Integrais de linha de curva fechada de campos vetoriais conservadores

RKA20JL - Olá, pessoal, tudo bem? Em uma de nossas aulas, mostramos que um campo vetorial pode ser escrito como o gradiente de um campo escalar, onde, inclusive, essa parte também pode ser chamada de potencial de F ou função potencial. Mas, enfim, uma outra forma de dizer isso é a parcial do F, na esquerda, em relação a x vezes î + ∂F/∂y j E eu escrevi dessas duas formas para fixar um pouco melhor na cabeça o que é o gradiente. E é importante para nós aqui, a informação de que, se o nosso campo vetorial é o gradiente de um campo escalar, ele recebe o nome de campo vetorial conservativo, e isso nos diz que F é um campo vetorial conservativo. Mas, calma aí, que agora vem o mais importante. Ele também nos diz que a integral curvilínea de F entre 2 pontos é independente ao caminho. Para visualizar isso um pouco melhor, vamos fazer um plano xy. Tenho aqui o meu eixo x e aqui, meu eixo y. E para os pontos, vou dizer que um está embaixo e o outro, na parte de cima, na direita. Temos dois caminhos: um vai desse jeito e vamos chamá-lo de C1 e ele vai na direção C1, depois, na parte de cima, temos um outro caminho. Ele, eu irei chamar de C2. Agora, como disse antes, a integral curvilínea é independente ao caminho para quaisquer dois caminhos. Por isso, na direita, vamos colocar que a integral curvilínea ao longo de C1 de F . dr = ∫ᴄ₂ F . dr. Ou seja, se consideramos que tem uma potência em uma região, que pode estar em qualquer lugar, isso quer dizer que a integral de linha entre dois pontos é independente do caminho. E isso é o legal de um campo conservativo! Agora, vamos expandir um pouco o conhecimento que temos sobre isso com algo o que é extremamente importante. Talvez, já até seja óbvio para você. Primeiro, vou reorganizar toda essa equação. ∫ᴄ₁ F . dr - ∫ᴄ₂ F . dr = 0. A única coisa que fiz foi fazer a subtração de ambos os lados. Agora, pelo que sabemos, se lidamos com uma integral de linha de um campo vetorial, a direção do caminho é importante e também temos noção que a ∫ᴄ₂ F . dr = - ∫₋ᴄ₂ F . dr. Ou seja, denotamos aqui que -C2 é o mesmo caminho que C2, só que em direções opostas. Para visualizar melhor, podemos representar isso no gráfico de cima. Esse agora é o -C2, e temos o caminho que vai em direção oposta. Você pode Ignorar as setas antigas. E também podemos representar essa equação. O negativo da ∫ᴄ₂ F. dr é igual à integral do caminho reverso, ∫₋ᴄ₂ F. dr. E a única coisa que mudamos aqui é o sinal de negativo. e multiplicamos ambos os lados por 1. Agora, na outra equação, temos também o negativo de C2, igual ao que fizemos anteriormente, e podemos substituí-lo por essa expressão na esquerda inferior. Então, ∫ᴄ1 F . dr, porém, em vez de -∫ᴄ₂, vamos colocar um sinal de positivo, pois como já estabelecemos anteriormente, essa parte na direita é a mesma que da esquerda inferior, que é positiva. Por isso, só vamos escrever ∫₋ᴄ₂ F . dr. E depois, = 0. Agora vamos ver uma coisa que é bem interessante! Vamos ver qual é a combinação de caminho C1 e -C2. C1 inicia nesse ponto e segue o seu caminho até dado ponto. Depois, temos o caminho de -C2, que inicia no ponto e segue e volta até o ponto inicial. Isso completa um ciclo. Ou seja, isso significa que isso é uma integral de linha fechada (∮). Para expressar isso, podemos falar que há uma ∮ provavelmente, C1 mais o reverso de C2. Isso se quisermos ser um pouco mais específicos sobre o caminho fechado. Mas poderia ser qualquer caminho fechado em que um campo vetorial F tem uma potência ou é gradiente de um campo escalar, ou é conservativo. Mas, em sequência, ∮ᴄ₁ ₊ ₋ᴄ₂ F. dr = 0. Basicamente, estamos só reescrevendo a parte de cima de uma maneira diferente, mas aqui embaixo. Por fim, chegamos à expressão que queríamos. Agora, sabemos que, se temos um campo vetorial que é gradiente de um campo escalar em alguma região ou até mesmo em todo o plano xy, nós o chamamos de conservativo. E isso nos diz que dado o ponto na região onde essas informações são válidas, a linha curvilínea de um ponto a outro é independente ao caminho. E por causa disso, descobrimos que, se pegamos qualquer ciclo fechado ou uma linha curvilínea fechada ao longo de V, ou se pegamos algum vetor, ele será 0 por ser independente ao caminho. Então, se por algum acaso, você chegar a ver algo do tipo que solicita que você calcule dado F conservativo ou F gradiente de outra função, ou até mesmo caso de um em que F é independente ao caminho, você vai poder dar a resposta super rapidinho e vai facilitar bastante a sua vida. E é isso, pessoal! Espero que tenham aprendido, e até a próxima!