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Transcrição de Chain rule proof

  • 0:00RKA8JV - O que eu pretendo, neste vídeo,
  • 0:01é fazer uma prova
  • 0:04de uma regra que às vezes é elegante,
  • 0:07às vezes é infame,
  • 0:08chamada regra da cadeia.
  • 0:10Se você tem visto alguns vídeos,
  • 0:13especialmente no que diz respeito à diferenciabilidade,
  • 0:17implica continuidade,
  • 0:19e o que acontece com uma função contínua
  • 0:22quando a variação de "x", sendo "x" a variável independente,
  • 0:26se aproxima de zero
  • 0:28e a variação da nossa função, então, também se aproxima de zero,
  • 0:32você verá que esta demonstração é algo surpreendentemente simples.
  • 0:38A regra da cadeia nos diz que se temos "y",
  • 0:42que é função de (u),
  • 0:43que é função de "x'',
  • 0:45e nós queremos obter a derivada desta função
  • 0:49em relação a "x'',
  • 0:51ou seja, a derivada de "y" em relação a "x", ''dydx'',
  • 0:56isto vai ser igual à derivada de "y" em relação a "u"
  • 1:00vezes a derivada de "u'' em relação a "x".
  • 1:03Esta é a regra da cadeia.
  • 1:05Mas como vamos de fato prová-la?
  • 1:08Vamos lembrar que a derivada de ''y''
  • 1:10em relação a "x"
  • 1:12é o limite quando Δx tende a zero
  • 1:16da variação de ''y" sobre a variação em "x".
  • 1:21Agora podemos fazer uma pequena manipulação algébrica aqui
  • 1:24para introduzir a variação da função "u".
  • 1:27Isto vai ser então, igual ao limite quando Δx tende a zero,
  • 1:32e eu vou mexer nesta parte aqui.
  • 1:35O que eu vou fazer, essencialmente, é multiplicar e dividir pelo Δu,
  • 1:40a variação em "u".
  • 1:42Vou reescrever então esta parte como
  • 1:45Δy/Δu vezes Δu/Δx,
  • 1:52a variação de "y" sobre a variação em "u"
  • 1:56vezes a variação em "u" sobre a variação em "x".
  • 1:59Observe que aqui estamos tratando de números e então,
  • 2:02se fôssemos simplificar esta fração,
  • 2:04Δu cancelaria,
  • 2:06sobraria apenas Δy/Δx,
  • 2:08que era o que já tínhamos antes.
  • 2:10Mas vamos trabalhar agora com esta expressão,
  • 2:13lembrando que o limite do produto
  • 2:16é o produto dos limites.
  • 2:18Então isto vai ser a mesma coisa que o limite
  • 2:21de Δy/Δu
  • 2:24com Δx tendendo a zero
  • 2:26vezes o limite, também com Δx tendendo a zero,
  • 2:31de Δu/Δx.
  • 2:34Vamos ver agora como podemos simplificar isto aqui.
  • 2:37O que temos entre os parênteses azuis é a definição de du/dx.
  • 2:42Vamos lembrar que estamos assumindo
  • 2:44para que esta regra da cadeia seja verdadeira,
  • 2:46que "u" e "y" sejam diferenciáveis em relação a "x".
  • 2:51Então, assumindo que "y" e "u" são funções diferenciáveis em relação a "x"
  • 2:55e portanto contínuas em "x",
  • 2:58o que temos aqui entre os parênteses azuis
  • 3:01é a definição da derivada de "u" em relação a "x",
  • 3:05que é o du/dx.
  • 3:06Mas agora, o que está entre os parênteses laranjas
  • 3:10ainda não pode ser chamado dy/du
  • 3:13porque o limite está relacionado a Δx tendendo a zero,
  • 3:19e não o Δu
  • 3:20que é o que temos aqui no denominador.
  • 3:22Mas como podemos nos lembrar de vídeos anteriores,
  • 3:26em uma função contínua em ''x",
  • 3:29conforme o Δx se aproxima de zero,
  • 3:32o Δu também tende a zero.
  • 3:35Então, já que estamos assumindo que "u" é uma função contínua em "x",
  • 3:42diferenciável em "x",
  • 3:44se o Δx tende a zero, então, Δu também tende a zero.
  • 3:49Ou seja, se a variação em "x" vai ficando cada vez menor,
  • 3:52a variação em "u" também vai ficando cada vez menor,
  • 3:56então podemos, tranquilamente, no limite,
  • 3:58substituir o Δx tendendo a zero por Δu tendendo a zero, isso é verdade.
  • 4:03Agora sim, o que temos aqui é simplesmente dy/du,
  • 4:07pela definição de derivada.
  • 4:09O que temos aqui, então, é exatamente a regra da cadeia, dy/du vezes du/dx.
  • 4:14Ou seja, assumindo que "y" e "u" são funções contínuas em "x",
  • 4:19diferenciáveis em ''x'',
  • 4:21a derivada de "y" em relação a "x",
  • 4:24sendo que "y" é uma função de "u", que é uma função de "x",
  • 4:27é a derivada de "y" em relação a "u"
  • 4:30vezes a derivada de "u" em relação a "x",
  • 4:33e fizemos isso como uma álgebra bastante simples,
  • 4:37e apenas usando suposições
  • 4:40a respeito da continuidade e da diferenciabilidade de "y" e de "u"
  • 4:46em relação a "x".
  • 4:48Enfim, a derivada de "y" em relação a "x"
  • 4:51é igual à derivada de ''y" relação a "u"
  • 4:53vezes a derivada de "u" em relação a "x".
  • 4:58Espero poder ter convencido.
  • 5:00Até o próximo vídeo!