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Transcrição de Limit of (1-cos(x))/x as x approaches 0

  • 0:00RKA4JL - O que vamos fazer neste vídeo é calcular o limite com x tendendo a zero
  • 0:03de (1 menos cos x) sobre x.
  • 0:06Para isso vamos usar um limite muito importante
  • 0:09que já foi demonstrado em um vídeo especialmente dedicado a ele,
  • 0:13que é limite com x tendendo a zero de sen x sobre x, que resulta em 1.
  • 0:19Existe um vídeo dedicado à demonstração deste famoso limite,
  • 0:22e para demonstrá-lo usamos o teorema do Sanduíche.
  • 0:25Vamos então ver o que acontece no limite que queremos calcular.
  • 0:29Primeiro vou manipular um pouco essa expressão.
  • 0:32Primeiro eu vou multiplicar o numerador e denominador por (1 mais cos x).
  • 0:37Estou multiplicando o numerador e o denominador pela mesma quantidade,
  • 0:40então não altero a fração que eu já tinha.
  • 0:43É como multiplicar por 1.
  • 0:45Vamos reescrever e simplificar,
  • 0:47observando que no numerador (1 menos cos x) vezes (1 mais cos x),
  • 0:52e aplicando o produto notável,
  • 0:54isso resulta em 1 menos cos² x
  • 0:58e no denominador vamos ter x vezes (1 mais cos x).
  • 1:02Mas o que é 1 menos cos² x?
  • 1:05Existe aquela identidade trigonométrica chamada "relação trigonométrica fundamental"
  • 1:10que diz que isso resulta exatamente em sen² x.
  • 1:14Vamos reescrever aqui.
  • 1:15Isso tudo vai ser igual ao limite com x tendendo a zero
  • 1:19e sen² x é sen x vezes sen x.
  • 1:25Aqui eu vou separar em duas partes,
  • 1:26vou ter o primeiro sen x sobre o fator x do denominador
  • 1:31vezes o segundo fator sen x do numerador sobre (1 mais cos x).
  • 1:37Feita esta pequena manipulação algébrica, que utilizou inclusive a relação trigonométrica fundamental,
  • 1:43temos aqui o limite do produto destas duas expressões
  • 1:46que pode ser reescrito como o produto dos limites dessas expressões.
  • 1:51Então posso escrever aqui o limite com x tendendo a zero de (sen x sobre x)
  • 1:56vezes o limite com x tendendo a zero de sen x sobre (1 mais cos x).
  • 2:03Agora esta primeira parte, este primeiro limite,
  • 2:06já foi provado em outro vídeo que vale exatamente 1,
  • 2:09é um limite bem famoso.
  • 2:11Então todo esse limite que nós estamos estudando
  • 2:14vai ser igual, simplesmente, a este segundo limite que temos aqui.
  • 2:17Estudando esta expressão, quando x tende a zero o sen 0 é zero,
  • 2:22e no denominador, cos 0 é 1,
  • 2:25então 1 mais 1, 2,
  • 2:28mais zero do numerador dividido por 2 dá zero.
  • 2:31Este limite todo, então, tende a zero.
  • 2:33Finalmente temos então que o limite todo que estamos procurando vai ser 1 vez zero.
  • 2:38Portanto, zero.
  • 2:39Então usando um pouquinho de técnica algébrica e da relação trigonométrica fundamental,
  • 2:44conseguimos calcular o limite com x tendendo a zero
  • 2:47de (1 menos cos x) sobre x
  • 2:49e esse limite resulta em exatamente zero.
  • 2:52Eu sugiro que você tente verificar isso graficamente.
  • 2:56Faça o gráfico dessa função definida por (1 menos cos x) sobre x
  • 3:00e procure verificar o que acontece com o limite com x tendendo a zero.
  • 3:03É um outro ponto de vista bastante interessante.
  • 3:06Até o próximo vídeo!