Distância entre planos

RKA - Se a distância entre o plano "Ax" - "2y" + "z" é igual a "d" e o plano que contém as retas "x" - "y" sobre 2, = y - 2 sobre 3, = "z" - 3 sobre 4 e "x" - 2 sobre 3, = "y" - 3 sobre 4, = "z" - 4 sobre 5 é a raiz de 6, e a distância entre os planos é a raiz de 6, então o módulo de "d" é? Bom, vamos analisar a situação. Trata-se de dois planos. Como se fala da distância entre os dois planos, podemos deduzir que os dois planos são paralelos, porque se eles não fossem paralelos, eles se interceptariam e a distância entre eles, lembre-se de que falamos sempre distância entendendo como distância mínima, essa distância seria zero. De maneira que vamos tratar com planos paralelos. Vou fazer um esquema para visualizar. Aqui estaria um dos planos, digamos que seja o plano cuja equação está dada ali. E aqui, o outro plano, ambos paralelos. Essas duas retas que foram dadas, vamos supor que esta represente uma certa reta azul, estaria aqui no plano verde, digamos, e essa outra reta, vamos representá-la cor de rosa, estaria também aqui no plano verde. Como nós vamos tratar as distâncias? Uma ideia interessante e uma informação necessária é tratar da equação do plano verde, porque, já que ele é paralelo a este outro plano cuja equação é "Ax" - "2y" + "z" = "d", as equações dos dois planos terão várias semelhanças. Depois de tratar das equações do plano, podemos tomar um ponto qualquer aqui neste plano verde e, usando a ideia de distância de ponto a plano, saber tratar da distância entre os dois planos. Para começar o trabalho, uma boa ideia é tratar de dois vetores que estejam no plano verde e do produto vetorial entre eles, porque o produto vetorial entre dois vetores é um novo vetor que é perpendicular a ambos e isso pode nos ajudar com o vetor normal aos planos e que vai nos dar muitas pistas a respeito do que procuramos. Vamos, então, localizar alguns pontos do plano verde. Olhando, por exemplo, para a equação da reta azul, eu posso supor valores de "x", "y" e "z" que façam com que as igualdades sejam verdadeiras. Por exemplo, bem fácil, se o "x" for 1, se o "x" for 1, esta fração aqui resulta em zero. Então, o "y" teria que ser 2 para resultar também em zero. E o "z" teria que ser 3. O ponto 1, 2, 3 pertence ao plano verde, mas ainda pertence à reta azul. Vou localizar outro ponto. Vamos supor que eu queira que cada fração seja igual a 1. Para que isso aconteça, o "x" teria que ser 3, porque 3 - 1 = 2, sobre 2 dá 1. O "x" teria que ser 3. O "y" teria que ser 5 5 - 2 = 3, sobre 3, dá 1. E o "z" teria que ser 7. Vou pegar um ponto da reta cor de rosa. É bem fácil. Se nós pensarmos em igualar a zero, o "x" seria 2, o "y", 3 e o "z", 4. Então, o ponto (2, 3, 4) também pertence ao plano verde, mais precisamente à reta cor de rosa. Vamos usar esses três pontos para localizar vetores no plano verde e trabalhar com eles. Vamos definir, então, o vetor "a". O vetor "a", a partir destes dois primeiros pontos. E para isso, basta fazer a subtração, por exemplo, das coordenadas dos dois pontos. Então, 3 - 1 = 2. Para a abscissa, para a primeira coordenada, teríamos "2i" + 5 - 2 = 3, então "3j", + 7 - 3 dá 4, então "4k". Eu peguei os dois pontos da reta azul, então esse vetor está sobre a reta azul, por exemplo, vou fazer aqui em vermelho. O vetor estaria aqui. Eu posso escolher dois dos outros pontos para criar um vetor "b" e eu vou escolher o primeiro e o último. Veja que está cada um em uma reta. O vetor "b" seria então: 2 - 1 = "2i" 3 - 2 dá 1, então + "1j" + 4 - 3 = "1k" . Esse seria o vetor "b". Esse vetor "b" está também sobre o plano. Poderíamos localizá-lo aqui, em amarelo. Vamos então achar o produto vetorial de "a" por "b", porque o produto vetorial de "a" por "b" vai ser um vetor perpendicular os dois. Se os dois estão no plano, então vai ser um vetor normal ao plano. Para fazer a conta, vamos montar aquele determinante. Na primeira linha, "i", "j", "k", vetores unitários. Na segunda linha, os componentes de "a", que são 2, 3, 4. E na terceira linha, os de "b", 2 ,1, 1. Vamos calcular esse determinante. Você pode escolher o método. Por exemplo, multiplicando a diagonal principal, etc., terá você vai chegar a "-i" + "2j" - "k". E isso é exatamente um vetor normal aos planos, aos dois planos, já que eles são paralelos. Por exemplo, representado aqui um vetor normal ao plano verde, já que nós estávamos partindo dele. Temos agora informações para construir, para escrever a equação do plano. E, para fazer isso, precisamos lembrar que o produto escalar entre o vetor normal e qualquer vetor do plano tem que ser igual a zero, porque eles são perpendiculares. Para escrever equação do plano, nós precisamos também lembrar que vamos usar um ponto qualquer, por exemplo, um ponto aqui. Este ponto tem as coordenadas "x", "y", "z" genéricas para o plano. E podemos marcar, construir um vetor a partir de um ponto conhecido até esse ponto, este vetor. Por exemplo, vamos supor que eu parti deste ponto, melhor dizendo, que eu parti do "x", "y", "z" até este ponto. Então, este vetor laranja vai ter as coordenadas "x" - 3 "i" + "y" - 5 "j" + "z" - 7, "z" - 7"k". O produto escalar do vetor normal com este vetor, que nós sabemos que pertence ao plano e "x", "y", "z" são coordenadas de um ponto qualquer do plano, isto tem que ser igual a zero. Com isso, conseguimos escrever a equação do plano. Mas nós já temos o vetor normal. O vetor normal está aqui. Então, vamos efetuar o produto escalar de "-i" + "2j" - "k", que é o "n" produto escalar com o que nós temos aqui em cima. Isso tem que ser igual a zero. Efetuando a primeira componente daqui, -1 multiplicam o "x" - 3. - 1 vezes "x" - 3, é só inverter. Fica 3 - "x". Mais, agora o 2 da segunda componente multiplica aqui, então "2y" - 10. Já estou distribuindo E -1, que multiplica aqui, a mesma coisa ali. Multiplicando "z" - 7, simplesmente vai inverter. Vamos ter +7 - "z". E isso tem que ser igual a zero. Finalmente, separando, nós temos - "x" + "2y" - "z", estou separando as letras dos números, resolvendo, 3 - 10 = -7, com + 7 = 0. Então, tudo se cancela. Temos isso aqui. É igual a zero. Esta é a equação do plano verde. E esta equação do plano "B" nos dá pistas para a equação do plano "A". Porque se eles são paralelos, o coeficiente "a" do "x", do "y" e do "z" são os mesmos nos dois planos. O que muda é "d", que é esse número que indica a translação de um plano em relação a outro. Para facilitar a escrita, vamos multiplicar os dois lados da igualdade por -1. Ficaríamos com "x" - "2y" + "z" = 0, é equivalente, vamos adotar esta como a equação do plano verde. E, finalmente, transportando isto para o plano cor-de-rosa, o "A" coeficiente do "x" vale 1. "x", o -"2y" veja que confere. -"2y" + "z", também confere. Igual a "d". Já sabemos que a equação desse plano é esta. Vamos então à distância entre os planos para poder chegar ao valor de "d". O que nós sabemos é que se eu tomar um ponto qualquer do plano verde, e nós temos pelo menos três pontos do plano verde marcados, precisamos saber a distância dele até o outro plano. E já sabemos a distância entre os planos. Vamos justamente usar aquela fórmula que foi deduzida em vídeos anteriores. Para a distância de um ponto a um plano e obter o que nós precisamos. Só lembrando, a distância de um ponto a um plano é igual a, vamos tomar este ponto 1, 2, 3 como referência. A distância deste ponto, vamos supor que ele esteja aqui, até o outro plano. Para fazer isso, temos que pegar na equação do plano o coeficiente do "x" e multiplicar pela coordenada "x" do ponto, 1 vezes 1 que dá 1 mais o coeficiente do "y", que é -2 multiplicado pela segunda coordenada, então -4 mais coeficiente do "z" que é 1, multiplicado pela terceira coordenada, que dá 3. Tudo isso menos "d", que nós temos aqui, que é justamente o que nós estamos procurando, "d". Isso tudo sobre a raiz quadrada da soma dos quadrados dos coeficientes que estão aqui. Então, 1², que é 1 + -2², que é 4 + 1² de novo para o "z", que é 1. Vamos fazer essa conta e nós sabemos que a distância entre os planos é raiz quadrada de 6. Isso está dado no enunciado, que diz a distância entre o plano e outro é a raiz quadrada de 6. Então, a raiz quadrada de 6 é igual a. Vamos resolver essa conta. Aqui 1 - 4 = 3 + 3 é zero, sobra simplesmente "-d". No denominador 1 + 4 = 5, 5 + 1 = 6, raiz quadrada de 6. Multiplicando os dois lados pela raiz quadrada de 6, temos 6 = -"d", ou seja, a partir daqui, concluímos que o "d" é igual a -6. Como o enunciado pediu o módulo de "d", o módulo de "d" é, simplesmente, igual a 6. E o problema está resolvido. Espero que você tem achado isso interessante. Até o próximo vídeo.