2011 Cálculo BC - Questão discursiva nº 6c

RKA2G - Parte C: encontre o valor da sexta derivada de "f" no ponto zero. Nós sabemos que, para calcular a sexta derivada de "f", já levaria décadas. Depois, ainda teríamos de avaliá-la em zero, já que aqui temos o quadrado de "x". Teríamos, ainda, que fazer a regra do produto, da corrente e todo o resto. Isso seria demasiadamente complicado. Mas nós temos uma dica aqui. O fato de eles nos fazer encontrar os primeiros quatro termos da série de Taylor de "f" com x = 0 indica que deve haver uma forma mais simples de resolver do que derivando e avaliando em zero. A maneira mais simples de resolver é revisar o último problema, onde achamos os quatro primeiros termos da série de Taylor de "f" diferente de zero. Se você prestar atenção na definição da série de Taylor aqui (nós explicaremos em um outro vídeo porque isso faz sentido), veremos, que em cada termo da série de Taylor, seu coeficiente é aquela derivada. Esta série de Taylor é centralizada na vizinhança do ponto zero. Isto é o que nos importa neste problema Veremos que o coeficiente é a derivada avaliada em zero e dividida pelo grau da fatorial. Então, o termo de segundo grau é a segunda derivada de "f" avaliada em zero e dividida por 2 fatorial. O termo do quarto grau é a quarta derivada de "f" avaliada em zero e dividida por 4 fatorial. O termo de sexto grau... Vamos recordar o que nós estávamos tentando descobrir. Nós queremos saber qual é a sexta derivada de "f" avaliada em zero. Isto é o que estamos procurando. Se pensarmos na série de Taylor centrada em zero, ou na vizinhança do ponto zero, o termo de sexto grau de "f" na aproximação por série de Taylor será a sexta derivada de "f" no ponto zero, multiplicada por x⁶, sobre 6 fatorial. Este será o termo de sexto grau na série de Taylor e nós temos este termo aqui. Nós sabemos isto a partir do resultado do último problema. Este elemento aqui é o termo de sexto grau. Nós temos x⁶ ali, x⁶ aqui, temos 6 fatorial aqui e 6 fatorial aqui. Então, este -121 tem que ser a sexta derivada de "f" avaliada em zero. Esta é a resposta. O termo é igual a -121. E está pronto!