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Transcrição de Limit of sin(x)/x as x approaches 0

  • 0:00RKA4JL - O que vamos fazer nesse vídeo
  • 0:01é provar que o limite com θ [teta] tendendo a zero
  • 0:04de sen de θ sobre θ é igual a 1.
  • 0:07Vamos usar uma série de técnicas trigonométricas.
  • 0:10Aqui temos o círculo unitário em branco.
  • 0:14Qual é o comprimento deste segmento cor de laranja?
  • 0:17Observe que esse comprimento é exatamente a ordenada do ponto
  • 0:22onde o raio do círculo intersecta o círculo e o segmento.
  • 0:27Por definição das funções trigonométricas,
  • 0:29o comprimento deste segmento é exatamente o seno do ângulo θ
  • 0:34e de fato, aqui estamos falando do valor absoluto,
  • 0:37o módulo do sen θ.
  • 0:39E este segmento azul?
  • 0:41Posso expressar o comprimento dele em termos de alguma função trigonométrica?
  • 0:45Vamos nos lembrar de uma coisa: o que é a tangente do ângulo θ?
  • 0:49Lembre-se de que a tangente do ângulo θ
  • 0:51é a medida do cateto oposto ao ângulo θ
  • 0:53dividida pela medida do cateto adjacente ao ângulo θ.
  • 0:57Se olhamos para este triângulo na borda,
  • 1:00temos nosso ângulo θ em radianos,
  • 1:03este segmento azul é justamente o cateto oposto ao ângulo θ
  • 1:06e o cateto adjacente ao ângulo θ é justamente o raio do círculo, que é 1.
  • 1:11Então aqui a tangente do ângulo θ é exatamente a medida do cateto oposto ao ângulo θ,
  • 1:17e tal qual antes,
  • 1:18este é o valor positivo para a tangente aqui no primeiro quadrante.
  • 1:22Mas eu quero trabalhar com situações envolvendo o primeiro e o quarto quadrantes,
  • 1:27então eu vou usar o valor absoluto da tangente do ângulo θ.
  • 1:31Vamos pensar sobre alguns triângulos e as suas áreas.
  • 1:34Deixe-me desenhar um triângulo aqui para começar
  • 1:37e um triângulo acompanhando aqui como se fosse uma fatia dessa torta do círculo.
  • 1:42Neste triângulo, vamos pensar sobre sua área.
  • 1:44Vou hachurar a área dele para que fique fácil de entender.
  • 1:47Qual é a expressão que determina essa área?
  • 1:50Lembre-se de que para calcular a área de um triângulo
  • 1:52podemos fazer ½ vezes a base vezes altura.
  • 1:55Sabemos que a altura é justamente sen θ
  • 1:58e sabemos também que a base é o raio do círculo unitário, que é 1.
  • 2:02Então a área que vai ser ½ vezes a base, que é 1,
  • 2:04vezes sen θ, que é a altura. Seno de θ em valor absoluto.
  • 2:08Reescrevendo de forma simplificada,
  • 2:10estamos falando do módulo sen θ sobre 2.
  • 2:13Vamos, agora, pensar na área deste setor circular.
  • 2:18Que fração do círculo todo essa área representa?
  • 2:21Se a volta inteira tem 2π,
  • 2:23então a fração representada pelo ângulo que determina o setor circular é θ sobre 2π.
  • 2:29Essa é a fração do círculo correspondente ao setor circular.
  • 2:33Então a área do setor circular é θ sobre 2π vezes
  • 2:37π vezes raio ao quadrado,
  • 2:39que nesse caso é π vezes 1², ou simplesmente π.
  • 2:43Simplificando, a área deste setor circular é θ sobre 2
  • 2:47e como estamos tratando com a possibilidade de θ estar também no quarto quadrante,
  • 2:51então vamos tratá-lo em valor absoluto.
  • 2:54Vamos agora pensar sobre este triângulo maior que eu vou destacar em azul.
  • 2:58De novo, a área aqui é ½ vezes base vezes altura.
  • 3:02Estamos falando dessa área inteira.
  • 3:05Vai ser ½
  • 3:06vezes a base, que é o raio do círculo unitário, portanto 1,
  • 3:09vezes o tamanho desse segmento azul, que é o módulo da tangente do ângulo θ,
  • 3:14ou simplesmente, simplificando, ½ vezes 1 vezes tg θ
  • 3:18temos simplesmente tg θ sobre 2,
  • 3:21módulo da tg θ sobre 2.
  • 3:23Agora vamos comparar as áreas destas três figuras.
  • 3:27O triângulo menor destacado em cor-de-rosa,
  • 3:30o setor circular destacado em laranja
  • 3:33e o triângulo maior azul.
  • 3:34Evidentemente a área do triângulo cor-de-rosa vai ser menor ou igual à área do setor circular
  • 3:41que vai ser menor ou igual à área do triângulo azul.
  • 3:44Observe que o setor circular tem a área do triângulo cor-de-rosa
  • 3:50mais esta cunha aqui
  • 3:52e o triângulo azul inclui a área do setor circular mais esta outra área externa.
  • 3:57Dessa forma podemos visualmente identificar que esta afirmação, estas desigualdades, são verdadeiras.
  • 4:04Agora eu vou fazer um pouco de manipulação algébrica.
  • 4:07Vou multiplicar tudo por dois para, evidentemente, simplificar aqui
  • 4:10de maneira que ao reescrever vamos ter o módulo do sen θ
  • 4:14menor ou igual ao módulo de θ
  • 4:16menor ou igual ao módulo da tg θ
  • 4:20e aqui na tg θ, que é sen θ sobre cos θ,
  • 4:24podemos escrever módulo do sen θ sobre módulo do cos θ.
  • 4:28Esta fração substitui o módulo da tg θ.
  • 4:32Agora eu posso dividir toda esta desigualdade pelo valor absoluto de sen θ.
  • 4:38Observe que estou dividindo por um valor positivo, então não vai modificar o sentido das desigualdades.
  • 4:45Escrevendo, então, (módulo sen θ) sobre (módulo sen θ),
  • 4:49módulo θ sobre módulo sen θ
  • 4:52e essa fração final multiplicamos por (1 sobre módulo sen θ),
  • 4:56que é mesma coisa que dividir pelo módulo sen θ.
  • 4:59O que vamos conseguir com isso?
  • 5:00Aqui nós temos 1.
  • 5:02Aqui no final, cancelando sen θ com sen θ
  • 5:04temos 1 sobre cos θ.
  • 5:06Meu próximo passo é tomar o inverso de cada membro das desigualdades,
  • 5:12mas eu preciso me lembrar de que quando eu inverto os membros das desigualdades
  • 5:17o sentido delas tem que ser trocado também.
  • 5:19Começando por aqui, o inverso de um é simplesmente 1.
  • 5:22Agora o sinal, que era menor ou igual, passa a ser maior ou igual.
  • 5:26O (módulo de θ) sobre (módulo sen θ)
  • 5:29passa a ser (módulo sen θ) sobre (módulo de θ)
  • 5:32e isso vai ser maior ou igual ao inverso de (1 sobre cos θ),
  • 5:37ou seja, cos θ.
  • 5:39Retomando, nós estamos falando do θ aproximando-se de zero
  • 5:42pelo primeiro ou pelo quarto quadrante.
  • 5:45Se estivéssemos no primeiro quadrante,
  • 5:46então θ é positivo e sen θ também é positivo.
  • 5:51Por outro lado, no quarto quadrante,
  • 5:53θ é negativo e sen θ também é negativo,
  • 5:56de forma que escrever essa expressão com os valores absolutos é desnecessário
  • 6:01porque se eles têm sempre o mesmo sinal, ao dividir, isso vai dar um resultado positivo.
  • 6:06Olhando para o cosseno também podemos tirar as barrinhas do módulo porque,
  • 6:11já que o cosseno é a abcissa do ponto de intersecção do círculo do raio e do segmento alaranjado,
  • 6:18então ele sempre é positivo.
  • 6:20No primeiro ou no quarto quadrantes o cosseno é positivo.
  • 6:23Aqui vamos dar uma olhada e imagine que estamos falando de três funções:
  • 6:26a primeira a função f(x), que é 1,
  • 6:29a segunda função g(x) e a terceira, h(x),
  • 6:33e no intervalo que estamos considerando,
  • 6:35ou seja, para θ entre (-π sobre 2) e (π sobre 2)
  • 6:40essas desigualdades são verdadeiras para qualquer valor de θ.
  • 6:44Observe que (sen θ) sobre θ é definido nesse intervalo
  • 6:47exceto quando θ é igual a zero.
  • 6:49Agora já estamos muito próximos de conseguir obter limite.
  • 6:52Pelo Teorema do Sanduíche, se isso é verdade no intervalo considerado,
  • 6:57sabemos também que a seguinte afirmação é verdadeira:
  • 7:01o limite com θ se aproximando a zero desta primeira função, que é 1,
  • 7:05é maior ou igual ao limite com θ tendendo a zero
  • 7:09de (sen θ) sobre θ
  • 7:11(e é justamente nesse limite que estamos de olho)
  • 7:14e ele é maior que ou igual ao limite com θ tendendo a zero de cos θ.
  • 7:19Este primeiro limite aqui é claramente igual a 1,
  • 7:23o segundo limite é justamente o que estamos estudando
  • 7:26e este terceiro limite,
  • 7:27limite de cos θ quando θ a tende a zero,
  • 7:30já que o cos θ é uma função continua,
  • 7:33então o cosseno zero sendo 1, este limite vale 1.
  • 7:36Assim o limite que estamos estudando vai ser menor ou igual a 1
  • 7:40e maior ou igual a 1.
  • 7:42A conclusão a que chegamos é que esse limite tem que ser exatamente igual a 1.
  • 7:47Pronto. Até o próximo vídeo!