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Transcrição de Proof: the derivative of ln(x) is 1/x

  • 0:00RKA4JL - O que vamos fazer neste vídeo é provar que a derivada do ln de x em relação a x
  • 0:05é, de fato, igual a 1 sobre x.
  • 0:07Vamos começar retomando a definição de derivada.
  • 0:10A derivada do ln x em relação a x é o limite, com delta x tendendo a zero,
  • 0:17do (ln (x mais Δx) menos ln x) sobre Δx.
  • 0:23Vamos agora utilizar algumas propriedades dos logaritmos.
  • 0:26A primeira delas é a ideia de que o logaritmo natural de "a" menos o logaritmo natural de "b"
  • 0:32é igual ao logaritmo natural de (a sobre b).
  • 0:34Na verdade, isso acontece em qualquer base de logaritmo.
  • 0:37O que temos aqui no numerador do nosso limite é uma situação parecida com essa,
  • 0:40então o numerador pode ficar como ln ((x mais Δx) sobre x)
  • 0:46e este ln sobre o Δx.
  • 0:48Então o que fizemos aqui foi usar a ideia
  • 0:50de que o logaritmo de uma expressão menos o logaritmo de outra expressão pela propriedade
  • 0:55é o logaritmo do quociente da divisão de uma expressão pela outra.
  • 0:59Olhando aqui no logaritmando,
  • 1:01x dividido por x é 1
  • 1:03e Δx dividido por Δx é isso mesmo,
  • 1:05então ficamos com 1 mais (Δx sobre x).
  • 1:08Reescrevendo o limite,
  • 1:09temos o limite com Δx tendendo a zero de (1 sobre Δx),
  • 1:14eu só separei o denominador ali,
  • 1:16vezes o logaritmo natural de (1 mais (Δx sobre x).
  • 1:21Vamos agora utilizar uma outra propriedade dos logaritmos.
  • 1:24Quando eu tenho "a" vezes o logaritmo de "b", em qualquer base,
  • 1:28isso equivale a escrever o logaritmo de "b" elevado a "a".
  • 1:33Observe que esse "a" multiplicando o logaritmo vira o expoente do logaritmando.
  • 1:37Voltando ao nosso limite, o que temos é uma situação bem parecida,
  • 1:41mas no lugar do que era a letra "a" no exemplo da propriedade,
  • 1:44nós temos essa expressão 1 sobre Δx, que é uma constante
  • 1:47e eu vou colocá-la como expoente no logaritmando.
  • 1:50Ficamos então com o limite com Δx tendendo a zero do ln
  • 1:55(e agora vou deixar aqui um espaço)
  • 1:57da expressão (1 mais (Δx sobre x)),
  • 2:01tudo isso elevado a (1 sobre Δx),
  • 2:03que era o que estava multiplicando o logaritmo e veio como expoente agora.
  • 2:07Eu espero que essa expressão esteja ficando familiar para você,
  • 2:10porque ela está bem próxima da definição do número "e".
  • 2:13Vou fazer uma mudança de variável aqui para ajustar as coisas.
  • 2:17Vamos considerar n igual a Δx sobre x
  • 2:21e nesta igualdade, multiplicando os dois lados por x,
  • 2:24vamos ficar com nx igual a Δx.
  • 2:27Eu já escrevi trocando os lados da igualdade
  • 2:30e como consequência 1 sobre Δx vai ser igual a 1 sobre nx,
  • 2:35o que equivale a escrever (1 sobre n) vezes (1 sobre x).
  • 2:38Estas são todas as substituições que quero fazer em termos da troca de variável.
  • 2:43Voltando ao nosso limite, quando dizemos que Δx tende a zero precisamos pensar no n.
  • 2:49n tende a quanto?
  • 2:51Observando que n é igual a Δx sobre x,
  • 2:54se Δx tende a zero, então n também tende a zero,
  • 2:58porque Δx tendendo a zero teríamos zero sobre x, que é zero
  • 3:01e nós podemos usar isso já que x não é zero.
  • 3:04Zero para x não está no domínio da função logarítmica, então não temos essa limitação.
  • 3:09Conclusão: n tende a zero, já que o Δx tende a zero.
  • 3:13Vamos agora reescrever o limite fazendo essas substituições,
  • 3:17começando o limite com n tendendo a zero,
  • 3:20não mais o Δx, estamos trocando as variáveis.
  • 3:23Esse limite aplicado ao logaritmo natural de 1 mais...
  • 3:28Agora em vez de Δx sobre x, eu vou escrever simplesmente n
  • 3:31e tudo isso antes era elevado a (1 sobre Δx),
  • 3:34então agora observe que 1 sobre Δx
  • 3:37é igual a (1 sobre n) vezes (1 sobre x) na nossa troca de variáveis,
  • 3:41então o expoente aqui fica (1 sobre n) vezes (1 sobre x).
  • 3:46Vamos agora revisar e escrever novamente este limite.
  • 3:49Limite com n tendendo a zero do logaritmo natural de (1 mais n) elevado a (1 sobre n),
  • 3:56e tudo isso elevado a (1 sobre x).
  • 3:58Observe os expoentes multiplicando
  • 4:00e nós temos aquela propriedade da potência que se chama "potência da potência",
  • 4:04que é o que nós estamos fazendo aqui.
  • 4:05Agora vamos voltar àquela mesma propriedade do expoente.
  • 4:09No logaritmando, ele pode ir na frente do logaritmo, multiplicando.
  • 4:12Então esse 1 sobre x pode multiplicar ali na frente do ln.
  • 4:16Mais ainda, eu posso colocar esse 1 sobre x na frente do limite,
  • 4:19porque a variável para a qual estamos olhando no limite é n, n que tende a zero.
  • 4:23Então 1 sobre x pode multiplicar fora do limite.
  • 4:27Essa expressão toda fica igual a (1 sobre x) vezes o limite com n tendendo a zero
  • 4:33do logaritmo natural de (1 mais n) elevado a (1 sobre n).
  • 4:38Vamos, então, aplicar o limite.
  • 4:41Isto vai ficar igual a (1 sobre x)
  • 4:43vezes o logaritmo natural do limite com n tendendo a zero
  • 4:48de (1 mais n) elevado a (1 sobre n).
  • 4:51Usamos a ideia do limite da função composta aqui, mas agora aparece algo bastante interessante:
  • 4:57tudo isso que eu estou destacando em branco é a definição do número "e".
  • 5:01Então aqui isso tudo é igual a "e".
  • 5:04E quanto é o logaritmo natural de "e"?
  • 5:06Ora, é simplesmente 1.
  • 5:08Então essa expressão toda fica igual a (1 sobre x) vezes 1,
  • 5:12ou simplesmente (1 sobre x), que é exatamente o resultado ao qual queríamos chegar,
  • 5:17que é a derivada do ln x em relação a x igual a simplesmente (1 sobre x).
  • 5:22Até o próximo vídeo!