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Transcrição de Product rule proof

  • 0:00RKA4JL - Neste vídeo vamos provar a derivada do produto de duas funções.
  • 0:05A derivada de uma função, a derivada df(x)/dx,
  • 0:11é igual ao limite, quando h tende a zero, de f(x) mais h menos f(x) sobre h.
  • 0:20Isso a gente pode escrever também como f'x.
  • 0:24Partindo desse princípio, nós temos agora como fazer a derivada do produto,
  • 0:30a derivada de uma função (f(x) vezes g(x)) dx.
  • 0:37Isso vai ser igual ao limite de h tendendo a zero de quem?
  • 0:41De f(x) mais h g(x) mais h menos f(x) g(x)
  • 0:51e isso tudo sobre h. Tudo bem.
  • 0:54Só que aqui nós podemos fazer uma maneira um pouco diferente
  • 0:58para tentar ver uma forma de chegarmos na regra do produto.
  • 1:04Vamos colocar o limite de h tendendo a zero.
  • 1:08Vamos escrever a mesma equação, só que neste numerador vamos somar e subtrair duas parcelas,
  • 1:15ou seja, não vamos mexer no numerador.
  • 1:18Mas você vai ver porque nós vamos fazer isso.
  • 1:20Então você tem f(x) mais h g(x) mais h
  • 1:26menos f(x) mais h g(x) mais f(x) mais h g(x)
  • 1:36e vamos repetir menos f(x) g(x).
  • 1:41Quase que não deu.
  • 1:42E isso tudo sobre h.
  • 1:44Agora veja: neste termo nós podemos colocar em evidência f(x)
  • 1:51e neste termo podemos colocar em evidência g(x).
  • 1:55Então vamos ficar com o limite de h tendendo a zero
  • 1:59de f(x) mais h vezes g(x) mais h menos g(x),
  • 2:09colocamos em evidência o f(x) mais h
  • 2:15e isso tudo sobre h
  • 2:17mais o limite, porque o limite da soma é a soma dos limites,
  • 2:22então nós temos o limite de h tendendo a zero de quem?
  • 2:26Agora vamos colocar g(x) em evidência.
  • 2:28Temos g(x) multiplicado por f(x) mais h menos f(x).
  • 2:36Isso tudo sobre h.
  • 2:39Então, agora, nós temos um limite de uma multiplicação.
  • 2:42Façamos o seguinte: vamos tirar essa multiplicação e deixar o h só nesse segundo termo,
  • 2:48ou seja, ficamos com limite de h tendendo a zero de f(x) mais h
  • 2:58vezes o limite de h tendendo a zero de g(x) mais h menos g(x)
  • 3:06(você deve estar vendo pra aonde isso vai)
  • 3:08mais limite de h tendendo a zero de g(x)
  • 3:14vezes o limite de h tendendo a zero de f(x) mais h menos f(x),
  • 3:22e isso tudo sobre h.
  • 3:24Este cara aqui, quando h tende a zero,
  • 3:28você tem que f(x) mais h, h tendendo a zero, é o próprio f(x).
  • 3:33Limite de g(x) mais h menos g(x) sobre h, quando h tende a zero, é a definição da derivada,
  • 3:40ou seja, aqui é a derivada de g(x),
  • 3:44mais limite de g(x), quando h tende a zero, g(x) não depende de h, então é o próprio g(x) vezes...
  • 3:52O limite de f(x) mais h menos f(x) sobre h, quando h tende a zero,
  • 3:57é a definição da derivada, portanto é a derivada de f(x).
  • 4:02Então nós vamos ter que a derivada do produto, a derivada de f(x) g(x),
  • 4:09vai ser igual ao primeiro vezes a derivada do segundo
  • 4:14mais o segundo vezes a derivada do primeiro.
  • 4:19Assim nós provamos a regra da derivada da multiplicação de duas funções.