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Transcrição de Proof of power rule for square root function

  • 0:00RKA1JV - Neste vídeo, eu quero te mostrar a prova
  • 0:02da derivada da raiz quadrada.
  • 0:04O que nós queremos aqui é encontrar
  • 0:07a derivada em relação a "x", obviamente, da raiz quadrada de "x".
  • 0:13Para a gente realizar a demonstração de uma derivada,
  • 0:16a gente precisa calcular a derivada através da definição.
  • 0:19E como que a gente consegue calcular
  • 0:21a derivada de uma função através da definição?
  • 0:25Para fazer isso, a gente vai usar a ideia do limite.
  • 0:28A gente tem um limite do Δx tendendo a zero.
  • 0:32Lembre-se que alguns livros vão colocar
  • 0:34que é o "H" tendendo a "x",
  • 0:37em que o Δx vai ser o "H" menos o "x".
  • 0:40A gente tem aqui que a derivada em relação a "x"
  • 0:44de uma determinada função é igual ao limite com Δx tendendo a zero
  • 0:48dessa função avaliada no ponto (x, Δx).
  • 0:53A gente vai ter aqui a raiz quadrada de "x + Δx",
  • 1:00menos essa função no ponto "x".
  • 1:02A gente vai ter raiz quadrada de "x",
  • 1:05tudo isso dividido pelo próprio Δx.
  • 1:10Agora, uma forma interessante de a gente calcular isso aqui.
  • 1:14Se a gente substituir o Δx aqui por zero,
  • 1:18a gente vai chegar numa indeterminação.
  • 1:19E a gente não vai conseguir calcular esse limite.
  • 1:22Uma forma de eliminar essa indeterminação
  • 1:24seria encontrando uma outra função
  • 1:27em que o limite nesse ponto Δx tendendo a zero
  • 1:31tenha esse mesmo valor.
  • 1:32E uma forma de fazer isso seria multiplicando essa função aqui
  • 1:37por isso que está aqui em cima, mas trocando o sinal aqui,
  • 1:41em vez de aqui ser menos (-), a gente colocar o mais (+).
  • 1:44Por exemplo, a gente vai pegar e multiplicar isso tudo aqui
  • 1:46pela raiz quadrada de "x + Δx".
  • 1:52Em vez de ter uma subtração,
  • 1:54a gente vai ter uma adição da raiz quadrada de "x".
  • 1:58E como a gente multiplicou aqui em cima por essa expressão aqui,
  • 2:02a gente também precisa multiplicar o denominador pela mesma expressão.
  • 2:06Porque aí a gente não altera o resultado dessa função.
  • 2:09Então, a gente vai ter a raiz quadrada de "x + Δx",
  • 2:14mais a raiz quadrada de "x".
  • 2:18Porque tendo essa expressão aqui no numerador e no denominador,
  • 2:22a gente não altera o resultado aqui da função.
  • 2:25Agora que a gente fez isso,
  • 2:26a gente pode utilizar algumas propriedades da matemática.
  • 2:30Por exemplo, a gente sabe que (a + b) vezes (a - b) é igual a² - b².
  • 2:43E é justamente o que a gente tem aqui.
  • 2:45A gente tem aqui "a + b" vezes "a - b",
  • 2:49então a gente pode ter a², que é essa parte,
  • 2:52menos b², que é essa parte aqui.
  • 2:55Então, continuamos aqui embaixo.
  • 2:57A derivada em relação a "x" da raiz quadrada de "x"
  • 3:04é igual ao limite com Δx tendendo a zero de a².
  • 3:12Ou seja, a raiz quadrada de "x" mais Δx²
  • 3:16que é igual a "x" mais Δx.
  • 3:18Nós vamos ter aqui "x" mais Δx, menos b².
  • 3:25Ou seja, menos a raiz quadrada de x², que é igual ao próprio "x".
  • 3:31isso aqui dividido por Δx, vezes tudo isso aqui embaixo.
  • 3:35A gente vai ter aqui Δx vezes a raiz quadrada de "x + Δx",
  • 3:42mais a raiz quadrada de "x".
  • 3:45Vamos calcular isso aqui agora.
  • 3:47"x" menos "x" é igual a zero,
  • 3:50sobrando apenas o Δx aqui no numerador.
  • 3:53Só que aqui a gente tem um Δx em evidência no denominador,
  • 3:57então, a gente vai ter Δx dividido por Δx que é igual a 1.
  • 4:02Então isso é que vai ser igual ao limite com Δx tendendo a zero,
  • 4:08de 1 sobre essa parte aqui que sobrou.
  • 4:13A raiz quadrada de "x + Δx",
  • 4:17mais a raiz quadrada de "x".
  • 4:20Calculando isso aqui no limite
  • 4:22em que Δx tende a zero,
  • 4:24a gente vai ter 1 sobre,
  • 4:27como Δx tende a zero, essa parte vem para o zero.
  • 4:30Então, a gente vai ter apenas a raiz quadrada de "x"
  • 4:34mais a raiz quadrada de "x".
  • 4:37A gente vai ter como resposta
  • 4:401 sobre a raiz quadrada de "x" mais a raiz quadrada de "x",
  • 4:44é igual a duas vezes a raiz quadrada de "x".
  • 4:48A gente tem que a derivada da raiz quadrada de "x",
  • 4:52em relação a "x",
  • 4:53é igual a 1 sobre 2 vezes a raiz de "x",
  • 4:57que é a mesma coisa que 1/2 vezes "x" elevado a -1/2.
  • 5:04Ou seja, -1/2.
  • 5:06Essa é a resposta aqui da derivada da raiz quadrada de "x".
  • 5:10Lembrando que isso aqui está de acordo com a regra da potência
  • 5:13que a gente fez lá para os polinômios.
  • 5:15Então, lembrando, sempre que a gente tem um polinômio,
  • 5:18a gente tem que a derivada em relação a "x"
  • 5:21para esse polinômio,
  • 5:23ou seja, para "x" elevado a "n",
  • 5:26isso aqui vai ser igual a esse "n" vezes "x" elevado a "n - 1".
  • 5:34Neste caso aqui, a gente tinha "x" elevado a 1/2,
  • 5:38então, a gente vai ter 1/2 vezes "x" elevado a 1/2 menos 1
  • 5:43que vai ser igual a -1/2.
  • 5:46Então, isso aqui está de acordo com a nossa regra da potência
  • 5:49para as derivadas de polinômios.