova mas, percebi que não,
  • 0:11então, deixa eu provar a equação quadrática para você, pelo método de completar os quadrados.
  • 0:17Digamos, que a gente tenha uma equação quadrática,
  • 0:22acho que uma equação quadrática é o que está tentando resolver
  • 0:25e o que muitas pessoas chamam de equação quadrática é, na verdade, a fórmula quadrática.
  • 0:30Mas, enfim, eu não quero ficar preso em terminologias.
  • 0:32Digamos que a gente tem uma equação quadrática escrita como:
  • 0:38"Ax" ao quadrado mais "Bx" mais "B" igual a zero.
  • 0:45Vamos só completar quadrados aqui. Como vamos fazer isso?
  • 0:49Vamos subtrair "C" dos dois lados para obtermos:
  • 0:52"ax²" mais "bx"
  • 0:57igual a "-c". Como eu havia dito no vídeo "Completando quadrados", não gosto de ter esse coeficiente
  • 1:03aqui, gosto de ter só um coeficiente no meu termo "x²", por isso divido tudo por "a".
  • 1:10Obtemos:
  • 1:11"x²" mais "B" sobre "A"
  • 1:17vezes "x"
  • 1:19igual, você tem que dividir os dois lados por "A",
  • 1:23"-C" sobre "A".
  • 1:26Agora, estamos prontos para completar o quadrado. O que era completar o quadrado?
  • 1:31Bom, é, de alguma forma, adicionar algo a essa expressão para que tenha a forma de algo
  • 1:36que é o quadrado de uma expressão. O que eu quero dizer com isso?
  • 1:40Bom, vou dar um exemplo aqui do lado.
  • 1:43Temos (x + a) ao quadrado é igual a
  • 1:50"x²" mais 2 "ax" mais "a²".
  • 1:57Se pudermos adicionar alguma coisa aqui, para que esse lado esquerdo desta expressão,
  • 2:01se pareça com isso, então, poderemos fazer de outra forma.
  • 2:05Podemos dizer que isso será "x" mais algo ao quadrado.
  • 2:09O que temos que adicionar aos dois lados? Se assistiu ao vídeo
  • 2:12"Completando quadrados", isso deveria ser intuitivo para você, pelo menos, eu espero.
  • 2:17O que faz é dizer: "Bom, esse B sobre A
  • 2:20corresponde com o termo 2a, então, "a" vai ser metade disso, vai ser metade desse coeficiente.
  • 2:27Esse seria o "a". O que precisamos adicionar é "a²",
  • 2:32precisamos tirar metade disso e elevar ao quadrado e adicioná-los aos dois lados.
  • 2:36Deixa eu fazer isso em uma cor diferente.
  • 2:39Rosa. Vou tirar metade disso, só estou completando o quadrado,
  • 2:43isso é tudo que estou fazendo. Não tem mágica aqui.
  • 2:46Mais metade disso, bom, metade daquilo é "B" sobre 2a, certo?
  • 2:51Você, apenas, multiplica por um sobre dois e tem que elevar ao quadrado.
  • 2:55Se fizemos isso para o lado esquerdo da equação, temos que fazer para o lado direito.
  • 2:59Mais ("B" sobre 2a) ao quadrado.
  • 3:06Agora, tenho esse lado esquerdo da equação na forma que é o quadrado de uma expressão, que é
  • 3:12"x" mais alguma coisa, e o que é isso? É igual a,
  • 3:17deixa eu mudar de cor de novo.
  • 3:19Com o que o lado esquerdo dessa equação se iguala? E você pode, apenas, usar esse padrão e para esquerda.
  • 3:25É "x" mais o que?
  • 3:29Bom, dissemos "a", pode ser feito de dois jeitos: "a" é 1 sobre 2 desse coeficiente
  • 3:35ou "a" é a raiz quadrada desse coeficiente.
  • 3:38Ou, considerando que nem ao menos elevamos ao quadrado,
  • 3:41sabemos que isso é "a", "B" sobre 2a é "a",
  • 3:45isto é a mesma coisa que
  • 3:48(x + B sobre 2A) ao quadrado.
  • 3:53Então, isso é igual. Vejamos se podemos simplificar isso ou fazer um pouco mais limpo. Isso é igual,
  • 4:01veja, se fosse para termos um denominador comum, só estou fazendo um pouco de álgebra aqui,
  • 4:07quando eleva ao quadrado vai ser 4a², deixa eu escrever isso.
  • 4:13Isso é igual a "B²" sobre 4A², certo? Se tivermos que adicionar essas duas frações,
  • 4:20deixa eu fazer isso é igual a 4A² ao quadrado,
  • 4:28certo? E o denominador é 4A² e o que o "-C"
  • 4:35sobre "A" se torna? Se multiplicarmos o denominador por 4a,
  • 4:40temos que multiplicar o numerador por 4A, isso vira
  • 4:43-4"AC", correto?
  • 4:48"B²" sobre 4A² é só "B²".
  • 4:54Vou só fazer um pouco de álgebra, espero não estar te confundindo, acabei de expandir isso.
  • 5:00Acabei de obter o quadrado disso, "B²" sobre 4A²,
  • 5:06então adicionei isso a isso e obtive um denominador comum.
  • 5:09"-C" sobre "A" é mesma coisa que -4AC sobre 4A². Agora, podemos obter a raiz quadrada
  • 5:15dos dois lados dessa equação, espero que isso esteja começando a ficar familiar para você.
  • 5:20Obtemos "x", se tirar a raiz quadrada dos dois lados dessa equação, obtemos "x" mais "B"
  • 5:27sobre 2A igual a raiz quadrada disso.
  • 5:31Vamos tirar a raiz quadrada do numerador e do denominador. O numerador é
  • 5:36vou colocar o "B²" primeiro, só vou inverter essa ordem, não importa, a raiz quadrada de "B²"
  • 5:41-4AC, certo? Isso é só o numerador.
  • 5:45Acabamos de obter a raiz quadrada e, agora, temos que obter a raiz quadrada do
  • 5:49denominador também. Qual é a raiz quadrada de 4A²?
  • 5:52Bom, é apenas, 2A, certo? 2A. Agora, o que fazemos?
  • 5:57Isso é muito importante, quando estamos tirando a raiz quadrada não é, apenas, a raiz quadrada positiva,
  • 6:02é a raiz quadrada positiva ou negativa.
  • 6:04Vimos isso duas vezes quando fizemos e, pode-se dizer, que é um
  • 6:08"mais ou menos" aqui também, mas se olhar um mais ou menos em cima e um mais ou menos em baixo,
  • 6:13pode escrever isso apenas uma vez em cima.
  • 6:15Vou deixar você pensar porque tem que escrever apenas uma vez.
  • 6:18Se tivéssemos o negativo e um mais, às vezes cortamos
  • 6:22ou um negativo e um negativo é a mesma coisa que ter, apenas, um mais em cima.
  • 6:26Enfim, eu acho que entendeu.
  • 6:27Agora, temos, apenas, que subtrair "B" sobre 2A dos dois lados e, obtemos, essa é a parte divertida,
  • 6:34obtemos "x" igual a "-B" sobre 2A
  • 6:39"mais ou menos" isso,
  • 6:42a raiz quadrada de "B²" menos 4AC,
  • 6:48tudo sobre 2A. Já temos um denominador comum, então, podemos, apenas, somar as frações.
  • 6:55Temos, vou fazer isso em um negrito vibrante, talvez, não tão vibrante, cor verde.
  • 7:01Então, obtemos: "x" igual a,
  • 7:05numerador, "-B" mais ou menos
  • 7:09a raiz quadrada de "B²" menos 4AC
  • 7:15tudo sobre 2A.
  • 7:18E essa é a famosa fórmula quadrática, aí está.
  • 7:22Nós a provamos, apenas, ao completar o quadrado.
  • 7:27Espero que tenha achado interessante, a gente se vê no próximo vídeo. Fui!