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Transcrição de If function u is continuous at x, then Δu→0 as Δx→0

  • 0:00RKA3JV - Neste vídeo, vamos preparar para a prova da regra da cadeia.
  • 0:04Vamos supor que uma função u(x) seja contínua.
  • 0:09Então, ela é contínua, não tem pontos de descontinuidade
  • 0:14quando "x" tende a um determinado valor "c".
  • 0:21Então, isso implica que a variação de "u",
  • 0:25ou seja, a variação da função "u"
  • 0:28tende a zero,
  • 0:29quando a variação de "x" tende a zero.
  • 0:35Então, é isso que nós vamos demonstrar
  • 0:38e preparar para regra da cadeia.
  • 0:40Ora, se você tem o limite de u(x)
  • 0:47quando "x" tende a "c", e a função é contínua,
  • 0:53você vai obter o u(c).
  • 0:55Ou seja, ele não vai ser um ponto que
  • 0:58não esteja dentro da continuidade da função.
  • 1:01A aproximação pelo lado esquerdo vai ser igual à aproximação pelo lado direito,
  • 1:06que será igual à aproximação quando "x = c".
  • 1:11Pela propriedade dos limites,
  • 1:13podemos dizer que o limite de u(x) - u(c),
  • 1:23onde este u(c) é um número,
  • 1:25este u(c) depende de "c", mas está aplicado à função "u".
  • 1:30E você obtém um número como 5,
  • 1:33como π, como "e".
  • 1:35Quando você tem "x" tendendo a "c", ora, simplesmente,
  • 1:42este limite vai tender a zero.
  • 1:44Pois, obviamente, u(x) será u(c), e u(c) - u(c) será zero.
  • 1:51Então, vamos ver aqui no gráfico,
  • 1:54mais ou menos, o que está acontecendo.
  • 1:56Então, temos aqui nosso eixo "u"
  • 1:59que nós estamos usando como uma variável para essa definição.
  • 2:03Aqui, nosso "x", e vamos colocar uma função qualquer.
  • 2:07Então, nós temos o nosso ponto "c",
  • 2:11que vale na nossa função u(c).
  • 2:15Nós temos nosso ponto "x", que vale na função nosso u(x).
  • 2:23E o que nós queremos mostrar é que o Δu,
  • 2:28que vai ser igual a u(x) - u(c) tende a zero.
  • 2:36E o Δx vai ser igual a "x - c".
  • 2:41Ou seja, nosso Δx
  • 2:46é essa distância daqui para cá, "x - c".
  • 2:49Essa distância daqui para cá.
  • 2:51Enquanto que nosso Δu é a nossa distância na função "u",
  • 2:56essa distância vertical.
  • 2:58Significa que quando "x" tende a "c",
  • 3:03quando "x" tende a um valor menor,
  • 3:06o u(x) tende a u(c).
  • 3:09Portanto, o nosso limite de Δu para Δx,
  • 3:16tendendo a zero, será igual a zero.
  • 3:20E isso vai ser muito importante para que, nos próximos vídeos,
  • 3:25nós possamos demonstrar a regra da cadeia.
  • 3:28Pois, como Δx tende a zero,
  • 3:33obviamente, Δu também tende a zero.