Demonstração: qualquer base de subespaço tem o mesmo número de elementos

vamos dizer que eu tenha um conjunto a e que esse conjunto seja o conjunto dos vetores a1 a2 até percorremos todo um caminho e chegarmos no vetor a eni e esse conjunto é uma base para 1 subir passo ver o que eu quero mostrar nesse vídeo é que se esse conjunto aqui tem elementos esse conjunto tem elementos qualquer conjunto que gere ver qualquer que seja o nosso conjunto que vai gerar o seu espaço então qualquer conjunto que gere ver deve ter no mínimo n elementos deve ter no mínimo ele elementos ou n membros ou cardinale dade n há muitas maneiras diferentes de dizermos que esse conjunto aqui tem que ter ele vetores eu estou dizendo que todo o conjunto que geram vf ter elementos se o conjunto de bases oma tem elementos para ver vamos ver se podemos correr com um conjunto que tem menos do que elementos e se a gente consegue chegar em algumas contradições aqui sendo assim vamos dizer que eu tenho um conjunto bem aqui que vai ser formado pelos vetores p1 b2 que percorre todo o caminho até mais enxergar mas no último vetor que vai ser o vetor bm vamos dizer também que m é menor do que ele então eu tenho um conjunto soma de vetores aqui que tem menos elementos do que o meu conjunto há aí um dia você vem pra mim e diz olha eu encontrei um conjunto de vetores aqui e esse conjunto não só tem menos elementos do que há como ele também gera ver eu olho pra você muito desconfiada porque eu sempre pensei que essa imersão band aqui fosse uma afirmação verdadeira então vamos começar agora experimentar um tipo de raciocínio eu digo ok você afirma que seu conjunto gera vi então vamos fazer alguma coisa então deixou definiu o novo conjunto e eu vou chamar esse novo conjunto de conjunto b1 linha e você vai ver porque eu estou usando esse tipo de notação estranha e que essencialmente vai ser igual ao meu conjunto b e mais o vetor é um dom ou escrever aqui o vetor a 1 e todos os outros vetores pertencente ao conjunto bbb 11 bi 2 até chegar no bn eu acho que tanto eu quanto você a gente pode concordar que esse conjunto vai ser um conjunto linearmente independente como é cediço bom dependência e lecce que medida que ao menos um dos elementos deste conjunto pode ser representado como uma combinação liberdade outros como nós sabemos que é um é um dos vetores de base para ver para esta definição de uma base mas todos os vetores de base são membros de ver se esse conjunto é uma base para ver e não significa que esse conjunto gera ver o que todo membro de ver pode ser representado como uma combinação desses caras aqui ou de uma outra maneira todas as combinações de áreas destes caras estão em v e uma das combinações destes caras é você definir coeficiente de um gomo sendo 1 eo coeficiente de todos os outros 60 então obviamente há um pertence a esse conjunto também eu sei que é um é o elemento que pertence a ver esse é um pertence a ver e todos esses caras aqui o definição ele geram ver todos esses geram um conjunto ver as combinações linhares desses caras podem ser usadas para construir qualquer membro deverá assim você também pode ter alguma combinação de ar desses caras para construir a 1 a gente pode dizer por exemplo que a um é igual à de uma onde os valores devam ser constante de 1 b1 mais de 2 b 2 mas de 3 b3 até chegamos em de mbm sendo que ao menos um deles tem que ser diferente zé nós sabemos que há não é um vetor zero se a força vetor zero sei que não poderia ser uma base que não seria linearmente independente porque você sempre pode representar o vetor zero como se na combinação do vetor zero vezes qualquer outro vetor portanto isso é que não pode ser zero então pelo menos uma dessas constante tem que ser diferente 0 então nós vamos dizer apenas para fins de argumentação que o dj que vai ser o coeficiente de bj não vai ser igual a zero vai ser uma constante diferentes é então vamos resolver pra esse aqui em algum lugar aqui a gente vai ter um termo que a gente pode denominar como sendo o termo dj dj constante dj mas o termo dj mais várias outras coisas aqui nós podemos resolver pra esse termo se subtrairmos nesse termo aqui de ambos lados da equação dividimos ambos os lados por menos de j e colocar esse - a 1 aqui do outro lado vamos ver o que nós conseguimos eu sei o que eu falei foram várias operações mas todas elas são diretas então acho que nós podemos reescrever isso aqui podemos resolver por nós o termo bj e vamos dizer que isso vai ser igual a menos 1 sobre nossa constante dj vezes se subtrairmos a onde ambos os lados da equação nós vamos ficar com menos a 1 - são mais de um de 11 e teremos de 2002 nós vamos ter uma lacuna que eu sei que parece uma anotação pouco convencional mas vamos percorrer todo esse caminho aqui até chegarmos em de mbm eu estou fazendo tudo isso para mostrar que o definição você pode escrever a 1 como a combinação leardi os outros caras aqui mas você pode reorganizar as coisas você pode reorganizar de modo que você pode escrever um desses caras aqui como se na combinação olhar de dodô resto esses outros cargos e em um esse cara agora é redundante eu não preciso desse cara por mais tempo para continuar gerando ver é evidente que esse conjunto ainda gera ver eu adicionei um vetor a mais aqui mas eu posso remover esse vetor esse cara aqui do meu conjunto de uma linha e assim gerar fia como eu sei disso porque eu posso conseguir ele então retirá lá não estou perdendo nada porque casa precisa desse vetor para construir algum outro vetor eu posso construir ele com uma combinação lear do resto dos elementos de bem mais uma aventura então vamos remover esse elemento aqui chamar esse novo conjunto de b1 na verdade pelos por uma questão de notação deixou mudar um pouco os nomes aqui senão é muito convencional você não vai ver assim um livro mas eu acho que é um pouco mais fácil ao invés de continuar falando desses caras que estão aqui no meio quer dizer que esses nomes aqui b1 b2 bm eles são nomes arbitrários então deixei a nomeá los eu vou apenas dizer que j é igual a b1 e eu vou dizer que b1 vai ser igual a pj eu estou apenas trocamos esses nomes aqui peguei esse cara que renome ele como bueeu9 nome e um dj pra que eu pudesse trocar los então eu remover b1 do meu vetor apenas para fazer uma anotação fica mais fácil você até pode manter dizendo que o renomear o bj do meio mas aí vai ficar muito confuso então deixa eu chamar esse meu novo conjunto depois de eu ter removido bj eu renome ei como bom então eu vou chamar esse meu novo conjunto de b1 o meu novo conjunto de um vai ser formado pelo vetor é um vetor a 1 continua nesse meu novo conjunto e agora você tem que lembrar que o removeu bj o renome akon bom e eu descobri um cnpj como removeu bj eo renome e com o meu na prática o imóvel bom então o nosso conjunto e vai ficar assim b2 provavelmente vários desses caras que são diferentes certo modo que poderia escolher qualquer um deles para ser o nosso dj mas de qualquer forma vamos ficar com medo 2003 e todo o caminho e vamos chegar até o bm e esse conjunto aqui esse conjunto ele gera o nosso sub espaço b continua gerando porque nós sabemos que o cara que eu removi pode ser descrito como uma combinação near de todos os outros então nós ainda somos capazes de construir todos os nossos vetores do nosso espaço e agora vou criar mais um outro vetor vou chamar esse outro vetor fazer aqui na cor azul ou chamar esse outro vetor de vetor b2 linha o que eu quero fazer com esse vetor é trazer mais um elemento da nossa base e revelar agora eu apareci segundo elemento aqui eu vou pegar o a 2 então eu vou pegar o segundo elemento vou jogar ele aqui então acho que a gente vai ter um a dois do japão ele bem aqui que todos os outros elementos que nós já tínhamos então eu vou te todos os outros o tp 2003 e todos os outros elementos até chegarmos no benin e é claro que isso aqui ele vai gerar ver eu só acrescentei mais um elemento aqui agora estou aqui definitivamente l realmente independente lembrou não disse no início se esse conjunto aquele linearmente dependente ou não ele pode não ser mas a partir do momento que o adicionando esse tema que é esse conjunto eu posso afirmar que esse conjunto que linearmente independente porque esse termo pode ser inscrito como a combinação led todos os outros termos de forma similar a gente diz que 6 1 ele é realmente independente e acontece a mesma coisa que provedores a partir do momento que eu adiciono esse termo aqui eu posso dizer que isso que se conjugam conjunto de near mente independente isso quer dizer que eu posso escrever a 2 como ser uma combinação linear dos outros termos que eu posso escrever a 2 aqui como sendo uma constante ser um qualquer vezes são mais uma constantes e 2 vezes b2 mais uma constantes e três vezes de três que vamos percorrer todo o caminho até chegarmos numa constante cm vezes b e ainda posso afirmar mais uma coisa eu posso afirmar que entre essas constantes tem que haver pelo menos uma constante que eu vou chamar de constante e qualquer que essa constante tem que ser diferente dizer aliás que eu posso afirmar até mais que eu posso afirmar que tem que existir pelo menos uma constante entre os termos bens que tem que ser diferente de zero eu estou dizendo que existe pelo menos um coeficiente dos termos de bebê que é diferente de zero ea explicação para afirmar isso é que se todos esses caras aqui eles fossem inverno a 2 deveria ser uma combinação de ardiam todos eles deveriam das ervas e teria que o a2 vai ser igual alguma coisa alguma constante vezes aonde a gente sabe que não há possibilidade para esse caso porque esses dois caras aqui eles foi eles vêm de um conjunto que é um conjunto linearmente independente ambos vêm da base que gera ver o fato deles serem uma base já por si só mostra que eles não conheceram uma cobrança linear do outro a definição de base que é base um conjunto de minha mente independente seleção lê a mente independente percebemos que a 2 não pode ser representado com uma combinação dos outros elementos e por isso nós sabemos então que existe pelo menos um coeficiente dos termos acho que deve ser diferente deserto vou dizer que eu tenho pelo menos uns e jj isso aqui é diferente do que a gente disse antisa onde essa constante aqui vai ter que ser diferente de zero se todos eles forem zeros o que nós vamos ter é que esse elemento aqui é uma combinação linear de se aqui um vai ser múltiplo do outro a gente sabe que isso não pode acontecer então nós vamos fazer o mesmo exercício então esse cara aqui que a gente sabe que está por aqui a gente chamando de ser jbj a gente sabe coeficiente dele obviamente tem que ser diferente 0 a gente vai agora resolver para bj como a gente fez anteriormente então b jvc é igual a menos 1 sobre cj vezes - a 2 mas se um a um e vamos percorrer todo o caminho até chegarmos em cmmi então nós temos algum dj aqui que pode ser representado com uma combinação lead todos os outros elementos incluindo nosso novo elemento a 2 e agora assim como nós fizemos anjos vamos tirar o jogo remover desse conjunto e antes de eu tirar eu vou renomeado com a única finalidade de simplificar a anotação eu vou dizer que bj é igual a b2 equipe b dois é igual a pj eu estou apenas reorganizando os nomes para que eu possa remover o nosso b2 então já que eu tirei o elemento b12m chama esse meu novo conjunto de conjunto b2 e ele vai ser igual a um a dois a gente vai ter a unha 2 a 1 e a 2 e agora a gente retirou b2 a gente vai ter os outros elementos a gente vai ter um elemento b3 b4 e todos os outros até chegarmos no elemento bm eu quero que você repare que eu continuo tendo m elementos e que esse conjunto ele continua gerando o ver ele gera um sub espaço ele gera ver porque o elemento que eu tirei pode ser representado com uma combinação linear de todos esses caras aqui então se por acaso quiser construir algo que eu precise desse vetor aqui eu posso construir usando uma combinação desses outros caras aqui então ele não era necessário esse conjunto continua gerando ver portanto eu posso ficar rap dino esse processo que estou fazendo eu posso por exemplo mais uma vez adicionar que o outro conjunto eu vou criar o conjunto b3 linha e eu vou adicionar a ele o a3 não adicionar pela sua 3 nesse conjunto eu vou ter um a 2 e a 3 e depois eu vou ficar com metrê sngb 4 e todo o caminho que a gente já sabe a gente percorre até chegarmos no bn eu vou dizer que esse conjunto é um conjunto linearmente independente porque se esses elementos a que eles constroem os espaços e obviamente que esse aqui também constrói eu posso escrever esse elemento com uma combinação de ar de todos os outros que restaram o elemento a três como sendo uma combinação uma constante vezes são mais mais constantes e 2 vezes a 2 mais uma constantes e três meses b3 e todo o caminho até chegarmos novamente no cm bm ea gente sabe que pelo menos um dos coeficientes de sistemas efe gb tem que ser diferente a 0 porque se todos eles porém 0 nos jogos terá três como sendo uma combinação apenas de a 1 com a 2 a gente sabe que a gente não pode ter a três como sendo uma combinação linear de alcunha dois porque esses temos aqui eles estão dentro de um conjunto linearmente independente a1 a2 e a3 vem de um conjunto ligeiramente independente e aí você vai fazer exatamente a mesma operação você sabe que vai ter um cj bj a gente vai resolver o tema para bj gente sabe que cj não vai poder ser zero tem pelo menos um cnj qualquer aqui que vai ter que ser diferente de zero a gente consegue resolver para bj a gente fazer exatamente o mesmo processo a gente vai conseguir colocar bj em função dos outros constante ea gente vai trocar bjp 31 renomear bj como sendo de 3 b3 como sendo bj vamos conseguir tirá-lo do conjunto ea gente vai ter um outro conjunto que a gente vai chamar de conjunto b 3 que vai com teu a 1 a 2 a 3 ea gente vai tirar o b3 vai ficar com o b4 b5 até b m esse conjunto vai continuar gerando subir espaço ver e se esse conjunto b 3 vai continuar gerando o espaço e eu posso continuar repetindo esse processo que vai acontecer se eu continuar repetindo esse processo mais uma vez depois mais uma vez mais uma vez você vai conseguir substituir todos os valores de bebê você fez a primeira operação o substituo berum por 1 a 1 depois b2b b2c pois a 3 b3 até a hora da gente conseguir chegar no conjunto bm a gente vai chegar num conjunto bm você vai obter no primeiro processo a 1 depois a 2 a 3 a 4 e vamos continuar fazendo esse processo até chegarmos no hm ou seja a gente vai conseguir substituir todos os bens pelos caros do ar de uma vez que você faz esse processo e obter o mesmo resultado isso aqui também vai gerar o sub espaço ver vamos agora escrever esse resultado a gente sabe que a gente conseguiu chegar a gerar aquele espaço que no conjunto inicial como conjunto b que tem m elementos aonde ele é menor do que nem tão sempre temos números suficientes elementos para fazer isso porque temos mais elementos de ato que o conjunto b quando começamos e conseguimos o resultado de que isso gera vez mas nós também sabemos que o conjunto a gente disse ante o conjunto era formado pelos elementos a1 a2 e todos eles até chegarmos agora a gente sabe que existe um amd não sabe mais ou menos até quando elementos existe entre entre o elemento aí nenhum elemento a eni ea única coisa que a gente sabe é que m é menor do que ele ou ele é maior do que me quero dizer que com esse conjunto é um conjunto menor nós definimos esse conjunto há como sendo uma base para os hubs passo dele é uma base para os hubs passo de ser uma base unificada duas coisas significa que eles geram subir espaço dele que ele é um conjunto linearmente independente agora eu só tenho esse resultado aqui porque eu assumi que a gente tem um conjunto b que é menor do que esse conjunto aqui e que gera ver os jogos capazes de construir isso assumindo que dia 1 até a emi é um conjunto que gera ver então o resultado é que chegamos é que esse conjunto que ele gera subir espaço ver mas este sub-conjunto aqui gera ver então o conjunto ali torna-se linearmente independente isso significa que a ele pode ser inscrito como uma combinação desses caras aqui o que implica dizer que este conjunto aqui é um conjunto linearmente dependente isso é uma contradição com nossa declaração original ou gente estabelecer o que há é uma base para ver isso significa que o conjunto a linear mente independente se você foi capaz de fazer isso significa que existe um conjunto gerador menor que faz com que a cgd nea mente independente mesmo que você tenha dito que a l minha mente independente portanto agora nós chegamos numa contradição então nós temos a nossa contradição a gente sabe que não pode haver esse conjunto não pode existir nenhum conjunto a vamos escrever aqui não pode haver nenhum conjunto b não pode haver um conjunto gerador b e que tenha menos elementos do que há por que a gente chegou numa contradição caso isso ocorra então a gente sabe que isso não pode acontecer não pode haver nenhum cujo gerador b que tenha menos elementos do que em conjunto a esse resultado bastante puro porque agora chega pra você e falar olha eu encontrei um conjunto xis aqui vamos dizer que eu tenha encontrado um conjunto x esse conjunto xl geram subir passo ver o inter que ligeiro novamente um substancial passo ver você sabe que um conjunto x ele tem cinco elementos você sabe que não pode haver nenhum outro conjunto que gere o espaço ver com menos do que cinco elementos e mais se ele disser que x é uma base x é uma base para ver você sabe que x é uma base para ver e que x tem cinco elementos x tem cinco elementos e eu te falo que y tão bem é uma base para vir então tem também tem um conjunto y que também é uma base para ver você sabe que y bem que ty ontem exatamente cinco elementos também como eu sei disso bem se isso é uma base então significa que ela gera subir espaço e nós sabemos então que não pode ter medo sim de cinco elementos porque nós acabamos de provar isso é uma boa maneira para nós concluímos que y tem que ter mais do que cinco elementos mas por outro lado se y é uma base de peixes também é uma base x um beijo era ver então nós sabemos que x tem que ter menos elementos do que y então vou escrever aqui que o número de elementos do meu conjunto y tem que ser maior ou no máximo igual ao número de elementos do meu conjunto x porque qualquer conjunto gerador tem que ter mais elementos ou pelo menos o mesmo número de elementos que o conjunto base em seguida se nós analisarmos que x é um conjunto gerador a gente também vai dizer que o número de elementos do conjunto x tem que ser maior ou no máximo igual ao número de elementos do meu conjunto y porque y é uma base agora nós analisamos o que a gente escreveu se à cardinalle da disse o número de elementos do conjunto y tem que ser maior ou igual número de elementos do conjunto xixi e ao mesmo tempo o número de elementos do conjunto xi tem que ser maior ou igual número de elementos do conjunto y à conclusão que a gente chega é que o número de elementos do conjunto x tem que ser igual ao número de elementos que o roteiro no meu conjunto y10 agora novamente usar o nosso exemplo inicial nós exemplo inicial que a gente tinha que a matriz a é igual os elementos a 1 a 2 até chegarmos no elemento a eni ea gente disse que isso aqui é uma base para o nosso sub espaço vê agora a gente pode dizer o que agora a gente pode dizer que qualquer base para alguns o espaço de ver todos eles vão ter que ter o mesmo número de elementos e dessa forma a gente pode definir a cor um novo termo um novo tempo chamado de dimensão de ver que também pode ser representado como dimensão de ver podemos escrever dessa forma que esse tempo significa que a dimensão de um espaço vetorial de 15 espaço vetorial é igual ao número de elementos a gente também chama o número de elementos de um espaço de carnalidade é igual número de elementos de qualquer base de ver qualquer que seja a base para ver vai ter sempre o mesmo número de elementos eu me esforcei bastante nesse vídeo para mostrar que qualquer base de ver o mesmo número de elementos de modo que isso aqui fique bem claro você não pode ter uma base de um espaço que tenha cinco elementos e outra que tenha seis por definição o bes tem 5 ambos têm seis e se nós podemos definir a nossa dimensão de um espaço verde até o próximo vídeo